해석기하학

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직표 좌표계

해석기하학(解析幾何學, analytic geometry)이란 여러 개의 수로 이뤄진 순서쌍(또는 좌표)을 기하학적으로 나타내는 방법인 좌표기하학 또는 카테시안 기하학을 달리 부르는 이름이다. n개의 수를 사용하여 나타낸 n-순서쌍의 수를 미지수로 하는 방정식의 형태로 도형의 성질을 설명한다. 이때 2차원 좌표계 평면에서는 n=2이고, 3차원 좌표계 공간에서는 n=3이다. 일반적으로 수학자들은 해석기하학에서 방정식을 대수적으로 나타내어 다룸으로써 도형의 위치 및 형태를 결정하거나 분류한다. 해석기하학은 수학에서 2가지 뜻으로 해석된다. 현대적인 의미에서는 해석적 다양체의 기하학을 가리킨다. 이 글은 고전적이고 기초적인 의미 위주로 설명한다.

고전 수학에서 해석기하학은 해석학대수학의 원칙, 그리고 좌표계를 이용한 기하학이다. 이는 특정한 기하학적 개념을 원초적으로 다루고공리정리에 기반한 추론을 이용하는 유클리드 기하학종합기하학과 대조된다.

일반적으로 직교 좌표계는 2~3차원으로 된 평면, 직선, 직사각형에 대한 방정식을 다루는 데 이용된다. 기하학적으로는 유클리드 평면 (2차원)과 유클리드 공간 (3차원)을 연구한다. 교과서에서 나온 바와 같이 해석기하학은 더 단순히 설명할 수 있다: 기하학적 모양을 수많은 방법으로 정의하고 결과로부터 수치 정보를 가져오는 것과 관련할 수 있다. 그러나 수치적인 결과는 벡터도형일 수도 있다. 실수의 대수가 기하학의 선형 연속체에 대하여 결과를 양산하는 데 이용할 수 있는 것은 칸토어 데데킨트 공리에 달려 있다.

역사[편집]

해석기하학은 프랑스의 철학자이자 수학자, 과학자인 르네 데카르트(1596~1650)가 좌표를 사용하여 공간에 있는 점들을 알아내는 방법을 설명한 책을 출간하면서 시작되었다고 할 수 있다. 데카르트는 처음으로 그래프를 그려 수학적 함수를 기하학적으로 해석하였다. 오늘날의 카테시안 좌표는 데카르트의 라틴어 이름인 '레나투스 카르테시우스'에서 유래한 것이다. 거의 같은 시기에 프랑스의 수학자 피에르 드 페르마(1601~1665)도 독자적으로 좌표기하학에 대한 아이디어를 확립해가고 있었다. 그러나 데카르트와 달리 페르마는 자신이 연구한 것을 발표하지 않았다. 오늘날의 카테시안 좌표는 데카르트와 페르마, 두 수학자의 연구로 완성된 것이라 할 수 있다.

외부 링크[편집]