리만 다양체

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미분기하학에서, 리만 다양체(Riemann多樣體, 영어: Riemannian manifold)는 각 점의 접공간 위에 양의 정부호 쌍선형 형식이 주어져, 두 점 사이의 거리를 측정할 수 있는 매끄러운 다양체이다. 이 구조를 리만 계량(Riemann計量, 영어: Riemannian metric)이라고 하며, 이를 사용하여 다양체 위에서 평행 운송 · 각도 · 길이 · 부피 · 곡률 따위의 기하학적 개념들을 정의할 수 있다. 리만 다양체와 관련된 구조를 연구하는 미분기하학의 분야를 리만 기하학(Riemann幾何學, 영어: Riemannian geometry)이라고 한다.

정의[편집]

n차원 매끄러운 다양체 M 위에 공변접다발 T^*M의 2차 대칭승 \operatorname{Sym}^2T^*M 벡터 다발을 생각하자. 이는 M 위의 n(n+1)/2차원 벡터 다발이다.

\operatorname{Sym}^2T^*M매끄러운 단면M의 각 점 x\in M에서의 접공간 T_xM 위에 쌍선형 형식을 정의한다. \operatorname{Sym}^2T^*M\subset (T^*M)^{\otimes2}이므로, \operatorname{Sym}^2T^*M매끄러운 단면M 위의 (0,2)-텐서장 ((T^*M)^{\otimes2}매끄러운 단면)으로 생각할 수 있다.

M 위의, \operatorname{Sym}^2T^*M매끄러운 단면 g\in\Gamma(\operatorname{Sym}^2T^*M)가 다음 조건을 만족시킨다면, gM 위의 리만 계량(Riemann計量, 영어: Riemannian metric)이라고 한다.

리만 계량을 갖춘 매끄러운 다양체 (M,g)리만 다양체라고 한다.

두 리만 다양체 (M,g_M), (N,g_N) 사이의 등거리 변환(영어: isometric map)은 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 함수 f\colon M\to N이다.

  • 임의의 x\in MX,Y\in T_xM에 대하여, g_N(df(X),df(Y))=g_M(X,Y)

여기서 df(X)\in T_{f(x)}NXf에 대한 이다.

성질[편집]

모든 매끄러운 다양체에는 리만 다양체의 구조를 줄 수 있다. 물론, 이는 표준적이지 않다.

유클리드 공간으로의 매장[편집]

내시 매장 정리(영어: Nash embedding theorem)에 따라, 모든 연결 리만 다양체는 충분히 높은 차원의 유클리드 공간 \mathbb R^n으로의 등거리 매장을 갖는다. 즉, 리만 다양체는 내재적으로 정의하는 대신 항상 외재적으로 유클리드 공간의 부분 공간으로 여길 수 있다. 물론, 리만 다양체 자체의 데이터는 유클리드 공간으로의 매장을 포함하지 않는다.

거리[편집]

연결 리만 다양체 위에는 자연스럽게 거리 공간의 구조가 주어진다. [모든 (하우스도르프 파라콤팩트) 다양체거리화 가능 공간이지만, 리만 계량과 같은 구조가 없다면 거리 함수를 표준적으로 정의할 수 없다.]

구체적으로, 연결 리만 다양체 (M,g) 위의 매끄러운 곡선

\gamma\colon[0,1]\to M

길이는 다음과 같다.

L(\gamma)=\int_0^1\sqrt{g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\,dt\in[0,\infty)

곡선의 길이는 매개변수화에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 매끄러운 함수 s\colon[0,1]\to[0,1]에 대하여, L(\gamma\circ s)=L(\gamma)이다.

임의의 두 점 x,y\in M 사이의 거리(영어: distance)는 두 점 사이를 잇는 곡선들의 길이들의 하한이다.

d(x,y)=\inf_{\gamma\colon[0,1]\to M}^{\gamma(0)=x,\;\gamma(1)=y}L(\gamma)

이는 거리 함수의 조건들을 모두 만족시킴을 보일 수 있으며, 추가로 길이 거리 공간을 이룬다.

연결 공간이 아닌 리만 다양체의 경우, 각 연결 성분 위에 (유한한) 거리를 정의할 수 있지만, 서로 다른 연결 성분 위에 있는 두 점 사이의 거리는 무한대가 된다.

리만 기하학에서는 다음과 같은 하이네-보렐 정리가 성립한다. 연결 리만 다양체 M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

레비치비타 접속[편집]

리만 계량을 사용하여, 접다발 위에 레비치비타 접속이라는 아핀 접속을 정의할 수 있다. 이는 다음 두 조건을 만족시키는 유일한 접속이다.

리만 다양체의 리만 곡률은 레비치비타 접속의 곡률이다. 리만 곡률 텐서장을 축약하여 리치 곡률 · 바일 곡률 · 스칼라 곡률 · 아인슈타인 텐서를 정의할 수 있다.

측지선[편집]

리만 다양체 (M,g) 위에는 측지선의 개념을 정의할 수 있다. 측지선은 (매개 변수화를 무시하면) 국소적으로 두 점 사이의 거리를 최소화하는 곡선이다.

다음 조건을 만족시키는 리만 다양체 (M,g)완비 리만 다양체(完備Riemann多樣體, 영어: complete Riemannian manifold)라고 한다.

  • 임의의 x\in Mv\in T_xM에 대하여, \gamma(0)=x이며 \dot\gamma(0)=\dot x이며 모든 t\in\mathbb R에 대하여 \sqrt{g(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}=1인 측지선 \gamma\colon\mathbb R\to M이 존재한다.

즉, 측 완비 리만 다양체는 측지선이 갑자기 끊기지 않는 다양체이다. 예를 들어, 유클리드 공간이나 콤팩트 리만 다양체는 완비 리만 다양체이지만, 유클리드 공간의 (전체 공간이 아닌) 열린집합은 완비 리만 다양체가 아니다.

호프-리노프 정리(Hopf-Rinow定理, 영어: Hopf–Rinow theorem)에 따르면, 연결 리만 다양체 (M,g)에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

연결 리만 다양체 (M,g)가 다음 조건을 만족시킨다면, 확장 가능 다양체(擴張可能多樣體, 영어: extendable Riemannian manifold)라고 한다.

다음 두 조건을 만족시키는 리만 다양체 (\tilde M,\tilde g) 및 등거리 매장 \iota\colon M\hookrightarrow\tilde M이 존재한다.

확장 불가능 다양체(擴張不可能多樣體, 영어: non-extendable manifold)는 확장 가능 다양체가 아닌 연결 리만 다양체이다.

모든 완비 리만 다양체는 확장 불가능 다양체이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

[편집]

유클리드 공간 \mathbb R^n · 초구 \mathbb S^n · 원환면 \mathbb T^n은 모두 리만 다양체를 이룬다.

반단순 리 군의 경우, 킬링 형식양의 정부호이므로 리만 계량을 이룬다. 따라서 반단순 리 군의 경우 표준적으로 리만 다양체를 이룬다.

리만 다양체 (M,g_M)과 그 속의 몰입된 부분 다양체 \iota\colon N\hookrightarrow M가 주어졌다면, M 위에 리만 계량을 다음과 같이 정의할 수 있다.

g_M(X,Y)=g_M(d\iota(X),d\iota(Y))\qquad\forall x\in N,\;X,Y\in T_xN

여기서 d\iota(X)\in T_{\iota(x)}NX이다. 따라서 (M,g_M)은 리만 다양체를 이룬다.

확장 불가능 완비 다양체[편집]

3차원 공간 속에, 다음과 같은 꼭짓점을 제거한 원뿔을 생각하자.

\{(x,y,z)\colon x^2+y^2=z^2,\;z>0\}

이는 확장 불가능 리만 다양체를 이룬다. (꼭짓점을 추가하면 특이점이 생기게 되어 리만 다양체를 이루지 못한다.) 그러나 이는 완비 다양체가 아니다. 꼭짓점을 향하는 측지선은 유한한 시간 안에 꼭짓점에 도달하여, 더 이상 연장할 수 없게 된다.

역사[편집]

리만 기하학은 19세기베른하르트 리만에 의해 시작되었다. 이는 유클리드 기하학비유클리드 기하학의 대표적인 두 형태(구면기하학쌍곡기하학)를 포함하는 보다 일반적인 이론이다. 1853년에 카를 프리드리히 가우스는 제자 베른하르트 리만에게 기하학의 기초에 대한 이론에 대하여 하빌리타치온 논문을 쓰는 것이 어떻겠느냐고 제시하였다. 리만은 이에 대하여 임의의 차원에서의 굽은 공간에 대한 이론을 개발하였고, 이를 주제로 1854년에 괴팅겐 대학교에서 〈기하학의 기초를 이루는 가정들에 대하여〉(독일어: Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen)라는 제목의 강연을 개최하였으며, 이는 리만 기하학의 시초로 여겨진다. 리만의 강연은 당시에는 널리 이해되지 못하였으나, 강연 내용이 1868년에 리만의 사후에 리하르트 데데킨트에 의하여 출판되면서 미분기하학의 새로운 기초를 이루게 되었다.

1869년에 엘빈 브루노 크리스토펠레비치비타 접속의 성분인 크리스토펠 기호를 도입하였으며,[1] 20세기 초에 그레고리오 리치쿠르바스트로툴리오 레비치비타가 크리스토펠이 사용한 의미의 접속을 이용하면 평행 운송의 개념을 만들 수 있음을 발견하면서 보다 큰 관심을 받게 되었다.[2]

호프-리노프 정리는 하인츠 호프와 그 제자 빌리 리노프(독일어: Willi Rinow)가 1931년에 증명하였다.[3] 내시 매장 정리는 존 포브스 내시가 1950년대에 증명하였다.[4]

참고 문헌[편집]

  1. Christoffel, Elwin Bruno (1869). “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”. 《Journal für die reine und angewandte Mathematik》 (독일어) 70: 46–70. doi:10.1515/crll.1869.70.46. ISSN 0075-4102. 
  2. Levi-Civita, T.; Ricci, G. (1900). “Méthodes de calcul différential absolu et leurs applications”. 《Mathematische Annalen》 (프랑스어) 54 (1–2): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 0025-5831. JFM 31.0297.01. 
  3. Hopf, H.; Rinow, W. (1931). “Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche”. 《Commentarii Mathematici Helvetici》 (독일어) 3 (1): 209–225. doi:10.1007/BF01601813. ISSN 0010-2571. 
  4. Nash, John (1956). “The imbedding problem for Riemannian manifolds”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 63 (1): 20–63. doi:10.2307/1969989. JSTOR 1969989. MR 0075639. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]