직선

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빨간 선과 파란 선은 같은 기울기를 가지고 있고, 빨간 선과 초록 선은 같은 y 절편을 가지고 있다.

직선(直線)은 무한히 얇고, 무한길고 곧은 기하학적 요소이다. 2차원에서 두 직선의 관계는 평행이거나(영원히 만나지 않거나), 일치하거나, 한 에서 만나거나 가운데 하나이다. 3차원 공간에서는 "꼬인 위치에 있다"가 추가된다.

직선의 방정식[편집]

직선의 방정식은 좌표계의 종류에 따라, 그리고, 좌표축의 개수에 따라 다양하게 기술될 수 있으며, 본 문서에서는 유클리드 좌표계에서도 2차원 및 3차원의 경우를 논한다.

2차원[편집]

y축과 평행하지 않은 직선은 일차식

y=ax+b

의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 a를 직선의 기울기라고 한다.

일반적인 직선의 방정식은 ax+by+c=0 으로 나타낼 수 있으며, y축과 평행한 직선까지 나타낼 수 있다.

여러가지 직선의 방정식[편집]

  • x축의 방정식은 y=0
  • y축의 방정식은 x=0
  • x축에 평행한 직선의 방정식은 y=k(단, k≠0)
  • y축에 평행한 직선의 방정식은 x=k(단, k≠0)
  • (x_1 ,y_1 )을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은 y-y_1 =m(x-x_1 )
  • (x_1 ,y_1 ), (x_2 ,y_2 )을 지나는 직선의 방정식은 y-y_1 =\frac{y_2 -y_1 }{x_2 -x_1 }(x-x_1 )
  • x절편이 \alpha, y절편이 \beta인 직선의 방정식은 \frac{x}{\alpha} +\frac{y}{\beta} =1

이차 곡선의 접선의 방정식[편집]

  • x^2 +y^2=r^2 위의 점 (x_1 ,y_1 )에서의 접선의 방정식은 x_1 x +y_1 y=r^2
  • x^2 +y^2=r^2의 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mx \pm r \sqrt {m^2 +1}
  • 타원 위의 점 (x_1 ,y_1 )에서의 접선의 방정식은 \frac {x_1 x} {a^2} +\frac {y_1 y} {b^2}=1
  • 타원 \frac {x^2} {a^2} +\frac {y^2} {b^2}=1의 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mx \pm \sqrt {a^2 m^2 +b^2}
  • 쌍곡선 위의 점 (x_1 ,y_1 )에서의 접선의 방정식은 \frac {x_1 x} {a^2} -\frac {y_1 y} {b^2}=1
  • 쌍곡선 \frac {x^2} {a^2} -\frac {y^2} {b^2}=1의 기울기가 m인 접선의 방정식은 y=mx \pm \sqrt {a^2 m^2 -b^2}

임의의 곡선의 접선의 방정식[편집]

한 그래프의 특징[편집]

직선은 y=ax+b는 다음과 같은 특징을 갖는다.

  • x절편은 \textstyle x = -\frac{b}{a}, y절편은 b이다.
  • a \not= 0일 때, x축과 한 점에서 만난다.

두 그래프의 특징[편집]

일차 함수 y=ax+b, y=a'x+b'의 그래프는 다음과 같은 특징을 갖는다.

  • a=a', b=b'일 때 두 그래프는 일치한다.
  • a=a', b \not= b'일 때 두 그래프는 평행하다.
  • aa'=-1일 때 두 그래프는 수직이다.

3차원[편집]

3차원에서의 직선의 방정식은 벡터를 이용해 기술한다.

한 점을 지나는 직선의 방정식[편집]

한 점을 지나고 방향벡터에 평행한 방정식[편집]

한 점 A를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 \overrightarrow{u}에 평행한 직선 l이 있을 때, 이 직선 l위에 있는 점 P에 대하여, \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{x}라 하면(O3차원 유클리드 공간의 원점이다.), \overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{u}가 성립한다.(t는 임의의 스칼라) 이때, \overrightarrow{u}는 직선이 뻗어있는 방향을 결정하는 벡터로, 이 벡터를 방향벡터라고 한다. 그리고 점 P의 위치를 결정하는 벡터인 \overrightarrow{x}는 위치 벡터라고 한다.

여기서 A(x_1,y_1,z_1), P(x,y,z), \overrightarrow{u}=(a,b,c)이면, 위의 벡터방정식을 이렇게 바꾸어 쓸수도 있다.
x=x_1+ta, y=y_1+ta, z=z_1+tc 특히, abc=0일때, 다음이 성립한다.

\frac {x-x_1} {a}=\frac {y-y_1} {b}=\frac {z-z_1} {c}

xy평면, yz평면, zx평면에 평행한 직선의 방정식[편집]

좌표평면에 평행하고, 점 A(x_1,y_1,z_1)을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

직선의 방정식
좌표평면 좌표평면에 평행한 직선의 방향벡터 \overrightarrow{u} 좌표평면에 평행한 직선의 방정식
xy평면 z성분이 0이고, \overrightarrow{u}=(a,b,0)이다. \frac {x-x_1} {a}=\frac {y-y_1} {b}, z=z_1
yz평면 x성분이 0이고, \overrightarrow{u}=(0,b,c) \frac {y-y_1} {a}=\frac {z-z_1} {b}, x=x_1
zx평면 y성분이 0이고, \overrightarrow{u}=(a,0,c) \frac {z-z_1} {a}=\frac {x-x_1} {b}, y=y_1
x축, y축, z축과 평행한 직선의 방정식[편집]

좌표축에 평행하고, 점 A(x_1,y_1,z_1)을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

직선의 방정식
좌표축 좌표축에 평행한 직선의 방향벡터 \overrightarrow{u} 좌표축에 평행한 직선의 방정식
x y성분과 z성분이 0이고, \overrightarrow{u}=(1,0,0)이다. y=y_1, z=z_1
y z성분과 x성분이 0이고, \overrightarrow{u}=(0,1,0)이다. z=z_1, x=x_1
z평면 x성분과 y성분이 0이고, \overrightarrow{u}=(0,0,1)이다. x=x_1, y=y_1

두 점을 지나는 직선의 방정식[편집]

원점 O가 정의되어 있는 3차원 유클리드 공간에서 두 점 A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2)을 지나는 직선이 있을 때, 그 직선 위의 점 P에 대하여, 직선의 방정식은 다음과 같이 나타낸다.

\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}, \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}, \overrightarrow{OP}=\overrightarrow{x}일때,
\overrightarrow{x}-\overrightarrow{a}=t(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a})

이 식에서 매개변수 t를 소거하여 나타내면, 다음과 같다.


\frac {x-x_1} {x_2-x_1}=\frac {y-y_1} {y_2-y_1}=\frac {z-z_1} {z_2-z_1}

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]