선거 방식에 대해서는
직접 선거 문서를 참고하십시오.
직교 좌표 평면 위의 직선(일차 함수 )의 예. 빨간 직선과 파란 직선은 기울기 가 같고, 빨간 직선과 초록 직선은 y 절편이 같다.기하학 에서 직선 (直線, 영어 : (straight) line )은 곧게 뻗은 선을 추상화한 개념이다. 직관에 가장 가까운 유클리드 기하학 은 직선에 정의를 두지 않으며, 대신 그 성질을 나타내는 공리를 세워 기술한다. 이 경우 직선은 점이 서로 반대인 두 방향으로 휘지 않고 무한히 뻗어나가 얻는 1차원 도형으로 해석된다. 유클리드 기하학의 표준 모형인 해석기하학 에서 직선은 연립 일차 방정식 의 특수한 경우로 주어진다. 사영 평면 의 직선은 유클리드 기하학의 직선에 무한원점 하나를 보탠 경우와 모든 무한원점으로 이루어진 직선(무한원직선 )의 경우로 나뉘며, 3차원 공간의 고정된 점을 포함하는 평면들로 해석할 수도 있다. 미분기하학 에서 직선은 측지선 의 개념을 통해 기술할 수 있다. 결합기하학 은 직선을 점들의 집합으로 생각하는 대신 점이 놓였는지(점을 지나는지)에 대한 관계를 논할 수 있는, 점과는 독립된 대상으로 간주한다.
유클리드 기하학 을 처음 다룬 《원론 》은 선을 "길이가 있되 너비가 없다"고 정의한 뒤 직선을 "그 위의 점이 평등히 놓인 선"이라고 정의하지만, 이는 오늘날의 기준에서 정의에 속하지 않는다. 직선을 기술하는 공리들 역시 정의되지 않은 용어를 사용한다는 점에서 엄밀하지 않다. 힐베르트 공리계 는 점과 직선의 관계에 대한 공리의 엄밀한 서술과 직선이 만족시켜야 하는 아르키메데스 성질 및 완비성 을 추가하여 유클리드 기하학을 엄밀화하였다. 3차원 직교 좌표 공간
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
E
3
{\displaystyle \mathbb {E} ^{3}}
직교 좌표계 를 도구로 사용하여 대수학 적으로 다룰 수 있다. 즉, 직교 좌표 공간 위의 점은 그 좌표와 일대일 대응하며, 직선은 어떤 일차 방정식 (들)을 만족시키는 좌표에 대응하는 점의 집합으로 해석할 수 있다. 더 추상적인 관점에서, 유클리드 기하학의 직선은 실수선 과 동형인 거리 공간 을 뜻하며, 이는 직교 좌표 평면 또는 직교 좌표 공간 또는 고차원 유클리드 공간 에 매장된 경우를 포함한다.
평면 직선 [ 편집 ] 방정식 [ 편집 ] 직교 좌표계 (또는 극좌표계 )를 갖춘 평면 위의 직선은 매개 변수를 사용하지 않는다면 하나의 이변수 일차 방정식으로 표현되며, 이러한 방정식에는 여러 가지 꼴이 있다. 가장 일반적인 형식은 다음과 같다.
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0}
여기서
(
A
,
B
)
≠
(
0
,
0
)
{\displaystyle (A,B)\neq (0,0)}
기울기 가
m
{\displaystyle m}
y 절편
n
{\displaystyle n}
y
=
m
x
+
n
{\displaystyle y=mx+n}
이다. 수직선은 이러한 꼴의 방정식을 갖지 못한다. 점
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
m
{\displaystyle m}
y
−
y
1
=
m
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y-y_{1}=m(x-x_{1})}
이다. 수직선은 이렇게 나타낼 수 없다. 두 점
(
x
1
,
y
1
)
≠
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})\neq (x_{2},y_{2})}
(
y
−
y
1
)
(
x
2
−
x
1
)
=
(
x
−
x
1
)
(
y
2
−
y
1
)
{\displaystyle (y-y_{1})(x_{2}-x_{1})=(x-x_{1})(y_{2}-y_{1})}
이다. 이는 모든 직선에 적용할 수 있다. x 절편
x
0
≠
0
{\displaystyle x_{0}\neq 0}
y 절편이
y
0
≠
0
{\displaystyle y_{0}\neq 0}
x
/
x
0
+
y
/
y
0
=
1
{\displaystyle x/x_{0}+y/y_{0}=1}
이다. 수평선이나 수직선이나 원점을 지나는 직선은 이러한 방정식을 가질 수 없다. 직선에 극좌표 방정식을 줄 수도 있다. 기울기와 절편을 사용하면
r
sin
θ
=
m
r
cos
θ
+
n
{\displaystyle r\sin \theta =mr\cos \theta +n}
와 같은 꼴을 얻으며, 두 절편을 사용하면
1
/
r
=
cos
θ
/
x
0
+
sin
θ
/
y
0
{\displaystyle 1/r=\cos \theta /x_{0}+\sin \theta /y_{0}}
와 같은 꼴을 얻는다. 직선은 매개 변수 방정식이나 벡터 방정식으로 나타낼 수도 있으며, 이는 고차원 공간에서도 마찬가지다. 점
P
=
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle P=(x_{1},y_{1})}
방향 벡터 가
u
=
(
a
,
b
)
≠
(
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(a,b)\neq (0,0)}
x
=
x
1
+
a
t
y
=
y
1
+
b
t
(
t
∈
R
)
{\displaystyle {\begin{matrix}x=x_{1}+at\\y=y_{1}+bt\end{matrix}}\qquad (t\in \mathbb {R} )}
또는 매개 변수 벡터 방정식
O
Q
→
=
O
P
→
+
t
u
(
t
∈
R
)
{\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP}}+t\mathbf {u} \qquad (t\in \mathbb {R} )}
를 만족시키는 점
Q
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle Q=(x,y)}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
x
=
x
1
{\displaystyle x=x_{1}}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
y
=
y
1
{\displaystyle y=y_{1}}
기울기와 절편 [ 편집 ] 평면 직선의 각종 방정식의 계수를 사용하여 직선의 각종 속성을 나타내는 공식은 다음과 같다. (분모가 0일 경우 존재하지 않는다고 생각하거나 무한대라고 생각할 수 있다.)
직선의 방정식
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0}
y
=
m
x
+
n
{\displaystyle y=mx+n}
x
/
x
0
+
y
/
y
0
=
1
{\displaystyle x/x_{0}+y/y_{0}=1}
기울기
−
A
/
B
{\displaystyle -A/B}
m
{\displaystyle m}
−
y
0
/
x
0
{\displaystyle -y_{0}/x_{0}}
x 절편
−
C
/
A
{\displaystyle -C/A}
−
n
/
m
{\displaystyle -n/m}
x
0
{\displaystyle x_{0}}
y 절편
−
C
/
B
{\displaystyle -C/B}
n
{\displaystyle n}
y
0
{\displaystyle y_{0}}
두 직선의 위치 관계 [ 편집 ] 평면 위의 두 직선의 위치 관계는 일치·평행·교차 세 가지뿐이다. 즉, 완전히 겹치거나, 교점이 없거나, 교점이 유일하다. 이는 더 높은 차원에서는 성립하지 않는다. 교차할 경우 수직 인지(둘 사이의 각이 직각 인지)를 논할 수도 있다. 각 위치 관계의 필요충분조건은 방정식의 계수를 통해 나타낼 수 있으며, 이는 다음과 같다.
직선의 방정식
A
x
+
B
y
+
C
=
0
{\displaystyle Ax+By+C=0}
y
=
m
x
+
n
{\displaystyle y=mx+n}
O
Q
→
=
O
P
→
+
t
u
{\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP}}+t\mathbf {u} }
직선의 방정식
A
′
x
+
B
′
y
+
C
′
=
0
{\displaystyle A'x+B'y+C'=0}
y
=
m
′
x
+
n
′
{\displaystyle y=m'x+n'}
O
Q
→
=
O
P
′
→
+
t
u
′
{\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP'}}+t\mathbf {u} '}
일치
A
B
′
=
B
A
′
{\displaystyle AB'=BA'}
B
C
′
=
C
B
′
{\displaystyle BC'=CB'}
m
=
m
′
{\displaystyle m=m'}
n
=
n
′
{\displaystyle n=n'}
u
∥
u
′
∥
P
P
′
→
{\displaystyle \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\parallel {\overrightarrow {PP'}}}
평행
A
B
′
=
B
A
′
{\displaystyle AB'=BA'}
B
C
′
≠
C
B
′
{\displaystyle BC'\neq CB'}
m
=
m
′
{\displaystyle m=m'}
n
≠
n
′
{\displaystyle n\neq n'}
u
∥
u
′
∦
P
P
′
→
{\displaystyle \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\nparallel {\overrightarrow {PP'}}}
교차
A
B
′
≠
B
A
′
{\displaystyle AB'\neq BA'}
m
≠
m
′
{\displaystyle m\neq m'}
u
∦
u
′
{\displaystyle \mathbf {u} \nparallel \mathbf {u} '}
수직
A
A
′
+
B
B
′
=
0
{\displaystyle AA'+BB'=0}
m
m
′
=
−
1
{\displaystyle mm'=-1}
u
⊥
u
{\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {u} }
공간 직선 [ 편집 ] 방정식 [ 편집 ] 3차원 직교 좌표 공간부터는 직선이 낱개의 일차 방정식으로 주어지지 않는다. 이는 추상적인 관점에서 1차원 공간이 더 이상 초평면 이 아니기 때문이다.
점
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
(
a
,
b
,
c
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle (a,b,c)\neq (0,0,0)}
x
=
x
1
+
a
t
y
=
y
1
+
b
t
z
=
z
1
+
c
t
(
t
∈
R
)
{\displaystyle {\begin{matrix}x=x_{1}+at\\y=y_{1}+bt\\z=z_{1}+ct\end{matrix}}\qquad (t\in \mathbb {R} )}
이를
u
=
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(a,b,c)}
P
=
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle P=(x_{1},y_{1},z_{1})}
Q
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle Q=(x,y,z)}
O
Q
→
=
O
P
→
+
t
u
(
t
∈
R
)
{\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP}}+t\mathbf {u} \qquad (t\in \mathbb {R} )}
매개 변수를 쓰지 않는 방정식은 다음과 같다.
x
−
x
1
a
=
y
−
y
1
b
=
z
−
z
1
c
{\displaystyle {\frac {x-x_{1}}{a}}={\frac {y-y_{1}}{b}}={\frac {z-z_{1}}{c}}}
단,
a
b
c
=
0
{\displaystyle abc=0}
직선이 두 평면의 교선일 경우, 직선은 다음과 같이 각각 두 평면을 나타내는 두 일차방정식의 연립으로 나타낼 수 있다.
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
{\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0}
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0
{\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0}
이러한 직선의 한 방향 벡터는
(
A
,
B
,
C
)
×
(
A
′
,
B
′
,
C
′
)
{\displaystyle (A,B,C)\times (A',B',C')}
좌표 평면이나 좌표축에 평행하는 특수한 경우의 직선의 방정식은 다음과 같다.
지나는 점
좌표 평면 또는 좌표축
방향 벡터
(매개 변수 없는) 방정식
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
xy 평면
u
=
(
a
,
b
,
0
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(a,b,0)\neq (0,0,0)}
(
x
−
x
1
)
/
a
=
(
y
−
y
1
)
/
b
{\displaystyle (x-x_{1})/a=(y-y_{1})/b}
z
=
z
1
{\displaystyle z=z_{1}}
xz 평면
u
→
=
(
a
,
0
,
c
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle {\overrightarrow {u}}=(a,0,c)\neq (0,0,0)}
(
x
−
x
1
)
/
a
=
(
z
−
z
1
)
/
c
{\displaystyle (x-x_{1})/a=(z-z_{1})/c}
z
=
z
1
{\displaystyle z=z_{1}}
yz 평면
u
=
(
0
,
b
,
c
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(0,b,c)\neq (0,0,0)}
(
y
−
y
1
)
/
b
=
(
z
−
z
1
)
/
c
{\displaystyle (y-y_{1})/b=(z-z_{1})/c}
x
=
x
1
{\displaystyle x=x_{1}}
x 축
u
=
(
a
,
0
,
0
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(a,0,0)\neq (0,0,0)}
y
=
y
1
{\displaystyle y=y_{1}}
z
=
z
1
{\displaystyle z=z_{1}}
y 축
u
=
(
0
,
b
,
0
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(0,b,0)\neq (0,0,0)}
x
=
x
1
{\displaystyle x=x_{1}}
z
=
z
1
{\displaystyle z=z_{1}}
z 축
u
=
(
0
,
0
,
c
)
≠
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \mathbf {u} =(0,0,c)\neq (0,0,0)}
x
=
x
1
{\displaystyle x=x_{1}}
z
=
z
1
{\displaystyle z=z_{1}}
두 직선의 위치 관계 [ 편집 ] 3차원 공간 위의 두 직선의 위치 관계는 다음과 같이 네 경우로 나뉜다.
일치: 두 직선이 포함하는 점이 완전히 같다.
평행: 두 직선이 같은 평면 위에 놓이지만 교점이 없다.
교차: 두 직선이 단 하나의 교점을 갖는다.
꼬인 위치: 두 직선이 같은 평면 위에 놓이지 않는다. 고차원의 경우 역시 성립하지만 꼬인 위치가 더 다양한 경우를 포함하게 된다. 3차원 공간 위의 두 직선의 위치 관계의 필요충분조건을 방정식을 통해 나타내면 다음과 같다.[1]
직선의 방정식
O
Q
→
=
O
P
→
+
t
u
{\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP}}+t\mathbf {u} }
(
x
−
x
1
)
/
a
=
(
y
−
y
1
)
/
b
=
(
z
−
z
1
)
/
c
{\displaystyle (x-x_{1})/a=(y-y_{1})/b=(z-z_{1})/c}
A
1
x
+
B
1
y
+
C
1
z
+
D
1
=
0
{\displaystyle A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1}=0}
A
2
x
+
B
2
y
+
C
2
z
+
D
2
=
0
{\displaystyle A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_{2}=0}
직선의 방정식
O
Q
→
=
O
P
′
→
+
t
u
′
{\displaystyle {\overrightarrow {OQ}}={\overrightarrow {OP'}}+t\mathbf {u} '}
(
x
−
x
1
′
)
/
a
′
=
(
y
−
y
1
′
)
/
b
′
=
(
z
−
z
1
′
)
/
c
′
{\displaystyle (x-x_{1}')/a'=(y-y_{1}')/b'=(z-z_{1}')/c'}
A
1
′
x
+
B
1
′
y
+
C
1
′
z
+
D
1
′
=
0
{\displaystyle A_{1}'x+B_{1}'y+C_{1}'z+D_{1}'=0}
A
2
′
x
+
B
2
′
y
+
C
2
′
z
+
D
2
′
=
0
{\displaystyle A_{2}'x+B_{2}'y+C_{2}'z+D_{2}'=0}
일치
u
∥
u
′
∥
P
P
′
→
{\displaystyle \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\parallel {\overrightarrow {PP'}}}
|
a
b
a
′
b
′
|
=
|
b
c
b
′
c
′
|
=
|
a
b
x
1
′
−
x
1
y
1
′
−
y
1
|
=
|
b
c
y
1
′
−
y
1
z
1
′
−
z
1
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\y_{1}'-y_{1}&z_{1}'-z_{1}\end{vmatrix}}=0}
|
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
A
1
′
B
1
′
C
1
′
|
=
|
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
A
2
′
B
2
′
C
2
′
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'\end{vmatrix}}=0}
|
A
1
B
1
C
1
D
1
A
2
B
2
C
2
D
2
A
1
′
B
1
′
C
1
′
D
1
′
A
2
′
B
2
′
C
2
′
D
2
′
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'&D_{1}'\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'&D_{2}'\end{vmatrix}}=0}
평행
u
∥
u
′
∦
P
P
′
→
{\displaystyle \mathbf {u} \parallel \mathbf {u} '\nparallel {\overrightarrow {PP'}}}
|
a
b
a
′
b
′
|
=
|
b
c
b
′
c
′
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}}=0}
¬
|
a
b
x
1
′
−
x
1
y
1
′
−
y
1
|
=
|
b
c
y
1
′
−
y
1
z
1
′
−
z
1
|
=
0
{\displaystyle \lnot {\begin{vmatrix}a&b\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\y_{1}'-y_{1}&z_{1}'-z_{1}\end{vmatrix}}=0}
교차
u
∦
u
′
{\displaystyle \mathbf {u} \nparallel \mathbf {u} '}
P
P
′
→
⋅
(
u
×
u
′
)
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {PP'}}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')=0}
¬
|
a
b
a
′
b
′
|
=
|
b
c
b
′
c
′
|
=
0
{\displaystyle \lnot {\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix}}=0}
|
a
b
c
a
′
b
′
c
′
x
1
′
−
x
1
y
1
′
−
y
1
z
1
−
z
1
′
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}&z_{1}-z_{1}'\end{vmatrix}}=0}
¬
|
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
A
1
′
B
1
′
C
1
′
|
=
|
A
1
B
1
C
1
A
2
B
2
C
2
A
2
′
B
2
′
C
2
′
|
=
0
{\displaystyle \lnot {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'\end{vmatrix}}=0}
수직
u
⊥
u
{\displaystyle \mathbf {u} \perp \mathbf {u} }
P
P
′
→
⋅
(
u
×
u
′
)
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {PP'}}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')=0}
a
a
′
+
b
b
′
+
c
c
′
=
0
{\displaystyle aa'+bb'+cc'=0}
|
a
b
c
a
′
b
′
c
′
x
1
′
−
x
1
y
1
′
−
y
1
z
1
−
z
1
′
|
=
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}&z_{1}-z_{1}'\end{vmatrix}}=0}
꼬인 위치
u
∦
u
′
{\displaystyle \mathbf {u} \nparallel \mathbf {u} '}
P
P
′
→
⋅
(
u
×
u
′
)
≠
0
{\displaystyle {\overrightarrow {PP'}}\cdot (\mathbf {u} \times \mathbf {u} ')\neq 0}
|
a
b
c
a
′
b
′
c
′
x
1
′
−
x
1
y
1
′
−
y
1
z
1
−
z
1
′
|
≠
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\x_{1}'-x_{1}&y_{1}'-y_{1}&z_{1}-z_{1}'\end{vmatrix}}\neq 0}
|
A
1
B
1
C
1
D
1
A
2
B
2
C
2
D
2
A
1
′
B
1
′
C
1
′
D
1
′
A
2
′
B
2
′
C
2
′
D
2
′
|
≠
0
{\displaystyle {\begin{vmatrix}A_{1}&B_{1}&C_{1}&D_{1}\\A_{2}&B_{2}&C_{2}&D_{2}\\A_{1}'&B_{1}'&C_{1}'&D_{1}'\\A_{2}'&B_{2}'&C_{2}'&D_{2}'\end{vmatrix}}\neq 0}
직선과 평면의 위치 관계 [ 편집 ] 3차원 공간의 직선
l
⊂
R
3
{\displaystyle l\subset \mathbb {R} ^{3}}
Σ
⊂
R
3
{\displaystyle \Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}
l
⊂
Σ
{\displaystyle l\subset \Sigma }
l
∥
Σ
{\displaystyle l\parallel \Sigma }
#
(
l
∩
Σ
)
=
1
{\displaystyle \#(l\cap \Sigma )=1}
l
⊥
Σ
{\displaystyle l\perp \Sigma }
고차원의 경우 [ 편집 ] 직선은 임의의
n
{\displaystyle n}
유클리드 공간 까지 일반화할 수 있다. 이 경우에도 매개 변수 방정식이나 초평면 의 교점으로서 기술할 수 있다. 평면 직선의 자유도는 2, 공간 직선의 자유도는 4인데,
n
{\displaystyle n}
2
(
n
−
1
)
{\displaystyle 2(n-1)}
유클리드 기하학 밖의 경우 [ 편집 ] 구면기하학 의 직선은 대원 이다. 쌍곡기하학 의 직선은 푸앵카레 모형 에서 원 과 직교 하는 호 이다.
관련 개념 [ 편집 ] 반직선과 선분 [ 편집 ] 이 부분의 본문은
반직선 입니다.
반직선 은 직선 위의 점을 기준으로 직선의 한 쪽만을 취하여 얻는다. 선분 은 직선의 두 점 사이의 부분을 취하여 얻는다. 예를 들어, 직선의 매개 변수 방정식
x
=
x
1
+
a
t
{\displaystyle x=x_{1}+at}
y
=
y
1
+
b
t
{\displaystyle y=y_{1}+bt}
z
=
z
1
+
c
t
{\displaystyle z=z_{1}+ct}
에서,
t
∈
R
{\displaystyle t\in \mathbb {R} }
t
≥
0
{\displaystyle t\geq 0}
t
≤
0
{\displaystyle t\leq 0}
(
x
1
,
y
1
,
z
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})}
t
∈
[
t
′
,
t
″
]
∪
[
t
′
,
t
″
]
{\displaystyle t\in [t',t'']\cup [t',t'']}
(
x
1
+
a
t
′
,
y
1
+
b
t
′
,
z
1
+
c
t
′
)
{\displaystyle (x_{1}+at',y_{1}+bt',z_{1}+ct')}
(
x
1
+
a
t
″
,
y
1
+
b
t
″
,
z
1
+
c
t
″
)
{\displaystyle (x_{1}+at'',y_{1}+bt'',z_{1}+ct'')}
접선과 할선 [ 편집 ] 이 부분의 본문은
접선 및
할선 입니다.
곡선을 어떤 점에서 스치면서 지나가는 직선을 접선 이라고 한다. 곡선의 어떤 점에서의 접선은 곡선의 그 점 주위의 부분을 선형 근사 한다. 곡선의 접선은 곡선과 유일한 교점을 갖는 직선과 다른 개념이다. 원 의 접선이 될 필요충분조건은 교점의 유일성이지만, 이는 일반적인 곡선에 대하여 성립하지 않는다. 반면 곡선을 두 번 가로질러 지나가는 직선을 할선 이라고 한다. 접선은 할선이 가로지르는 두 교점이 점차 가까워질 때 가지는 극한이라고 생각할 수 있다.
같이 보기 [ 편집 ] 외부 링크 [ 편집 ] 
선거 방식에 대해서는 직접 선거 문서를 참고하십시오.
일차 방정식 § 이변수 일차 방정식 문서를 참고하십시오.
![{\displaystyle t\in [t',t'']\cup [t',t'']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60d59cdcf429807ef8548b719b7c0eca35fe176a)
