직선

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빨간 선과 파란 선은 기울기가 같고, 빨간 선과 초록 선은 y 절편이 같다.

직선(直線)은 무한히 얇고, 무한길고 곧은 기하학적 요소이다. 여기서 직선은 수많은 들이 곧은 형태로 모여, 끝없이 한 방향과 그 반대편 방향쪽으로 뻗어있기 때문에, 점과 다르게 길이와 방향의 개념이 있으나 한없이 얇다는 부분에서는 동일한 것이다.

2차원에서 두 직선의 관계는 평행이거나(영원히 만나지 않거나), 일치하거나, 한 에서 만나거나 가운데 반드시 하나이다. 3차원 공간에서는 "꼬인 위치에 있다"가 추가된다.

직선의 방정식[편집]

직선의 방정식은 좌표계의 종류에 따라, 그리고, 좌표축의 개수에 따라 다양하게 기술될 수 있으며, 본 문서에서는 유클리드 좌표계에서도 2차원 및 3차원의 경우를 논한다.

2차원[편집]

y축과 평행하지 않은 직선은 일차방정식

(a는 0이 아닌 실수)

의 꼴로 나타낼 수 있다. 이때 를 직선의 기울기라고 한다. 당연히, 기울기의 개념이 없는, y축과 평행한 직선은 위의 수식으로 표현 불가능하다.

이 기울기는 y축과 평행하지않은 일차방정식의 수많은 해 사이의 일정한 규칙을 숫자로 표현한 것으로 볼 수 있다. 때문에, 기울기를 이용하여 직선의 방정식을 구하는 것은 매우 간편한 방법이다.

일반적인 직선의 방정식은 (a, b는 0이아닌 실수) 으로 나타낼 수 있으며, y축과 평행한 직선까지 나타낼 수 있다.

여러가지 직선의 방정식[편집]

  • x축의 방정식은
  • y축의 방정식은
  • x축에 평행한 직선의 방정식은 (단, k≠0)
  • y축에 평행한 직선의 방정식은 (단, k≠0)
  • 을 지나고 기울기가 m인 직선의 방정식은
  • , 을 지나는 직선의 방정식은
  • x절편이 , y절편이 인 직선의 방정식은

이차 곡선의 접선의 방정식[편집]

  • 위의 점 에서의 접선의 방정식은
  • 의 기울기가 인 접선의 방정식은
  • 타원 위의 점 에서의 접선의 방정식은
  • 타원 의 기울기가 인 접선의 방정식은
  • 쌍곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은
  • 쌍곡선 의 기울기가 인 접선의 방정식은

임의의 곡선의 접선의 방정식[편집]

  • 2차원 유클리드 공간 내의 임의의 곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은
    (단, 는 곡선 의 점 에서의 미분계수)

한 그래프의 특징[편집]

직선은 는 다음과 같은 특징을 갖는다.

  • x절편은 , y절편은 이다.
  • 일 때, x축과 한 점에서 만난다.

두 그래프의 특징[편집]

일차 함수 , 의 그래프는 다음과 같은 특징을 갖는다.

  • , 일 때 두 그래프는 일치한다.
  • , 일 때 두 그래프는 평행하다.
  • 일 때 두 그래프는 수직이다.

3차원[편집]

3차원에서의 직선의 방정식은 벡터를 이용해 기술한다.

한 점을 지나는 직선의 방정식[편집]

한 점을 지나고 방향벡터에 평행한 방정식[편집]

한 점 A를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 에 평행한 직선 이 있을 때, 이 직선 위에 있는 점 P에 대하여, 라 하면(3차원 유클리드 공간의 원점이다.), 가 성립한다.(는 임의의 스칼라) 이때, 는 직선이 뻗어있는 방향을 결정하는 벡터로, 이 벡터를 방향벡터라고 한다. 그리고 점 P의 위치를 결정하는 벡터인 는 위치 벡터라고 한다.

여기서 , , 이면, 위의 벡터방정식을 이렇게 바꾸어 쓸수도 있다.
특히, abc≠0일때, 다음이 성립한다.

xy평면, yz평면, zx평면에 평행한 직선의 방정식[편집]

좌표평면에 평행하고, 점 을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

직선의 방정식
좌표평면 좌표평면에 평행한 직선의 방향벡터 좌표평면에 평행한 직선의 방정식
평면 성분이 0이고, 이다.
평면 성분이 0이고,
평면 성분이 0이고,
x축, y축, z축과 평행한 직선의 방정식[편집]

좌표축에 평행하고, 점 을 지나는 직선의 방정식은 다음과 같다.

직선의 방정식
좌표축 좌표축에 평행한 직선의 방향벡터 좌표축에 평행한 직선의 방정식
성분과 성분이 0이고, 이다.
성분과 성분이 0이고, 이다.
성분과 성분이 0이고, 이다.

두 점을 지나는 직선의 방정식[편집]

원점 가 정의되어 있는 3차원 유클리드 공간에서 두 점 , 을 지나는 직선이 있을 때, 그 직선 위의 점 P에 대하여, 직선의 방정식은 다음과 같이 나타낸다.

, , 일때,

이 식에서 매개변수 를 소거하여 나타내면, 다음과 같다.


같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]