거리 공간

수학에서 거리 공간(距離空間, 영어: metric space)은 두 점 사이의 거리가 정의된 공간이다. 거리의 정의에 따라 표준적인 위상을 갖는다.

정의

집합 $X$ 위의 거리 함수(距離函數, 영어: metric function)는 다음 조건을 만족시키는 함수

$d\colon X\times X\to [0,\infty )$

이다.

• (구분 불가능한 점의 동일성) 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $d(x,y)=0\iff x=y$
• (대칭성) 임의의 $x,y\in X$에 대하여, $d(x,y)=d(y,x)$
• (삼각 부등식, 영어: triangle inequality) 임의의 $x,y,z\in X$에 대하여, $d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)$

마지막 두 공리는 다음과 같은 하나의 공리로 대체시킬 수 있다.

• (삼각 부등식) $d(z,y)+d(y,x)\geq d(x,z)$

여기서 $z=y$로 잡으면 $d(y,x)=d(x,y)$가 되어, 대칭 공리를 얻는다. 거리 함수의 정의에서, 첫째 조건을 $d(x,y)=0\Longleftarrow x=y$로 약화시키면 유사 거리 함수의 개념을 얻는다.

거리 공간 $(X,d)$은 거리 함수가 주어진 집합이다.

거리 공간의 특별한 집합

 이 부분의 본문은 공 (수학)입니다.

거리 공간 $X$에서, 점 $x\in X$를 중심으로 하는, 반지름이 $r\in \mathbb {R} ^{+}$인 열린 공 $B_{r}(x)$는 다음과 같다.(저자에 따라서는 $B(x,r)$로 적기도 한다.)

$B_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)<r\}$

점 $x\in X$를 중심으로 하는, 반지름이 $r\in \mathbb {R} ^{+}$인 닫힌 공 ${\bar {B}}_{r}(x)$는 다음과 같다.

${\bar {B}}_{r}(x)=\{y\in X\colon d(x,y)\leq r\}$

거리 공간 $X$의 유계 집합 $S\subset X$는 다음 조건을 만족시키는 부분 집합이다.

• $\sup\{d(x,s)\colon s\in S\}<\infty$인 점 $x\in X$가 존재한다.

거리 위상

거리 공간 $(X,d)$의 거리 위상(距離位相, 영어: metric topology)은 열린 공들을 기저로 하는 위상이다. 즉, 거리 위상에서의 열린집합은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 $U\subset X$이다.

모든 $x\in U$에 대하여, $B(x,r_{x})\subset U$인 $r_{x}>0$가 존재한다.

거리 위상은 거리 함수 $d\colon X\times X\to [0,\infty )$를 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이자, 함수 집합 $(d(x,-)\colon X\to [0,\infty ))_{x\in X}$의 시작 위상이다. 모든 거리 공간은 거리 위상을 통해 표준적으로 위상 공간을 이룬다.

완비 거리 공간

 이 부분의 본문은 완비 거리 공간입니다.

모든 코시 수열이 극한을 갖는 거리 공간을 완비 거리 공간이라고 한다.

지름

거리 공간 $(X,d)$의 지름(영어: diameter) $\operatorname {diam} X$는 그 속의 두 점 사이의 가능한 거리들의 상한이다.

$\operatorname {diam} X=\sup _{x,y\in X}d(x,y)\in [0,\infty ]$

마찬가지로, 거리 공간의 부분 공간은 거리 공간을 이루므로 그 지름을 정의할 수 있다.

지름이 유한한 거리 공간을 유계 공간이라고 한다.

성질

거리 공간 $(X,d)$의 임의의 부분 집합 $Y\subseteq X$에 대하여, $(Y,d|_{Y\times Y})$는 거리 공간을 이룬다.

위상수학적 성질

 이 부분의 본문은 거리화 가능 공간입니다.

모든 거리 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

• 하우스도르프 공간이다.
• 파라콤팩트 공간이다.
• T₆ 공간이다.
• 제1 가산 공간이다.

거리 공간 $(X,d)$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• $X$는 분해 가능 공간이다.
• $X$는 제2 가산 공간이다.
• $X$는 린델뢰프 공간이다.

예

• 실수 $\mathbb {R}$에서, 거리가 절댓값을 이용하여, $d(x,y)=|x-y|$로 정의되었을 때, $(\mathbb {R} ,d)$는 완비 거리 공간이다.
• 유리수의 집합 $\mathbb {Q} \subset \mathbb {R}$은 실수 거리 공간의 부분 공간으로서 거리 공간을 이룬다. 그러나 이는 완비 거리 공간이 아니다.
• 유클리드 공간에서, $\mathbb {R} ^{n}$에서, 거리를 $d(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$로 정의하면, $(\mathbb {R} ^{n},d)$는 거리 공간이다. 이렇게 정의된 거리를 유클리드 거리, 이 공간을 n차원 유클리드 공간이라 하며, 보통 자연과학에서 말하는 거리는 이 정의를 따른다. 이는 완비 거리 공간을 이룬다.
• $\mathbb {R} ^{n}$에서 $d_{0}(x-y)=\max _{1\leq i\leq n}{|x_{i}-y_{i}|}$을 거리로 정의하면, $(\mathbb {R} ^{n},d_{0})$는 거리공간이다. 이처럼 같은 집합에 대하여 정의가 가능한 거리는 유일하지 않다. 그러나 두 가지 거리 함수는 같은 위상을 정의한다.

노름 공간 $(V,\Vert \cdot \Vert )$에 대하여, 거리 함수를

$d(x,y)=\|x-y\|$

로 정의한다면, $(V,d)$는 거리 공간이다. 마찬가지로, 노름 공간 $(V,\Vert \cdot \Vert )$에 대하여 거리 함수를

$d_{\text{post}}(x,y)=\|x\|+\|y\|$

로 정의한다면, $(V,d_{\text{post}})$는 거리 공간이다. 이 거리 함수를 우체국 거리(영어: post-office metric)라고 한다.

임의의 연결 리만 다양체 $(M,g)$에 대하여, 거리 함수를

$d(x,y)=\inf _{\gamma \in C^{1}([0,1],M)}\int _{0}^{1}{\sqrt {g^{-1}(\gamma '(s),\gamma '(s))}}\,ds$

로 정의한다면, $(M,d)$는 거리 공간이다.

임의의 집합 $X$ 및 양의 실수 $r$에 대하여,

$d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\r&x\neq y\end{cases}}$

는 초거리 함수를 이룬다. 이를 이산 거리 함수라고 한다.

임의의 연결 그래프 $G$에 대하여, 두 꼭짓점 사이의 거리를 이 두 점을 잇는 경로들의 길이의 최솟값으로 정의한다면, 이는 꼭짓점들의 집합 위의 거리 함수를 이룬다.

참고 문헌

• Bryant, Victor (1985년 5월). 《Metric Spaces: Iteration and Application》 (영어). Cambridge University Press. ISBN 978-052131897-6. 
• Ó Searcóid, Mícheál (2006). 《Metric Spaces》. Springer Undergraduate Mathematics Series (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-84628-627-8. ISBN 978-1-84628-369-7. ISSN 1615-2085. 

같이 보기

• 등거리변환
• 리만 계량, 리만 다양체
• 거리화 가능 공간
• 초거리 공간
• 길이 거리 공간

외부 링크

• “Metric space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Metric”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Metric space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Metric”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.