닮음 (기하학)

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닮은 도형들은 같은 색이 칠해져 있다.

기하학에서, 닮음(영어: similarity)은 유클리드 공간의 모든 을 보존하며 모든 거리를 일정한 비율로 확대 또는 축소시키는 아핀 변환이다. 모든 닮음은 고정점을 가지는 닮음과 등거리 변환합성으로 나타낼 수 있다. 평행 이동, 회전, 반사 등이 이러한 등거리 변환이 될 수 있다.

두 도형의 하나에 닮음에 대한 을 취하여 다른 하나를 얻을 수 있다면 이 두 도형을 서로 닮음이라고 한다. 닮음 도형은 모양은 같거나 거울상이되 크기는 다를 수 있다. 예를 들어, 두 삼각형이 서로 닮음일 필요충분조건은 세 대응각의 크기가 각각 같고, 세 대응변의 길이가 비례하는 것이다. 또한, 모든 , , 정다각형, 정다면체는 각각 서로 닮음이다.

정의[편집]

양의 실수 가 주어졌다고 하자.

의 닮음(영어: similarity with ratio )는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 이다.

  • 임의의 에 대하여,

이는 유클리드 공간의 가역 아핀 변환을 이룬다.[1]:171

중심닮음[편집]

중심닮음을 취한 오각형

및 실수 가 주어졌다고 하자.

중심 및 비 의 중심닮음(호모세티)(영어: central similarity (homothety) with center and ratio )은 다음과 같은 함수이다.

성질[편집]

아핀 변환 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[1]:172

  • 는 닮음이다.
  • (각의 보존) 임의의 에 대하여,
  • (직각의 보존) 임의의 에 대하여, 라면,

의 닮음은 차원 도형의 초부피를 배 확대(축소)한다.

비가 인 중심닮음은 비가 인 닮음이다. 이는 일 경우 방향을 보존하며, 일 경우 방향을 반전한다. 반대로, 비 의 닮음이 고정점 을 가진다면, 이는 중심 및 비 의 중심닮음이다.

원점을 중심으로 하는 중심닮음은 선형 변환이다. 그 임의의 기저에 대한 행렬은 비가 일 경우 이다.

모든 닮음은 중심닮음과 등거리 변환합성으로 나타낼 수 있다.[1]:171

삼각형의 닮음[편집]

두 삼각형 의 닮음은 기호로 와 같이 표기한다.

두 삼각형 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.

  • . 즉, 두 삼각형은 서로 닮음이다.
  • . 즉, 세 쌍의 대응변의 길이가 비례한다. 이를 변변변 닮음(영어: SSS similarity)이라고 한다.
  • 이며 . 즉, 두 쌍의 대응변의 길이가 비례하며, 그 사잇각의 크기가 같다. 이를 변각변 닮음(영어: SAS similarity)이라고 한다.
  • 이며 . 즉, 두 쌍의 대응각의 크기가 각각 같다. 이를 각각 닮음(영어: AA similarity)이라고 한다.

서로 닮음인 삼각형의 세 대응변의 길이의 비가 모두 라면, 넓이의 비는 이다.

[편집]

모든 등거리 변환은 비 1의 닮음이다. 따라서 합동은 닮음의 특수한 경우다.

평면 위에서, 원점 을 중심으로 하고 2를 비로 하는 중심닮음은 행렬로 표기하면 다음과 같다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Borceux, Francis (2014). 《An Algebraic Approach to Geometry》 (영어). Switzerland: Springer. ISBN 978-3-319-01732-7. doi:10.1007/978-3-319-01733-4. 

외부 링크[편집]