기하학

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기하학(幾何學, 그리스어: γεωμετρία, 영어: geometry)은 공간에 있는 도형의 성질, 즉 대상들의 치수, 모양, 상대적 위치 등을 연구하는 수학의 한 분야이다. 기하학이 다루는 대상으로는 , , , 도형, 공간과 같은 것이 있다.[1]

어원[편집]

유럽 언어의 geometry, géométrie 등은 라틴어 geometria에서 왔으며, 더 거슬러 올라가면 고대 그리스어 γεωμετρία에서 유래한 말이다. 이는 땅을 뜻하는 그리스어 단어 γε(게)와 측정하다를 뜻하는 그리스어 단어 μετρία(메트리아)를 합하여 만든 말이다.[2]

‘기하(幾何)’는 ‘(길이·넓이 등이) 얼마인가?’를 뜻하는 말로, 구장 산술(3세기) 등 중국의 수학책에서 ‘밭의 넓이가 얼마인가(為田幾何)’ 같은 표현으로 쓰였고 이는 명나라 때의 수학책까지 계속됐다. 1607년 명나라서광계마테오 리치와 함께 크리스토퍼 클라비우스(독일어판)가 편집한 에우클레이데스의 원론 라틴어판을 번역하면서 제목을 《기하원본(幾何原本)》이라 붙였다. 이 번역본에서 ‘기하’라는 낱말은 라틴어의 geometria가 아니라 ‘크기’ , ‘양’을 뜻하는 단어 magnitudo의 번역어로 쓰였다.[3][4] 마테오 리치의 《역기하원본인(譯幾何原本引)》 · 줄리오 알레니(이탈리아어판)의 《서학범(西学凡)》(1623) · 이지조의 《명리탐(名理探)》(1630년대) 등에서는 기하학(geometria)을 ‘양법(量法)’으로 번역했으며,[4] 특히 《서학범》에서는 ‘기하지학(幾何之學)’이라는 낱말을 수학(mathematica)의 번역어로 썼다.(“幾何之學,名曰馬得馬第加者,譯言察幾何之道”)[5][4] 청나라 때에도 ‘기하’라는 낱말은 보통 서양의 수학 전반을 부르는 말로 썼지만 일부 번역서에서는 기하학을 부르는 말로 쓰기도 했다. 조아킴 부베장프랑수아 제르비용(프랑스어판)이 프랑스어에서 한문으로 번역한 《기하원본》(1690)에서는 ‘기하’를 géométrie의 번역어로 썼다.[3][4] 보편적인 ‘기하’라는 낱말의 뜻이 변하여 지금의 기하학을 가리키게 된 것은 19세기 후반 이후에 들어서였다.[5][4]

역사[편집]

기하학의 시작[편집]

YBC 7289 점토판


고전 기하학[편집]

아르키메데스는 원기둥에 놓인 구를 자신의 묘비에 새기게 하였다.


Euclid's Axiom.svg
  1. 임의의 서로 다른 두 점 P, Q에 대해 두 점을 지나는 직선은 유일하다.
  2. 임의의 두 선분 AB, CD에 대해 B가 A와 E 사이에 위치하고 선분 BE의 길이가 선분 CD의 길이와 같게 되는 점 E는 유일하다.
  3. 점 O를 정점으로 하고 반지름이 OP인 원을 그릴 수 있다.
  4. 모든 직각은 합동이다.
  5. 하나의 직선 위에 있지 않은 점 P를 지나는 평행선은 유일하다.
정삼각형의 작도


주요 기초 정리[편집]

피타고라스의 정리[편집]

유클리드 기하학에서 널리 알려진 기본 정리는 피타고라스의 정리가 있다. 직각삼각형의 세 변 a, b, c에서 c를 빗변이라고 할 때 가 된다는 이 정리는 고대 부터 널리 알려져 있었으며, 수 많은 방식으로 증명되어 있다.[6]

아래는 피타고라스의 정리에 대한 간단한 대수적 증명이다.

Pythagoralg.png

오른쪽 그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는 이고, 따라서 넓이는 이 된다.

이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는 , 네 개의 직각삼각형의 넓이는 가 된다.

따라서, 전체 넓이는 가 된다. 그러므로

가 성립한다.

원뿔 곡선[편집]

여러 가지 원뿔 곡선

원뿔 곡선은 하나의 평면으로 원뿔을 잘랐을 때 생기는 곡선, 타원, 포물선, 쌍곡선을 말한다.[7] 원뿔 곡선에 대한 연구는 고대 그리스 시대에서 부터 계속되어 왔다.

각 곡선에 대한 기하학의 정의는 다음과 같다.

  • 원: 평면 위의 하나의 정점에서 거리가 일정한 점들의 집합
  • 타원: 평면 위의 두 정점에서 거리의 합이 일정한 점들의 집합
  • 포물선: 평면 위의 하나의 정점과 이를 지나지 않는 하나의 직선에서 같은 거리에 있는 점들의 집합.
  • 쌍곡선: 평면 위의 두 정점에서 거리의 차가 일정한 점들의 집합

오일러의 다면체 정리[편집]

오일러의 다면체 정리레온하르트 오일러가 발견한 도형의 점, 선, 면의 관계이다. 꼭지점의 개수를 , 모서리의 개수를, 면의 개수를 라고 하면 의 관계가 성립한다. 오일러의 다면체 정리는 쾨니히스베르크의 다리 문제에서 비롯된 한붓그리기와 함께 도형에 변형이 있더라도 변하지 않는 속성이 있다는 점을 일깨워 준다. 이는 호몰로지라는 위상수학의 개념으로 발전하였다.[8]

가우스의 정17각형 작도 가능 증명[편집]

1796년 가우스는 변의 개수가 페르마 소수정다각형은 자와 컴퍼스만으로 작도가 가능하다는 것을 보였다. 특히, 3월 30일에 정17각형의 작도법을 발견하였다. 이것은 고대 그리스 시대부터 수학에서 중요한 부분을 차지해 온 작도 문제에서 주요한 발견이었다.[9] 이는 π⁄17의 삼각함수 값이 사칙연산제곱근만으로 표현이 가능하다는 것을 의미한다.[10]

이러한 가우스의 증명은 다시 사칙연산과 제곱근으로 표현 가능한 도형은 작도가 가능하다는 것을 의미한다

분야[편집]

주해[편집]


각주[편집]

  1. Howard Eves, 허민·오혜영 역, 《수학의 기초와 기본 개념》, 〈제4장 힐베르트의 기초〉, 경문사, ISBN 89-7282-217-5
  2. geometry, Online Etymology Dictionary
  3. Peter M. Engelfriet (1998). 《Euclid in China》. Brill. 
  4. 宋芝业. ““几何”曾经不是几何学 — 明末“几何”及相关学科命名新探”. 《科学文化评论》. 8권 3호 (中国科学院科学传播局). 2020년 7월 24일에 확인함. 
  5. 渡辺純成 (2005년 7월). “満洲語資料からみた「幾何」の語源について” (PDF). 《数理解析研究所講究録》 1444: 34-42. 2020년 7월 26일에 확인함. 
  6. Pythagorean Theorem
  7. Conic Sections
  8. 사쿠라이 스스무, 정미애 역, 《수학으로 우주재패》, 살림MATH, 2008년 ISBN 978-89522-0988-7, 76쪽
  9. 카를 프리드리히 가우스
  10. 십칠각형

외부 링크[편집]