피타고라스의 정리

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피타고라스의 정리: 두 직각변에 얹힌 두 정사각형의 넓이의 합은 빗변에 얹힌 정사각형의 넓이와 같다.

기하학에서, 피타고라스의 정리(문화어: 세평방의정리, 영어: Pythagorean theorem)는 유클리드 기하학직각 삼각형의 세 변 사이에 성립하는 관계이다. 이에 따르면, 직각 삼각형의 빗변의 제곱은 두 직각변의 제곱합과 같다.

정의[편집]

직각 삼각형의 세 변 가 주어졌다고 하자. 또한, 가 직각변(즉, 직각의 이웃변), 가 빗변(즉, 직각의 대변)이라고 하자. 그렇다면, 이 세 변 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 피타고라스의 정리라고 한다.

직각 삼각형의 직각변 와 빗변 가운데 둘을 알면, 남은 하나를 다음과 같이 구할 수 있으며, 이 식들은 피타고라스의 정리의 한 가지 변형이다.

직각 삼각형의 한 예각을 라고 하자. 그렇다면, 피타고라스의 정리는 다음과 같은 항등식과 동치이며, 이를 피타고라스 항등식이라고 한다.

여기서

  • 사인이다.
  • 코사인이다.
  • 에 사인을 취한 뒤 제곱을 취한 것이다. 역시 마찬가지다.

이는 이며, 라는 점으로부터 증명할 수 있다. 이 항등식은 사실 예각뿐 아니라 임의의 각 에 대하여 성립한다.

증명[편집]

피타고라스의 정리를 증명하는 방법은 여러 가지가 있다.

넓이 증명[편집]

Euclid-1-47-pythagorean-proposition001.svg

유클리드의 피타고라스 정리 증명은 닮음꼴 이론을 사용하지 않으므로서 순수하게 기하학적이다.

다음은 유클리드가 피타고라스 정리를 증명하기 위해 사용한 아이디어이다.

닮음 증명[편집]

Proof-Pythagorean-Theorem.svg

오른쪽 그림에서, 점 H는 점 C에서 변 AB에 내린 수선의 발이다. 이때 삼각형 ACH와 삼각형 ABC는 닮음이 되고, 비슷한 이유로 삼각형 CBH와 삼각형 ABC는 닮음이다. 따라서

이 성립한다. 이 두 식을 정리하면

이 두 식을 더하면

이 되고, 따라서

가 성립한다.

대수적 증명[편집]

Pythagoralg001.svg

오른쪽 그림에서 전체 정사각형의 한 변의 길이는 이고, 따라서 넓이는 이 된다.

이번에는 부분의 넓이를 각각 구해보면, 가운데 정사각형의 넓이는 , 네 개의 직각삼각형의 넓이는 가 된다.

따라서, 전체 넓이는 가 된다. 그러므로

가 성립한다.

정사각형에서 직각이등변삼각형의 성질을 이용한 증명[편집]

Pythagorean-proposition001.svg

정사각형에서 마주보는 각을 대각선으로 서로 연결했을때, 서로 합동인 4 개의 직각이등변삼각형으로 나뉜다. 이중 하나의 직각이등변삼각형을 가지고 그 빗변을 정사각형의 한변에 외접시켰을때,

개의 직각이등변삼각형의 면적과 같고,
은 나머지개의 직각이등변삼각형의 면적과 같고,
개의 직각이등변삼각형의 면적은 그 빗변인 정사각형의 넓이와 같다.

이것은 단 하나의 닮음도형을 사용한 것으로 두 직각변이 같은 특수한 경우이다.

[편집]

피타고라스의 정리의 또한 참이다. 즉, 어떤 삼각형의 세 변

를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 이 삼각형은 반드시 빗변이 인 직각 삼각형이다. 즉, 예각 삼각형과 둔각 삼각형은 위의 관계를 만족시킬 수 없다. 사실, 예각 삼각형의 세 변 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

또한, 둔각 삼각형의 세 변 가운데 가 둔각의 대변이라고 할 때, 세 변 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

보다 구체적으로, 임의의 삼각형의 세 변 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 코사인 법칙이라고 한다.

여기서

  • 의 대각이다.
  • 코사인이다.

역의 증명[편집]

코사인 법칙을 증명하였다면, 피타고라스의 정리의 역은 이로부터 쉽게 유도된다. 그러나, 코사인 법칙을 통하지 않고서도 역을 증명할 수 있다.

응용[편집]

피타고라스 삼조[편집]

피타고라스의 정리의 관계를 만족시키는 세 양의 정수의 쌍을 피타고라스 삼조라고 한다. 예를 들어, 는 피타고라스의 수이다.

유클리드 거리[편집]

피타고라스의 정리로부터 직교 좌표계의 두 점 사이의 거리 공식을 유도할 수 있다. 즉, 직교 좌표계의 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

보다 일반적으로, 차원 유클리드 공간 의 두 점 사이의 거리는 다음과 같다.

일반화[편집]

노름 공간[편집]

내적 공간 의 두 벡터 가 직교한다고 하자. (즉, 이라고 하자.) 그렇다면, 이 두 원소의 노름과 둘의 합의 노름 사이에 다음과 같은 관계가 성립하며, 이를 노름 공간 위의 피타고라스의 정리라고 한다.

보다 일반적으로, 개의 벡터 가 쌍마다 직교한다고 하자. (즉, 대각 행렬을 이룬다고 하자.) 그렇다면, 이들의 노름과 합의 노름 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.

역사[편집]

바빌론인은 많은 쌍의 피타고라스 삼조를 알고 있었다.

검증되지 않은 일화에 따르면, 이집트인은 밧줄을 비율로 매듭내어 직각삼각형을 만들었다.[1]

피타고라스 학파는 피타고라스 삼조를 구하는 방법을 고안하였다. 즉, 홀수 에 대하여, 는 피타고라스 삼조이다. 또한, 피타고라스 학파의 히파소스는 이 과정에서 통약 불가능 비율을 발견하였다고 여겨진다.

에우클레이데스원론에서 피타고라스의 정리를 서술 및 증명하였으며, 이는 발견된 최초의 증명이다.

인도인 역시 피타고라스의 정리를 "직사각형의 대각선의 제곱은 두 이웃변의 제곱합과 같다"는 내용으로서 알고 있었다.[1] 이는 적절한 모양의 제단을 만드는 데 응용되었다.[2]

유휘는 《구장산술주》에서 원주율을 계산하는 데 피타고라스의 정리를 사용하였다.

피타고라스 학파가 피타고라스의 정리를 발견 및 증명하였는지는 확실하지 않다. 프로클로원론의 주해를 쓸 때, 정리의 발견과 최초 증명에 대한 공로를 피타고라스에게 돌렸다. 이에 대하여, 모리스 클라인은 다음과 같이 적었다.

[...] 그들[피타고라스 학파]이 피타고라스의 정리를 증명 하였었는지에 대해서는 널리 탐구되어 왔으며, 그에 대한 답은 그렇지 않을 수도 있다는 것이다. 닮음 삼각형을 사용한 증명은 상대적으로 쉬운 방법이나, 피타고라스 학파는 닮음 도형에 대한 완전한 이론을 갖지 못했다. 유클리드의 원론 제1권 명제 47에서의 증명은 닮음 도형 이론을 사용하지 않으므로, 어려운 증명이다. 또한, 프로클로는 이 증명의 공로를 유클리드에게 돌렸다.
[...] The question of whether they [the Pythagoreans] proved the Pythagorean theorem has been extensively pursued, and the answer is that they probably did not. It is relatively easy to prove it by using facts about similar triangles, but the Pythagoreans did not have a complete theory of similar figures. The proof given in Proposition 47 of Book I of Euclid's Elements (Chap. 4, sec. 4) is a difficult one because it does not use the theory of similar figures, and this proof was credited by Proclus to Euclid himself.
 
[1]

각주[편집]

  1. Kline, Morris (1990). 《Mathematical Thoughts from Ancient to Modern Times》 [수학사상사] (영어). Oxford University Press. ISBN 0-19-506135-7. 
  2. Carl Benjamin Boyer; Uta C. Merzbach (2011). "China and India". A history of mathematics, 3rd Edition. Wiley. p. 229. ISBN 978-0470525487. Quote: [In Sulba-sutras,] we find rules for the construction of right angles by means of triples of cords the lengths of which form Pythagorean triages, such as 3, 4, and 5, or 5, 12, and 13, or 8, 15, and 17, or 12, 35, and 37. Although Mesopotamian influence in the Sulvasũtras is not unlikely, we know of no conclusive evidence for or against this. Aspastamba knew that the square on the diagonal of a rectangle is equal to the sum of the squares on the two adjacent sides. Less easily explained is another rule given by Apastamba – one that strongly resembles some of the geometric algebra in Book II of Euclid's Elements. (...)

외부 링크[편집]