피타고라스 삼조

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피타고라스 정리: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

수학에서 피타고라스 삼조(Πυθαγόρας三組, 영어: Pythagorean triple)는 피타고라스 정리에 등장하는 등식 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$을 만족시키는 세 양의 정수의 튜플 $(a,b,c)$이다. 즉, 유클리드 기하학의 직각 삼각형의 세 변을 이루는 세 양의 정수의 튜플이다. 예를 들어, $(3,4,5)$는 피타고라스 삼조이다. 원시 피타고라스 삼조(原始Πυθαγόρας三組, 영어: primitive Pythagorean triple)는 피타고라스 삼조를 이루는 세 수가 서로소인 경우이다. 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 나타낼 수 있다. 피타고라스 삼조는 $x^{2}+y^{2}=1$의 양의 유리수 해와 일대일 대응하며, 단위원 위의 양의 유리수 점과 일대일 대응한다.

정의

양의 정수의 삼조 $(a,b,c)$가 디오판토스 방정식 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$의 해라면, 이를 피타고라스 삼조라고 한다. 서로소인 세 정수로 이루어진 피타고라스 삼조를 원시 피타고라스 삼조라고 한다.

성질

만약 $(a,b,c)$가 피타고라스 삼조라면, $(na,nb,nc)$ 역시 피타고라스 삼조이며, 그 역 또한 성립한다. 이에 따라 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조에 배수를 취하여 생성할 수 있다.

피타고라스 삼조 $(a,b,c)$는 항상 3의 배수를 포함한다. 이는 귀류법을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 3의 배수를 포함하지 않는 피타고라스 삼조가 존재한다면, 이는 항상 다음과 같은 꼴이다.

$(3m\pm 1,3n\pm 1,3k\pm 1)$

이를 피타고라스 삼조의 정의에 대입하면 다음과 같다.

$(3m\pm 1)^{2}+(3n\pm 1)^{2}=(3k\pm 1)^{2}$

이를 정리하면 다음과 같다.

$3(3m^{2}+3n^{2}\pm 2m\pm 2n)+2=3(3k^{2}\pm 2k)+1$

양변에 법 3에 대한 합동을 취하면 $2\equiv 1{\pmod {3}}$이므로 모순이다. 따라서 피타고라스 삼조는 항상 3의 배수를 포함한다.

해

피타고라스 삼조는 (두 직각변의 크기 관계를 무시하면) 항상 $(m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})$ ($m>n>0$) 꼴이다. 이러한 꼴이 원시 피타고라스 삼조일 필요 충분 조건은 $m,n$이 짝수를 포함하는 서로소 정수인 것이다. 특히, $(m^{2}-1,2m,m^{2}+1)$은 항상 피타고라스 삼조이다.

원시 피타고라스 삼조는 항상 다음과 같은 꼴이다.

$(3,4,5)M_{1}^{e_{1}}M_{2}^{e_{2}}\cdots M_{n}^{e_{n}}\qquad (M_{i}\in \{{\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&-2&-2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&2\\-2&-1&-2\\2&2&3\end{pmatrix}}\},\;e_{i}\in \mathbb {Z} ^{+},\;n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\})$

즉, 원시 피타고라스 삼조는 세 행렬로 생성되는 모노이드 작용에 대한 궤도를 이룬다.

예

원시 피타고라스 삼조 가운데 $c\leq 100$인 것은 모두 16쌍이 있는데, 아래의 규칙에 따르면 (27, 36, 45)도 존재해 17쌍이다. 그러나 (이미 원시 삼조에 있는) 단위 삼조인 (3, 4, 5)와 정비례하기 때문에, 원시 삼조에서는 제외된다. 이처럼 원시 삼조에서 제외 되는 수는 흐리게 칠했다.

규칙

($x,y,z$)는 2개의 자연수 m과 n($m>n$)을 써서 결정할 수 있다.

$x=m^{2}-n^{2},y=2mn,z=m^{2}+n^{2}$

이 규칙과 아래 표에 따라, 한 직각삼각형에서 짝 지어지는 m과 n은 홀수와 짝수로서 다르다.

규칙에 따른 표

m+n ↓	…	15	13	11	9	7	5	3	1	←(m-n)
1									(1,0,1)
3								(9,0,9)	(3,4,5)
5							(25,0,25)	(15,8,17)	(5,12,13)
7						(49,0,49)	(35,12,37)	(21,20,29)	(7,24,25)
9					(81,0,81)	(63,16,65)	(45,28,53)	(27,36,45)	(9,40,41)
11				(121,0,121)	(99,20,101)	(77,36,85)	(55,48,73)	(33,56,65)	(11,60,61)
13			(169,0,169)	(143,24,145)	(117,44,125)	(91,60,109)	(65,72,97)	(39,80,89)	(13,84,85)
15		…	(195,28,197)	(165,52,173)	(135,72,153)	(105,88,137)	(75,100,125)	(45,108,117)	(15,112,113)
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

외부 링크

• 이철희. “피타고라스 쌍(Pythagorean triple)”. 《수학노트》. 
• “Pythagorean numbers”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pythagorean triple”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Pythagorean triple”. 《nLab》 (영어). 
• “Pythagorean triplet”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Derivation of Pythagorean triples”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of Pythagorean triples”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of Pythagorean triples”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Category:Definitions/Pythagorean triangles”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Category:Pythagorean triples”. 《ProofWiki》 (영어).