피타고라스 삼조

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피타고라스 정리: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

수학에서, 피타고라스 삼조(Πυθαγόρας三組, 영어: Pythagorean triple)는 피타고라스 정리에 등장하는 등식 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$을 만족시키는 세 양의 정수의 튜플 $(a,b,c)$이다. 즉, 유클리드 기하학의 직각 삼각형의 세 변을 이루는 세 양의 정수의 튜플이다. 예를 들어, $(3,4,5)$는 피타고라스 삼조이다. 원시 피타고라스 삼조(原始Πυθαγόρας三組, 영어: primitive Pythagorean triple)는 피타고라스 삼조를 이루는 세 수가 서로소인 경우이다. 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 나타낼 수 있다. 피타고라스 삼조는 $x^{2}+y^{2}=1$의 양의 유리수 해와 일대일 대응하며, 단위원 위의 양의 유리수 점과 일대일 대응한다.

정의

양의 정수의 삼조 $(a,b,c)$가 디오판토스 방정식 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$의 해라면, 이를 피타고라스 삼조라고 한다. 서로소인 세 정수로 이루어진 피타고라스 삼조를 원시 피타고라스 삼조라고 한다.

성질

만약 $(a,b,c)$가 피타고라스 삼조라면, $(na,nb,nc)$ 역시 피타고라스 삼조이며, 그 역 또한 성립한다. 이에 따라 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조에 배수를 취하여 생성할 수 있다.

피타고라스 삼조 $(a,b,c)$는 항상 3의 배수 · 4의 배수 · 5의 배수를 포함한다. 예를 들어, 3의 배수의 경우 귀류법을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 3의 배수를 포함하지 않는 피타고라스 삼조가 존재한다면, 이는 항상 다음과 같은 꼴이다.

$(3m\pm 1,3n\pm 1,3k\pm 1)$

이를 피타고라스 삼조의 정의에 대입하면 다음과 같다.

$(3m\pm 1)^{2}+(3n\pm 1)^{2}=(3k\pm 1)^{2}$

이를 정리하면 다음과 같다.

$3(3m^{2}+3n^{2}\pm 2m\pm 2n)+2=3(3k^{2}\pm 2k)+1$

양변에 법 3에 대한 합동을 취하면 $2\equiv 1{\pmod {3}}$이므로 모순이다. 따라서 피타고라스 삼조는 항상 3의 배수를 포함한다.

해

피타고라스 삼조는 (두 직각변의 크기 관계를 무시하면) 항상 $(m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2})$ ($m>n>0$) 꼴이다. 이러한 꼴이 원시 피타고라스 삼조일 필요 충분 조건은 $m,n$이 짝수를 포함하는 서로소 정수인 것이다. 특히, $(m^{2}-1,2m,m^{2}+1)$은 항상 피타고라스 삼조이다.

원시 피타고라스 삼조는 항상 다음과 같은 꼴이다.

$(3,4,5)M_{1}^{e_{1}}M_{2}^{e_{2}}\cdots M_{n}^{e_{n}}\qquad (M_{i}\in \{{\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1&-2&-2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&2&2\\-2&-1&-2\\2&2&3\end{pmatrix}}\},\;e_{i}\in \mathbb {Z} ^{+},\;n\in \mathbb {Z} ^{+}\cup \{0\})$

즉, 원시 피타고라스 삼조는 세 행렬로 생성되는 모노이드 작용에 대한 궤도를 이룬다.

예

원시 피타고라스 삼조 가운데 $c\leq 100$인 것은 모두 16쌍이 있는데, 아래의 규칙에 따르면 (27, 36, 45)도 존재해 17쌍이다. 그러나 (이미 원시 삼조에 있는) 단위 삼조인 (3, 4, 5)와 정비례하기 때문에, 원시 삼조에서는 제외된다. 이 처럼 원시 삼조에서 제외 되는 수는 흐리게 칠했다.

규칙

($x,y,z$)는 2개의 자연수 m과 n($m>n$)을 써서 결정할 수 있다.

$x=m^{2}-n^{2},y=2mn,z=m^{2}+n^{2}$

이 규칙과 아래 표에 따라, 한 직각삼각형에서 짝 지어지는 m과 n은 홀수와 짝수로서 다르다.

규칙에 따른 표

m+n ↓	…	15	13	11	9	7	5	3	1	←(m-n)
1									(1,0,1)
3								(9,0,9)	(3,4,5)
5							(25,0,25)	(15,8,17)	(5,12,13)
7						(49,0,49)	(35,12,37)	(21,20,29)	(7,24,25)
9					(81,0,81)	(63,16,65)	(45,28,53)	(27,36,45)	(9,40,41)
11				(121,0,121)	(99,20,101)	(77,36,85)	(55,48,73)	(33,56,65)	(11,60,61)
13			(169,0,169)	(143,24,145)	(117,44,125)	(91,60,109)	(65,72,97)	(39,80,89)	(13,84,85)
15		…	(195,28,197)	(165,52,173)	(135,72,153)	(105,88,137)	(75,100,125)	(45,108,117)	(15,112,113)
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

외부 링크

• 이철희. “피타고라스 쌍(Pythagorean triple)”. 《수학노트》. 
• “Pythagorean numbers”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Pythagorean triple”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Pythagorean triple”. 《nLab》 (영어). 
• “Pythagorean triplet”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Derivation of Pythagorean triples”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of Pythagorean triples”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Proof of Pythagorean triples”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Category:Definitions/Pythagorean triangles”. 《ProofWiki》 (영어). 
• “Category:Pythagorean triples”. 《ProofWiki》 (영어).