피타고라스 삼조

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
둘러보기로 가기 검색하러 가기
피타고라스 정리:

수학에서, 피타고라스 삼조(Πυθαγόρας三組, 영어: Pythagorean triple)는 피타고라스 정리에 등장하는 등식 을 만족시키는 세 양의 정수의 튜플 이다. 즉, 유클리드 기하학직각 삼각형의 세 변을 이루는 세 양의 정수의 튜플이다. 예를 들어, 는 피타고라스 삼조이다. 원시 피타고라스 삼조(原始Πυθαγόρας三組, 영어: primitive Pythagorean triple)는 피타고라스 삼조를 이루는 세 수가 서로소인 경우이다. 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조의 배수로 나타낼 수 있다. 피타고라스 삼조는 의 양의 유리수 해와 일대일 대응하며, 단위원 위의 양의 유리수 점과 일대일 대응한다.

정의[편집]

양의 정수의 삼조 디오판토스 방정식 의 해라면, 이를 피타고라스 삼조라고 한다. 서로소인 세 정수로 이루어진 피타고라스 삼조를 원시 피타고라스 삼조라고 한다.

성질[편집]

만약 가 피타고라스 삼조라면, 역시 피타고라스 삼조이며, 그 역 또한 성립한다. 이에 따라 모든 피타고라스 삼조는 원시 피타고라스 삼조에 배수를 취하여 생성할 수 있다.

피타고라스 삼조 는 항상 3의 배수를 포함한다. 이는 귀류법을 사용하여 다음과 같이 증명할 수 있다. 3의 배수를 포함하지 않는 피타고라스 삼조가 존재한다면, 이는 항상 다음과 같은 꼴이다.

이를 피타고라스 삼조의 정의에 대입하면 다음과 같다.

이를 정리하면 다음과 같다.

양변에 법 3에 대한 합동을 취하면 이므로 모순이다. 따라서 피타고라스 삼조는 항상 3의 배수를 포함한다.

[편집]

피타고라스 삼조는 (두 직각변의 크기 관계를 무시하면) 항상 () 꼴이다. 이러한 꼴이 원시 피타고라스 삼조일 필요 충분 조건은 이 짝수를 포함하는 서로소 정수인 것이다. 특히, 은 항상 피타고라스 삼조이다.

원시 피타고라스 삼조는 항상 다음과 같은 꼴이다.

즉, 원시 피타고라스 삼조는 세 행렬로 생성되는 모노이드 작용에 대한 궤도를 이룬다.

[편집]

원시 피타고라스 삼조 가운데 인 것은 모두 16쌍이 있는데, 아래의 규칙에 따르면 (27, 36, 45)도 존재해 17쌍이다. 그러나 (이미 원시 삼조에 있는) 단위 삼조인 (3, 4, 5)와 정비례하기 때문에, 원시 삼조에서는 제외된다. 이 처럼 원시 삼조에서 제외 되는 수는 흐리게 칠했다.

규칙[편집]

()는 2개의 자연수 m과 n()을 써서 결정할 수 있다.

이 규칙과 아래 표에 따라, 한 직각삼각형에서 짝 지어지는 m과 n은 홀수와 짝수로서 다르다.

규칙에 따른 표[편집]

m+n
15 13 11 9 7 5 3 1 ←(m-n)
1 (1,0,1)
3 (9,0,9) (3,4,5)
5 (25,0,25) (15,8,17) (5,12,13)
7 (49,0,49) (35,12,37) (21,20,29) (7,24,25)
9 (81,0,81) (63,16,65) (45,28,53) (27,36,45) (9,40,41)
11 (121,0,121) (99,20,101) (77,36,85) (55,48,73) (33,56,65) (11,60,61)
13 (169,0,169) (143,24,145) (117,44,125) (91,60,109) (65,72,97) (39,80,89) (13,84,85)
15 (195,28,197) (165,52,173) (135,72,153) (105,88,137) (75,100,125) (45,108,117) (15,112,113)

외부 링크[편집]