코사인 법칙

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제1코사인법칙[원본 편집]

제1코사인 법칙은 삼각형의 꼭지각의 코사인과 변 사이에는 일정한 관계가 있다는 것을 식으로 나타낸 법칙이다. 삼각형 ABC의 꼭지각 , , 에 대한 변을 각각 , , 라 하면 다음 공식이 성립한다.

제2코사인법칙[원본 편집]

Cosine.png

제2코사인법칙은 수학에서, 상세히 말하면 삼각법에서, 평면상의 직각삼각형에 적용되는 피타고라스의 정리를 직각삼각형이 아닌 일반적인 삼각형에까지 확장시킨 법칙을 말한다. 이 법칙에는 피타고라스 정리의 꼴에 각의 코사인값에 비례하는 항이 보정되어 들어간다. , , 를 각각 삼각형의 각 , , 와 마주보는 변이라고 하면 다음 공식이 성립한다.

제2코사인법칙은 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각으로 나머지 한 변의 길이를 구할 때나 세 변의 길이로 삼각형의 각을 구하는 데에 유용하게 쓰일 수 있다.

코사인 법칙에서 피타고라스의 정리를 유도하기 위해서는 공식에 , 즉 를 대입하기만 하면 충분하다. 피타고라스의 역을 유도하는 방법은 다음과 같다. 인 경우 이므로 이고, 즉 는 직각이다.

증명[원본 편집]

유클리드의 《원론》[원본 편집]

그림 1

그림 1과 같은 삼각형 가 있고 점 에서 내린 수선의 발이 라면 피타고라스의 정리에 따라 다음과 같은 식이 성립된다.

코사인의 정의에 따라 선분 를 다음과 같이 변형할 수 있다.

CH = (CB) cos(π − γ) = −(CB) cos γ

벡터와 내적을 이용한 증명[원본 편집]

벡터내적을 이용하여 코사인 법칙을 간단히 증명한다. 위 그림에서 의 관계가 성립한다. 임을 이용하면 다음과 같이 전개할 수 있다.

구면 코사인 법칙[원본 편집]

평면기하학이 아닌 구면기하학에서는 코사인 법칙을 다르게 정의한다. 구면에서의 코사인 법칙에서는 거리가 각으로 정의된다.


구면에서의 코사인 법칙은 지구상에서 서로 떨어진 두 지역의 곡선거리를 구하는 데 유용하게 사용된다.

같이보기[원본 편집]