사인 법칙

기하학에서 사인 법칙(-法則, 영어: law of sines) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.

정의

삼각형 $ABC$의 각 $A,B,C$을 마주보는 변을 $a,b,c$라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R$

여기서 $R$은 삼각형 $ABC$의 외접원의 반지름이다.

증명

삼각형의 넓이를 통한 증명

사인 법칙의 증명

삼각형 $ABC$의 변 $c$ 위의 높이를 $h$라고 하자. 삼각법에 따라 $h=b\sin A$이므로, 삼각형 $ABC$의 넓이 $K$는 다음과 같다.

$K={\frac {1}{2}}ch={\frac {1}{2}}bc\sin A$

자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.

$2K=bc\sin A=ac\sin B=ab\sin C$

양변에 $abc$를 나누면 사인 법칙을 얻는다.

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}$

외접원을 통한 증명

$C$가 예각일 경우

$C$가 직각일 경우

$C$가 둔각일 경우

삼각형 $ABC$의 외접원을 그리자. $A$를 지나는 지름을 $AD$라고 하자. 따라서 $ABD$는 직각 삼각형이며, 빗변은 $AD=2R$이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

$c=2R\sin D$

만약 $C$가 예각일 경우, $C$와 $D$는 같은 호의 원주각이므로 $\angle C=\angle D$이다. 따라서 다음이 성립한다.

$c=2R\sin C$

만약 $C$가 직각일 경우, $B$와 $D$는 같은 점이므로, $2R=c$이며 $\sin C=1$이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 $C$가 둔각일 경우, $C$와 $D$는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, $\angle C=\pi -\angle D$이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 $A,B$에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

코사인 법칙을 통한 증명

코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.

${\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}A}{a^{2}}}&={\frac {1-\cos ^{2}A}{a^{2}}}\\&={\frac {4b^{2}c^{2}-4b^{2}c^{2}\cos ^{2}A}{4a^{2}b^{2}c^{2}}}\\&={\frac {4b^{2}c^{2}-(b^{2}+c^{2}-4bc)^{2}}{4a^{2}b^{2}c^{2}}}\\&={\frac {(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(b+c-a)}{4a^{2}b^{2}c^{2}}}\end{aligned}}$

결과가 $a,b,c$에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

구면 사인 법칙

단위 구면 위의 구면 삼각형 $ABC$의 각 $A,B,C$가 마주보는 변을 $a,b,c$라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, 영어: spherical law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.

${\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}$

구면 사인 법칙의 증명

순수 기하 증명

구의 중심을 $O$라고 하자. $OA$에서 아무 점 $P$를 취하자. $P$를 지나는 평면 $BOC$의 수선을 $PD$라고 하자. $D$를 지나는 직선 $OB,OC$의 수선을 각각 $DE,DF$라고 하자. 삼수선 정리에 따라 $PE,PF$는 각각 $OB,OC$와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

$PD=PE\sin B=OP\sin c\sin B$

$PD=PF\sin C=OP\sin b\sin C$

두 식에서 $PD/OP$를 소거하면 다음을 얻는다.

${\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}$

남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

벡터를 통한 증명

구의 중심과 세 꼭짓점 $A,B,C$를 잇는 벡터를 각각 $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )=((\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} )\mathbf {a}$

$(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=((\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {c} )\mathbf {b}$

$(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )=((\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\cdot \mathbf {b} )\mathbf {c}$

따라서 다음이 성립한다.

$|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )|=|(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=|(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )|$

여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

$|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {a} \times \mathbf {c} )|=\sin c\sin b\sin A$

$|(\mathbf {b} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )|=\sin c\sin a\sin B$

$|(\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )|=\sin b\sin a\sin C$

구면 코사인 법칙을 통한 증명

제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.

${\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}A}{\sin ^{2}a}}&={\frac {1-\cos ^{2}A}{\sin ^{2}a}}\\&={\frac {\sin ^{2}b\sin ^{2}c-\sin ^{2}b\sin ^{2}c\cos ^{2}A}{\sin ^{2}a\sin ^{2}b\sin ^{2}c}}\\&={\frac {\sin ^{2}b\sin ^{2}c-(\cos a-\cos b\cos c)^{2}}{\sin ^{2}a\sin ^{2}b\sin ^{2}c}}\\&={\frac {1-\cos ^{2}a-\cos ^{2}b-\cos ^{2}c+2\cos a\cos b\cos c}{\sin ^{2}a\sin ^{2}b\sin ^{2}c}}\end{aligned}}$

쌍곡 사인 법칙

가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 $ABC$의 각 $A,B,C$가 마주보는 변을 $a,b,c$라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, 영어: hyperbolic law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.

${\frac {\sinh a}{\sin A}}={\frac {\sinh b}{\sin B}}={\frac {\sinh c}{\sin C}}$

여기서 $\sinh$는 쌍곡 사인이다.

쌍곡 사인 법칙의 증명

쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명

제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.

${\begin{aligned}{\frac {\sin ^{2}A}{\sinh ^{2}a}}&={\frac {1-\cos ^{2}A}{\sinh ^{2}a}}\\&={\frac {\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c-\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c\cos ^{2}A}{\sinh ^{2}a\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c}}\\&={\frac {\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c-(\cosh b\cosh c-\cosh a)^{2}}{\sinh ^{2}a\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c}}\\&={\frac {1-\cosh ^{2}a-\cosh ^{2}b-\cosh ^{2}c+2\cosh a\cosh b\cosh c}{\sinh ^{2}a\sinh ^{2}b\sinh ^{2}c}}\end{aligned}}$

외부 링크

• “Law of sines” (영어). 《ProofWiki》. 

같이 보기

• 코사인 법칙
• 탄젠트 법칙
• 코탄젠트 법칙