기하학에서 사인 법칙(-法則, 영어: law of sines) 혹은 라미의 정리는 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.
삼각형
의 각
을 마주보는 변을
라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.[1]:20, 52

여기서
은 삼각형
의 외접원의 반지름이다.
삼각형의 넓이를 통한 증명[편집]
삼각형
의 변
위의 높이를
라고 하자.[1]:20 삼각법에 따라
이므로, 삼각형
의 넓이
는 다음과 같다.

자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.

양변에
를 나누면 사인 법칙을 얻는다.

외접원을 통한 증명[편집]

가 예각일 경우

가 직각일 경우

가 둔각일 경우
삼각형
의 외접원을 그리자.[1]:52
를 지나는 지름을
라고 하자. 따라서
는 직각 삼각형이며, 빗변은
이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

만약
가 예각일 경우,
와
는 같은 호의 원주각이므로
이다. 따라서 다음이 성립한다.

만약
가 직각일 경우,
와
는 같은 점이므로,
이며
이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약
가 둔각일 경우,
와
는 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로,
이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각
에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.
코사인 법칙을 통한 증명[편집]
코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.[2]:180

결과가
에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.
구면 사인 법칙[편집]
단위 구면 위의 구면 삼각형
의 각
가 마주보는 변을
라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, 영어: spherical law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.

구면 사인 법칙의 증명[편집]
순수 기하 증명[편집]
구의 중심을
라고 하자.
에서 아무 점
를 취하자.
를 지나는 평면
의 수선을
라고 하자.
를 지나는 직선
의 수선을 각각
라고 하자. 삼수선 정리에 따라
는 각각
와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.


두 식에서
를 소거하면 다음을 얻는다.

남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.[3]:21, Art. 42
벡터를 통한 증명[편집]
구의 중심과 세 꼭짓점
를 잇는 벡터를 각각
라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.



따라서 다음이 성립한다.

여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.



구면 코사인 법칙을 통한 증명[편집]
제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.[3]:20-21, Art. 40, 41

쌍곡 사인 법칙[편집]
가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형
의 각
가 마주보는 변을
라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, 영어: hyperbolic law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.[4]:72

여기서
는 쌍곡 사인이다.
쌍곡 사인 법칙의 증명[편집]
쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명[편집]
제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.[4]:74

같이 보기[편집]
외부 링크[편집]