사인 법칙

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기하학에서, 사인 법칙(-法則, 영어: law of sines)은 삼각형의 변의 길이와 각의 사인 사이의 관계를 나타내는 정리이다. 이에 따라 삼각형의 두 각의 크기와 한 변의 길이를 알 때 남은 두 변의 길이를 구할 수 있다.

정의[편집]

삼각형 의 각 을 마주보는 변을 라고 하자. 사인 법칙에 따르면 다음이 성립한다.[1]:20, 52

여기서 은 삼각형 외접원반지름이다.

증명[편집]

삼각형의 넓이를 통한 증명[편집]

사인 법칙의 증명

삼각형 의 변 위의 높이를 라고 하자.[1]:20 삼각법에 따라 이므로, 삼각형 의 넓이 는 다음과 같다.

자모를 치환하면 다음과 같은 등식을 얻는다.

양변에 를 나누면 사인 법칙을 얻는다.

외접원을 통한 증명[편집]

가 예각일 경우
가 직각일 경우
가 둔각일 경우

삼각형 외접원을 그리자.[1]:52 를 지나는 지름을 라고 하자. 따라서 는 직각 삼각형이며, 빗변은 이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

만약 가 예각일 경우, 는 같은 호의 원주각이므로 이다. 따라서 다음이 성립한다.

만약 가 직각일 경우, 는 같은 점이므로, 이며 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 만약 가 둔각일 경우, 내접 사각형의 두 마주보는 각이므로, 이다. 따라서 역시 위와 같은 식이 성립한다. 남은 두 각 에 대한 식 역시 마찬가지로 증명할 수 있다.

코사인 법칙을 통한 증명[편집]

코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다.[2]:180

결과가 에 대하여 대칭적이므로, 변의 선택에 의존하지 않는다. 또한, 세 변과 세 각의 사인은 모두 양수이므로, 사인 법칙이 성립한다.

구면 사인 법칙[편집]

단위 구면 위의 구면 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 구면 사인 법칙(球面-法則, 영어: spherical law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.

구면 사인 법칙의 증명[편집]

순수 기하 증명[편집]

구의 중심을 라고 하자. 에서 아무 점 를 취하자. 를 지나는 평면 의 수선을 라고 하자. 를 지나는 직선 의 수선을 각각 라고 하자. 삼수선 정리에 따라 는 각각 와 수직이다. 삼각법에 따라 다음이 성립한다.

두 식에서 를 소거하면 다음을 얻는다.

남은 한 등식 역시 같은 방법으로 증명하면 구면 사인 법칙을 얻는다.[3]:21, Art. 42

벡터를 통한 증명[편집]

구의 중심과 세 꼭짓점 를 잇는 벡터를 각각 라고 하자. 삼중곱의 정의에 따라 다음이 성립한다.

따라서 다음이 성립한다.

여기에 다음을 대입하면 구면 사인 법칙을 얻는다.

구면 코사인 법칙을 통한 증명[편집]

제1 구면 코사인 법칙을 사용하여 구면 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.[3]:20-21, Art. 40, 41

쌍곡 사인 법칙[편집]

가우스 곡률이 -1인 쌍곡면 위의 쌍곡 삼각형 의 각 가 마주보는 변을 라고 하자. 쌍곡 사인 법칙(雙曲-法則, 영어: hyperbolic law of sines)에 따르면 다음이 성립한다.[4]:72

여기서 쌍곡 사인이다.

쌍곡 사인 법칙의 증명[편집]

쌍곡 코사인 법칙을 통한 증명[편집]

제1 쌍곡 코사인 법칙을 사용하여 쌍곡 사인 법칙을 다음과 같이 증명할 수 있다.[4]:74

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Isaacs, I. Martin (2001). 《Geometry for College Students》. The Brooks/Cole Series in Advanced Mathematics (영어). Brooks/Cole. ISBN 0-534-35179-4. 
  2. Nystedt, Patrik (2017년 6월). “A Proof of the Law of Sines Using the Law of Cosines”. 《Mathematics Magazine》 (Taylor & Francis, Ltd.) 90 (3): 180-181. ISSN 0025-570X. MR 3654857. doi:10.4169/math.mag.90.3.180. 
  3. Todhunter, I. (1886). 《Spherical Trigonometry: For the use of colleges and schools》 (영어) 5판. London: Macmillan and Co. 
  4. 李忠; 周建莹 (1991년 12월). 《双曲几何》 (중국어). 长沙: 湖南教育出版社. ISBN 753551376X. 

외부 링크[편집]

“Law of sines”. 《ProofWiki》 (영어).