외접원

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외접원이란, 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 을 뜻한다. 그 원의 중심은 외심이라고 한다.

일반적으로 다각형에 외접원이 항상 존재하는 것은 아니다.

삼각형의 외접원[편집]

모든 삼각형에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 외접원에 둘러싸여 있기 때문에 삼각형의 각 꼭지점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.

삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점은 외접원의 중심에서 만난다.

이것을 증명하려면, 어떠한 변의 수직이등분선은 하나밖에 존재하지 않는다는 것을 이용하여, 두 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 수선이 그 변을 이등분한다는 것을 보이면 된다.

외심의 위치[편집]

Cercle circonscrit à un triangle.svg

외접원과 외심의 성질[편집]

사인 법칙[편집]

삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기를 각각 a, b, c, A, B, C라 하고, 외접원의 반지름 길이를 R이라 할 때, \frac {a}{\sin {A}}=\frac {b}{\sin {B}}=\frac {c}{\sin {C}}=2R 이 성립한다.

외접원과 삼각형의 넓이[편집]

삼각형의 세 변의 길이를 a, b, c라 하고, 외접원의 반지름 길이를 R이라 할 때, 삼각형의 넓이 S는

S=\frac {abc}{4R}이 성립한다.

증명은 다음과 같다.

S=\frac {1}{2}ab\sin {C}(삼각형의 넓이)
\sin {C}=\frac {c}{2R}(사인 법칙)
따라서,
S=\frac {abc}{4R}

우산 정리[편집]

삼각형 ABC와 그 외접원 위의 점 D, BC위의 점 E에 대해, 다음 세 조건 중 하나를 만족하면 AB*AC=AD*AE이다.

  • D,E는 각 A의 이등분선 위의 점이다.
  • A,D,E는 한 직선 위에 있으며 AB=AC이다.
  • AD는 외심을 지나며 AE는 BC와 수직이다.

오일러의 정리[편집]

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는 \sqrt{R^2-2Rr}이다.

오일러의 부등식[편집]

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 R은 2r보다 같거나 크다.

사각형의 외접원[편집]

사각형 ABCD에 원이 외접하려면 다음 조건 중 하나를 만족하여야 한다.