외접원

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삼각형의 외접원과 외심

외접원(外接圓, 영어: circumscribed circle, circumcircle)은 기하학에서 주어진 다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 이다. 외심(外心, 영어: circumcenter)은 외접원의 중심을 일컫는다. 모든 삼각형정다각형은 외접원을 갖는다. 그러나 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다.

정의[편집]

다각형의 모든 꼭짓점을 지나는 이 존재한다면, 이 원을 이 다각형의 외접원이라고 한다. 다각형의 외접원의 중심을 이 다각형의 외심이라고 한다. 외접원을 갖는 (볼록) 다각형을 내접 다각형(內接多角形, 영어: cyclic polygon, inscribed polygon)이라고 한다. 특히 외접원을 갖는 (볼록) 사각형내접 사각형이라고 한다.

성질[편집]

다각형이 외접원을 갖는다면, 그 외심은 모든 변의 수직 이등분선의 교점이며, 외심과 다각형의 각 꼭짓점 사이의 거리는 외접원의 반지름이므로 모두 같다.

모든 삼각형과 정다각형은 외접원을 갖는다. 즉, 모든 삼각형과 정다각형은 내접 다각형이다.

예각·직각·둔각 삼각형의 외심[편집]

예각 삼각형의 외심은 삼각형의 내부에 속한다. 직각 삼각형의 외심은 빗변의 중점이다. 둔각 삼각형의 외심은 삼각형의 외부에 속한다.

반지름[편집]

삼각형 의 외접원의 반지름을 라고 하고, 세 변의 길이를 , , 라고 하자. 그렇다면 다음 등식들이 성립한다 (사인 법칙).

삼각형의 넓이를 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

증명:

삼각형의 넓이는 한 변의 길이 와 그 변 위의 높이 의 곱의 1/2이므로, 사인 법칙에 따라

이다.

삼각형의 내접원의 반지름을 라고 하자. 그렇다면 외심 와 내심 사이의 거리는 다음과 같다 (오일러 삼각형 정리).

특히 다음 부등식이 성립한다 (오일러 부등식).

오일러 직선[편집]

삼각형의 외심, 무게 중심, 수심, 구점원의 중심은 한 직선 위의 점이며, 정삼각형이 아닐 경우 이 네 중심을 지나는 직선은 유일하게 존재한다. 이를 주어진 삼각형의 오일러 직선이라고 한다.

내접 사각형[편집]

(볼록) 사각형 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 내접 사각형이다.
  • (두 대각의 합은 )
  • (원주각)
  • (방멱 정리) 두 대각선 , 의 교점을 라고 할 때,
  • (프톨레마이오스 정리)

미켈 정리[편집]

삼각형 및 직선 , , 위의 점 , , 가 주어졌다고 하자. 미켈 정리(영어: Miquel theorem)에 따르면, 삼각형 , , 의 외접원은 한 점 에서 만난다. 이 경우 점 를 삼각형 에 대한 점 , , 미켈 점(영어: Miquel point)이라고 한다. 만약 , , 가 한 직선 위의 점이 아닐 경우, 삼각형 를 삼각형 에 대한 점 의 한 미켈 삼각형(영어: Miquel triangle)이라고 한다.

증명:

편의상 , , 가 변 , , 위의 점이며, 삼각형 , 의 외접원의 다른 한 교점 가 삼각형 의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 , 는 내접 사각형이므로

이다. 따라서 사각형 역시 내접 사각형이다.

네 직선으로 구성된 네 삼각형의 외접원은 한 점에서 만난다. 이는 미켈 정리에서 , , 가 한 직선 위의 점인 특수한 경우이다.

삼각형 및 직선 , , 위의 점 , , 및 점 에 대하여, 삼각형 가 점 의 미켈 삼각형일 필요 충분 조건은 유향각 , , 의 크기가 같은 것이다. 이에 따라, 주어진 점의 미켈 삼각형은 무한히 많이 존재한다. 수족 삼각형은 미켈 삼각형의 특수한 경우이다.

삼각형 및 직선 , , 위의 점 , , 및 미켈 점 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.[1]:133, §VII.186

여기서 모든 각도는 유향각이다.

증명:

편의상 , , 가 변 , , 위의 점이며, 삼각형 , 의 외접원의 다른 한 교점 가 삼각형 의 내부에 속한다고 하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 사각형 , 는 내접 사각형이므로

이다.

주어진 점의 모든 미켈 삼각형은 닮음이다. 구체적으로, 삼각형 에 대한 점 의 모든 미켈 삼각형은 고정점으로 하는 방향 보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다.[1]:134, §VII.188

증명:

위 등식에 따라 삼각형 에 대한 점 의 미켈 삼각형 의 세 내각의 크기

는 미켈 삼각형 의 선택과 무관하므로, 모든 미켈 삼각형은 (방향 보존 닮음 변환에 대하여) 닮음이다. 또한

역시 미켈 삼각형의 선택과 무관하므로, 닮음 변환은 를 고정점으로 갖는다.

키페르트 포물선과의 관계[편집]

삼각형의 모든 내접 포물선초점은 외접원 위의 점이다.[2]:47, §5.5 특히 삼각형의 키페르트 포물선(영어: Kiepert’s parabola)의 초점은 외접원 위의 점이다. 이는 종합 기하학의 방법을 통해 다음과 같이 증명할 수 있다.

증명:

내접 포물선의 초점 가 외접원 위의 점이라는 조건은 초점 를 지나는 삼각형의 세 변의 수선의 발이 한 직선 위의 점인 것과 동치이다 (심슨 직선). 따라서 초점 를 지나는, 포물선 위 임의의 점 에서의 접선의 수선의 발이 항상 포물선의 꼭짓점 에서의 접선 위의 점임을 보이는 것으로 충분하다.

또는 초점 를 지나는 준선의 수선의 발을 , 라고 하고, 꼭짓점 에서의 접선과 의 교점을 이라고 하자. 그렇다면 포물선의 꼭짓점 는 선분 의 중점이며, 는 평행하므로 은 선분 의 중점이다. 이므로 의 수선이자 의 이등분선이다. 이에 따라 광선 가 직선 에 반사된 광선은 의 연장선이다. 포물선의 성질에 따라 초점을 지나는 광선 가 포물선에 반사된 광선은 의 연장선이므로, 은 포물선의 에서의 접선이다.

각주[편집]

  1. Johnson, Roger A. (1960) [1929]. 《Advanced Euclidean Geometry》 (영어). New York, N. Y.: Dover Publications. 
  2. Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37. Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5. 

외부 링크[편집]