가우스 곡률

가우스 곡률(Gauß曲率, 영어: Gaussian curvature)은 곡면의 한 점의 굽은 정도를 나타내는 척도로서, 그 점의 두 주곡률의 곱이다. 가우스의 빼어난 정리에 따르면, 가우스 곡률은 내재적이다. 즉, 오직 곡면에서 거리가 어떻게 측도되는지에만 의존한다. 기호는 라틴 문자 $K$ 다.

정의

외재적 정의

3차원 유클리드 공간에 매장된 곡면의 가우스 곡률 $K$ 는 그 두 주곡률 $\kappa _{1},\kappa _{2}$ 의 곱이다.

K=\kappa _{1}\kappa _{2}

가우스 곡률은 모양 연산자의 행렬식으로 정의할 수도 있다. $\mathbb {R} ^{3}$ 안에 있는 곡면 위의 점 $\mathbb {p}$ 에서 모양 연산자 $S$ 가 주어지면, 가우스 곡률 $K$ 는 다음과 같다.

K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} ))

$\mathbb {R} ^{3}$ 안에 있는 곡면의 가우스 곡률은 제1 기본 형식의 행렬식에 대한 제2 기본 형식의 행렬식의 비로 표현할 수도 있다.

K={\frac {\det {\text{II}}}{\det {\text{I}}}}

내재적 정의

가우스 곡율은 가우스의 빼어난 정리에 따라 내재적인 값이며, 따라서 내재적으로 정의할 수 있다. 2차원 리만 다양체의 리만 곡률 텐서와 리치 곡률 텐서는 오직 하나의 독립된 성분만을 가지며, 다음과 같다.

R_{\mu \nu \rho \sigma }=K(g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }-g_{\mu \nu }g_{\rho \sigma })

\operatorname {Ric} _{\mu \nu }=Kg_{\mu \nu }

이 경우 계수 $K$ 가 가우스 곡률이다.

성질

가우스의 빼어난 정리

가우스의 빼어난 정리란 가우스 곡률은 곡면이 유클리드 공간에 어떻게 매장돼 있는지에 관계없다는 사실이다. 다시 말해, 가우스 곡률은 곡면의 등거리변환에 불변이다. 가우스 곡률은 제1 기본 형식을 앎으로써 얻어질 수 있으며, 제1 기본 형식과 그것이 1·2계도 편미분 함수로 표현된다. 곧, 제2 기본 형식의 행렬식도, 이와 마찬가지로, 제1기본형식으로 표현될 수 있다. 이 정리가 놀라운 것은, 가우스 곡률의 정의는 곡면이 공간에 어떻게 포함되는지에 의존하지만, 그 결과로 나오는 가우스 곡률 그 자체는 오직 곡면의 내적으로만 결정되며 그 외의 어떠한 정보도 필요하지 않다는 점이다. 곧, 가우스 곡률은 내재적 불변량이다.

가우스-보네 정리

가우스-보네 정리는 오일러 지표를 가우스 곡률로 나타내는 정리다. 이에 따르면, (경계가 없는) 곡면 $M$ 의 오일러 지표 $\chi$ 는 다음과 같다.

2\pi \chi =\int _{M}dA\;K

.

여기서 $K$ 는 가우스 곡률이다. 이는 국소적인 기하학적 성질인 가우스 곡률과 위상적인 성질인 오일러 지표를 관련짓는다.

이를 경계를 지닌 곡면의 경우로 일반화하면 다음과 같다.

2\pi \chi =\int _{M}dA\;K+\int _{\partial M}ds\;k_{\mathrm {g} }

여기서 $k_{\mathrm {g} }$ 는 곡면의 경계의 측지적 곡률(geodesic curvature)이다.

같이 보기

외부 링크

“Gaussian curvature”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Gaussian curvature”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.