행렬식

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선형대수학에서, 행렬식(行列式, 영어: determinant 디터미넌트[*])은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수의 하나이다. 대략, 정사각행렬이 나타내는 선형 변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다.

역사[편집]

역사적으로 행렬식은 행렬보다 앞서 등장하였다. 행렬식은 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었고, 행렬식의 영어 이름 "디터미넌트"(영어: determinant)는 "디터민"(영어: determine)(결정하다)에서 유래하였다. 행렬식이 0이 아닌지 여부는 연립방정식이 유일한 해를 갖는지를 결정한다. 16세기지롤라모 카르다노 행렬식을, 17세기에는 고트프리트 라이프니츠가 일반적인 크기의 행렬식을 정의하였다.

정의[편집]

위의 정사각행렬

의 행렬식은

또는

와 같이 표기할 수 있으며, 다음과 같은 세 방법을 통해 정의할 수 있다.

선형성을 통한 정의[편집]

위의 정사각행렬의 집합을 로 쓰자. 그렇다면, 행렬식은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수 이다.

  • 각 행에 대하여 선형적이다.
  • 두 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이며, 행렬의 두 행을 교환하면 행렬식은 반수가 된다.
  • 단위 행렬의 행렬식은 1이다.

즉, 행렬식은 표준화된 교대 다중 선형 형식이다. 행렬식은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.

  • 다른 조건을 그대로 두고, 첫번째 조건을 "첫 행에 대하여 선형적이다"로 약화할 수 있다.
  • 다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 "이웃하는 두 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이며, 행렬의 두 행을 교환하면 행렬식은 반수가 된다"로 약화할 수 있다.
  • 다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 앞부분만 취할 수 있다. 즉, 앞부분은 뒷부분을 함의한다.
  • 유리수 · 실수 · 복소수 체를 비롯한, 체의 표수가 0인 경우, 다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 뒷부분만 취할 수 있다. 그러나, 일반적으로 뒷부분은 앞부분보다 약한 조건이다.

라플라스 전개를 통한 정의[편집]

행렬식 에 대하여 재귀적으로 정의할 수 있다.

라이프니츠 공식을 통한 정의[편집]

행렬식은 라이프니츠 공식(영어: Leibniz formula)으로 정의할 수 있다. 즉, 의 행렬식은 다음과 같다.

여기서,

  • 치환 의 집합이다.
  • 치환의 부호이다. 즉, 짝치환이면 1, 홀치환이면 -1이다.

이에 따라, 우변은 개 항을 갖는 동차 다항식이다. 인 경우, 반은 더하는 항, 반은 빼는 항이다.

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3 × 3 미만 행렬[편집]

0 × 0 행렬의 행렬식은 1이다.

1 × 1 행렬의 행렬식은 그 유일한 항이다.

2 × 2 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

3 × 3 행렬[편집]

사뤼스 도식. 세 실선은 더하는 항, 세 점선은 빼는 항에 대응한다.
3 x 3 행렬의 방향성과 입체성

3 × 3 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

3 × 3 행렬의 행렬식 공식은 사뤼스의 도식(영어: Sarrus' scheme)으로 표현할 수 있다. 즉, 다음과 같은 과정을 거쳐 계산한다.

  1. 첫번째 및 두번째 열을 행렬 오른쪽에 옮겨 적는다.
  2. 첫번째 행의 세 항으로부터, 실선 대각선을 내려 긋는다.
  3. 마지막 행의 세 항으로부터, 점선 대각선을 올려 긋는다.
  4. 각 실선 대각선에 놓인 항을 곱하여 더한다.
  5. 각 점선 대각선에 놓인 항을 곱하여 뺀다.

그러나 이는 더 큰 행렬에 대해 확장할 수 없다.

3 × 3 실수 행렬의 행렬식은 은 스칼라 삼중곱의 표현이기도 하다. 즉, 3차원 벡터스칼라 삼중곱정규 직교 기저 아래 벡터 좌표 성분에 대한 3 × 3 행렬식으로 나타낼 수 있다. 이에 따라, 실수 3 × 3 행렬의 행렬식과 스칼라 삼중곱의 절댓값은 둘 다 세 벡터가 이루는 평행육면체의 부피를 나타낸다. 3 × 3 행렬의 행렬식과 스칼라 삼중곱은 둘 다 치환 아래 특별한 대칭성을 갖는 데 주의하자. 즉, 이들의 부호는 세 3차원 벡터의 방향의 개념과 일치한다. 이 기하 직관은 높은 차원으로 확장할 수 있다.

4 × 4 행렬[편집]

4 × 4 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

계산[편집]

행렬식의 필산 기법 또는 계산 알고리즘에는 가우스 소거법, 라플라스 전개 등이 있다.

가우스 소거법은 정사각행렬을 일련의 기본행연산을 통해 상삼각행렬로 변환한다. 행렬식의 선형성과 교대성에 따라, 기본행연산은 행렬식을 보고 알아낼 수 있는 배수만큼 변화시킨다. 또한, 상삼각행렬의 행렬식은 자명하게 모든 대각항의 곱이다. 따라서, 가우스 소거법을 통해 행렬식을 계산할 수 있다.

라플라스 전개는 행렬식을 소행렬식선형 결합으로 전개한다. 따라서 위 예시에서도 알 수 있듯, 라플라스 전개는 큰 행렬의 복잡한 행렬식을 작은 행렬의 간단한 행렬식으로 귀결시킨다.

성질[편집]

행렬식 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • . 즉, 단위 행렬의 행렬식은 1이다.
  • . 즉, 행렬식은 행렬 곱셈을 보존한다.
    • 특히, 이다.
  • . 즉, 행렬식은 역행렬을 보존한다.
  • . 즉, 서로 전치 행렬의 행렬식은 서로 같다.

라플라스 전개에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 더 작은 행렬식의 결합으로 표현된다.

여기서 여인자이다.

라이프니츠 공식에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

복소수의 행렬식 표현[편집]

대수적인 복소수 형태 에 대한 행렬식표현

열과 행의 각각의 합은 복소수 이다.
열과 행의 각각의 합은 켤레복소수(공액복소) 이다.

응용[편집]

  • 행렬식이 0인지 여부는 가역 행렬를 판단하는 필요 충분 조건이다.
  • 크라메르 공식연립일차방정식의 해를 행렬식을 통해 표현한다.
  • 행렬의 특성 다항식은 행렬식을 통해 정의된다.
  • 실수 정사각행렬을 각 열벡터에 대한 순서 있는 나열로 볼 때, 행렬식의 부호는 유클리드 공간기저방향을 정의한다.
  • 행렬식은 벡터 미적분학에서 부피를 계산하는 데 쓰인다. 실수 벡터들로 이루어진 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 벡터들을 각 변으로 갖는 평행육면체의 부피와 같다. 그 결과, 선형 변환 가측 집합 에 대하여, 의 부피는 항상 의 부피의 배이다. 보다 일반적으로, 선형 사상 과 가측 집합 에 대하여, 차원 부피는 의 부피의 배로 주어진다.

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]