행렬식

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선형대수학에서, 행렬식(行列式, 영어: determinant 디터미넌트[*])은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수의 하나이다. 대략, 정사각행렬로 나타내어지는 선형변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다.

역사[편집]

역사적으로 행렬식은 행렬보다 앞서 등장하였다. 행렬식은 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었고, 행렬식의 영어 이름 영어: determinant 디터미넌트[*]영어: determine 디터민[*](결정하다)에서 유래하였다. 행렬식은 연립방정식이 유일한 해를 갖는지(행렬식이 0이 아닐 때)를 결정한다. 16세기지롤라모 카르다노가 2×2 행렬식을, 17세기에는 고트프리트 라이프니츠가 일반적인 크기의 행렬식을 정의하였다.

정의[편집]

정사각행렬이라 하자. 그렇다면 행렬식은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수 이다.

  • 한 번 행을 바꾼 행렬) (원래 행렬)
  • 첫 행에 대해 선형적이다.

구체적으로, 행렬식은 고트프리트 라이프니츠가 증명한 라이프니츠 공식에 의하여 주어진다.

이 된다. 합은 의 모든 치환(permutation)인 에 대해 이루어지고, 는 치환의 부호로 우치환(짝치환, even permutation)일 때 +1, 기치환(홀치환, odd permutation)일 때 -1의 값을 갖는다.

행열식을 구성하는 각 항의 부호는 원소 Aiσ(i) 에 대하여 A1σ(i)·A2σ(i)·A3σ(i).... 식으로 정렬 하였을때, σ(i)의 순열이 항등행렬에 대해 우치환/기치환 인가에 따라 ±가 결정된다. 라이프니츠 공식은 의 합을 포함하고 있어서, 일 때는 실제적으로 사용하기 힘들다.

계산[편집]

작은 행렬의 행렬식[편집]

1×1, 2×2, 3×3 정사각행렬의 행렬식은 다음과 같다.

1×1 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

2×2 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

3×3 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

가우스-요르단 소거법[편집]

일반적으로, 행렬식은 가우스-요르단 소거법을 이용해 구할 수 있으며, 그 내용은 다음과 같다.

  • 행렬이 삼각행렬이면, 즉 일 때, 혹은 일 때, 이면, 이다.
  • 행렬의 두 열이나 두 행을 서로 바꿔서 행렬을 얻었다면, 이다.
  • 행렬에 상수 를 곱하여 행렬을 얻었다면, 이다.
  • 행렬의 한 행이나 열에 상수배를 해서 다른 행이나 열에 더해서 행렬을 얻었다면, 이다.

성질[편집]

행렬식은 곱셈적 사상의 일종이다. 즉, 다음이 성립한다.

모든 정사각행렬 에 대해 이다.

n차 항등행렬 에 대해 이므로 모든 n차 정사각행렬 스칼라에 대해 다음 식이 성립한다.

역행렬이 존재하면 다음 식이 성립한다.

어떤 행렬과 그 행렬의 전치행렬은 같은 행렬식 값을 가진다.

응용[편집]

행렬식은 가역행렬의 성질을 말해주며, 방정식의 근의 공식인 크래머공식에도 등장한다. 행렬식은 또한 행렬 A 의 고윳값을 구하는 특성다항식에도 나온다. (특성다항식 ).

행렬식은 또한 정사각행렬의 각 열벡터를 의 벡터로 파악하여, 순서있는 개의 벡터에 대응하는 수라고 생각할 수도 있다. 이 때에 행렬식의 부호는 유클리드 공간의 기저(basis)의 향 (선형대수학)(orientation)을 정의한다고 할 수 있다.

행렬식은 벡터미적분학에서 부피를 계산하는 데에 쓰일 수도 있다. 실벡터들로 이루어진 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 벡터들을 각 변으로 갖는 평행육면체의 부피와 같다. 그 결과로, 선형변환 가 행렬 로 표현되고, 의 가측(可測: measurable) 부분집합일 때, 의 부피는 로 주어진다. 일반적으로, 선형사상 행렬 로 표현되고, 의 S 가 가측 부분집합일 때, 차원의 부피는 로 주어진다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]