행렬식

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선형대수학에서, 행렬식(行列式, 영어: determinant 디터미넌트[*])은 정사각행렬에 수를 대응시키는 함수의 하나이다. 대략, 정사각행렬로 나타내어지는 선형변환이 부피를 확대시키는 정도를 나타낸다.

역사[편집]

역사적으로 행렬식은 행렬보다 앞서 등장하였다. 행렬식은 원래는 연립 선형방정식의 성질을 결정하기 위해 정의되었고, 행렬식의 영어 이름 "디터미넌트"(영어: determinant)는 "디터민"(영어: determine)(결정하다)에서 유래하였다. 행렬식이 0이 아닌지 여부는 연립방정식이 유일한 해를 갖는지를 결정한다. 16세기지롤라모 카르다노가 2×2 행렬식을, 17세기에는 고트프리트 라이프니츠가 일반적인 크기의 행렬식을 정의하였다.

정의[편집]

선형성을 통한 정의[편집]

위의 정사각행렬의 집합을 로 쓰자. 그렇다면, 행렬식은 다음 세 조건을 만족시키는 유일한 함수 이다.

  • 각 행에 대하여 선형적이다.
  • 두 행이 같은 행렬의 행렬식은 0이며, 행렬의 두 행을 교환하면 행렬식은 반수가 된다.
  • 단위 행렬의 행렬식은 1이다.

즉, 행렬식은 표준화된 교대 다중 선형 형식이다. 행렬식은 다음과 같이 다르게 정의할 수 있으며, 이는 위 정의와 동치이다.

  • 다른 조건을 그대로 두고, 첫번째 조건을 "첫 행에 대하여 선형적이다"로 약화할 수 있다.
  • 다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 앞부분만 취할 수 있다. 즉, 앞부분은 뒷부분을 함의한다.
  • 유리수 · 실수 · 복소수 체를 비롯한, 체의 표수가 0인 경우, 다른 조건을 그대로 두고, 두번째 조건을 뒷부분만 취할 수 있다. 그러나, 일반적으로 뒷부분은 앞부분보다 약한 조건이다.

라플라스 전개를 통한 정의[편집]

행렬식 에 대하여 재귀적으로 정의할 수 있다.

라이프니츠 공식을 통한 정의[편집]

행렬식은 라이프니츠 공식(영어: Leibniz formula)으로 정의할 수 있다. 즉, 의 행렬식은 다음과 같다.

여기서,

  • 치환 의 집합이다.
  • 치환의 부호이다. 즉, 짝치환이면 1, 홀치환이면 -1이다.

이에 따라, 우변은 개 항을 갖는다. 인 경우, 그 중 반은 더하는 항, 반은 빼는 항이다.

[편집]

3 × 3 이하 행렬[편집]

matrix operation's dimensional directionality (exam,3x3)
사뤼스 도식. 세 실선은 더하는 항, 세 점선은 빼는 항에 대응한다.

0 × 0 행렬의 행렬식은 1이다.

1 × 1 행렬의 행렬식은 그 유일한 항이다.

2×2 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

3×3 행렬의 행렬식은 다음과 같다.


3×3 행렬의 행렬식 공식은 사뤼스의 도식(영어: Sarrus' scheme)으로 표현할 수 있다. 즉, 다음과 같은 과정을 거쳐 계산한다.

  • 첫번째 및 두번째 열을 행렬 오른쪽에 옮겨 적는다.
  • 첫번째 행의 세 항으로부터, 실선 대각선을 내려 긋는다.
  • 마지막 행의 세 항으로부터, 점선 대각선을 올려 긋는다.
  • 각 실선 대각선에 놓인 항을 곱하여 더한다.
  • 각 점선 대각선에 놓인 항을 곱하여 뺀다.

가우스-요르단 소거법[편집]

일반적으로, 행렬식은 가우스-요르단 소거법을 이용해 구할 수 있으며, 그 내용은 다음과 같다.

  • 행렬이 삼각행렬이면, 즉 일 때, 혹은 일 때, 이면, 이다.
  • 행렬의 두 열이나 두 행을 서로 바꿔서 행렬을 얻었다면, 이다.
  • 행렬에 상수 를 곱하여 행렬을 얻었다면, 이다.
  • 행렬의 한 행이나 열에 상수배를 해서 다른 행이나 열에 더해서 행렬을 얻었다면, 이다.

성질[편집]

행렬식 는 다음과 같은 성질을 갖는다.

  • . 즉, 단위 행렬의 행렬식은 1이다.
  • . 즉, 행렬식은 행렬 곱셈을 보존한다.
    • 특히, 이다.
  • . 즉, 행렬식은 역행렬을 보존한다.
  • . 즉, 서로 전치 행렬의 행렬식은 서로 같다.

라플라스 전개에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 더 작은 행렬식의 결합으로 표현된다.

여기서 여인자이다.

라이프니츠 공식에 따르면, 행렬식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

응용[편집]

행렬식은 가역행렬의 성질을 말해주며, 방정식의 근의 공식인 크래머공식에도 등장한다. 행렬식은 또한 행렬 A 의 고윳값을 구하는 특성다항식에도 나온다. (특성다항식 ).

행렬식은 또한 정사각행렬의 각 열벡터를 의 벡터로 파악하여, 순서있는 개의 벡터에 대응하는 수라고 생각할 수도 있다. 이 때에 행렬식의 부호는 유클리드 공간의 기저(basis)의 향 (선형대수학)(orientation)을 정의한다고 할 수 있다.

행렬식은 벡터미적분학에서 부피를 계산하는 데에 쓰일 수도 있다. 실벡터들로 이루어진 행렬의 행렬식의 절댓값은 그 벡터들을 각 변으로 갖는 평행육면체의 부피와 같다. 그 결과로, 선형변환 가 행렬 로 표현되고, 의 가측(可測: measurable) 부분집합일 때, 의 부피는 로 주어진다. 일반적으로, 선형사상 행렬 로 표현되고, 의 S 가 가측 부분집합일 때, 차원의 부피는 로 주어진다.

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]