기저 (선형대수학)

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선형대수학에서, 어떤 벡터 공간기저(基底, basis)는, 그 벡터 공간을 생성하는, 선형독립인 벡터들의 집합이다. 달리 말해, 벡터 공간의 임의의 벡터들에게 선형결합으로써 유일한 표현을 부여하는 벡터 집합이다.

정의[편집]

K 위의 벡터 공간 V의 유한한 기저는, 다음 두 조건을 만족하는, V의 유한부분집합 B = \{b_1, \cdots, b_n\}이다.

  • (선형독립) 만약 \textstyle \sum_{i=1}^n c_ib_i = 0,\ c_i \in F이면, c_i = 0이다.
  • (생성) 임의의 벡터 v \in V는, 어떤 c_i \in K들에 의해 \textstyle v = \sum_{i=1}^n c_ib_i와 같이 표현된다.

이때 간단히 b_1, \cdots, b_nV의 기저라고도 한다.

임의의 기저는 다음 두 조건을 만족하는 유한 또는 무한 집합 B \subseteq V이다.

  • (선형독립) 만약 \textstyle \sum_{i=1}^n c_ib_i = 0,\ c_i \in K,\ b_i \in B이면, c_i = 0이다.
  • (생성) 임의의 벡터 v \in V는 어떤 c_i \in K,\ b_i \in B에 의해 \textstyle v = \sum_{i=1}^n c_ib_i와 같이 표현된다.

성질[편집]

  • 임의의 벡터를 기저의 선형결합으로 표현하는 방법은 반드시 유일하다. 만약 v \in Vc_1b_1 + \cdots c_nb_nc_1'b_1 + \cdots c_n'b_n으로 표현된다면, (c_1 - c'_1)b_1 + \cdots + (c_n - c_n')b_n = 0이고, 선형독립임에 따라 c_i - c_i' = 0이기 때문이다. 이로부터 벡터의 순서기저에 의한 좌표가 유도된다.
  • 벡터 공간의 차원은, 기저 집합의 기수로 정의된다. 같은 벡터 공간의 서로 다른 기저의 크기는 같다. 구체적으로, 같이 유한하거나 같이 무한하며, 유한하다면, 같은 개수의 벡터로 이루어진다. (차원 정리)
  • 임의의 벡터 공간은 기저가 존재한다. 여기에는 선택공리가 전제된다.

[편집]

유클리드 공간 \R^3의 벡터

\epsilon_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \epsilon_2 =\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \epsilon_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

\R^3의 기저이다.

임의의 n가역행렬 A를 구성하는 열벡터의 집합 v=v_{1},\cdots,v_{n}실수 벡터 공간 \mathbb R^{n}의 기저이다. 따라서 \mathbb R은 표준 기저 외에도 무수히 많은 기저들을 보유한다. 임의의 n비가역행렬 B추축열인 열벡터들의 집합 v_{c}=v_{c,1},\cdots,v_{c,n}B의 열공간을 생성하는 기저이다. 또한 B추축행인 행벡터들의 집합 v_{r}=v_{r,1},\cdots,v_{r,n}B의 행공간을 생성하는 기저이다.

좌표[편집]

유한차원 벡터 공간에서는, K 위의 K^n과 비슷하게 어떤 기저에 의한 좌표(座標, coordinate)를 구성할 수 있다. '첫번째', '두번째' 좌표 등을 결정하는 규칙을 만들기 위해서는, 자연적인 순서를 갖춘 K^n의 표준기저와는 달리, 일반적인 기저는 순서를 규정해 주어야 한다(순서기저, 順序基底, ordered basis). 첨수대로 매기는 순서가 가장 일반적이다. B = \{b_i\}_{i=1}^nn차원 벡터 공간 V의 순서기저라고 하면, 임의의 벡터 v \in V좌표는 유일하게 v = x_1b_1 + \cdots + x_nb_n인, x_i의 튜플로 정의된다. 이를

x,\qquad [x_1, \cdots, x_n],\qquad \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix},   또는   [v]_B

등으로 표기한다.

정규 직교 기저[편집]

(V,\|\cdot\|)순서체 K 위의 노름 공간이라고 하자. 그렇다면, V의 기저 B가 다음 조건을 만족시킨다면, 정규 기저(영어: normal basis)라고 한다.

  • 모든 b\in B에 대하여, \|b\|=1

(V,\langle,\rangle)순서체 K 위의 내적 공간이라고 하자. 그렇다면, V의 기저 B가 다음 조건을 만족시킨다면, 직교 기저(영어: orthogonal basis)라고 한다.

  • 모든 b,b'\in B에 대하여, 만약 b\ne b'이라면 B(b,b')=0

내적 공간 위의, 정규 기저이자 직교 기저인 기저를 정규 직교 기저(영어: orthonormal basis)라고 한다.

이를테면 n차 단위행렬 I_{n}을 구성하는 열벡터의 집합 v=v_{1},\cdots,v_{n}은 실수 벡터 공간 \mathbb{R}^{n}의 정규 직교 기저이다. 이를 \mathbb{R}^{n}표준 기저(標準基底, standard basis)라고 한다.

바깥 고리[편집]