기저 (선형대수학)

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선형대수학에서, 어떤 벡터 공간기저(基底, 영어: basis)는 그 벡터 공간을 선형생성하는 선형독립인 벡터들이다. 달리 말해, 벡터 공간의 임의의 벡터에게 선형결합으로서 유일한 표현을 부여하는 벡터들이다.

정의[편집]

위의 벡터 공간 의 유한 기저는 다음 두 조건을 만족하는, 의 유한부분집합 이다.

  • (선형독립) 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다.
  • (선형생성) 임의의 벡터 는, 어떤 를 써서 와 같이 표현된다.

이때 간단히 의 기저라고도 한다.

보다 일반적으로, 기저는 다음 두 조건을 만족하는 의 부분집합 이다.

  • (선형독립) 임의의 에 대하여, 만약 이면, 이다.
  • (선형생성) 임의의 벡터 는, 어떤 를 써서 와 같이 표현된다.

샤우데르 기저와 구별하기 위해, 하멜 기저(영어: Hamel basis)라는 용어를 사용하기도 한다.

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유클리드 공간 의 벡터 , 의 기저이다. 보다 일반적으로, 단위행렬열벡터 의 기저이며, 이를 표준기저(標準基底, 영어: standard basis)라고 한다.

벡터 공간의 기저는 일반적으로 유일하지 않다. 예를 들어, , 역시 의 기저이다.

실수 다항식환 는 무한 기저 을 갖는다.

성질[편집]

모든 벡터는 기저의 선형결합으로 유일하게 표현되며, 서로 다른 벡터는 서로 다른 표현을 갖는다. 따라서 기저는 벡터를 식별하는 좌표를 부여한다.

벡터 공간의 차원은 기저 집합의 원소의 개수이다.

좌표[편집]

유클리드 공간에서 점과 그 좌표가 일대일 대응하는 것과 비슷하게, 일반 벡터 공간에서 주어진 기저에 따라 좌표(座標, 영어: coordinate)를 구성할 수 있다. 다만, 유클리드 공간의 표준기저가 자연스런 순서를 갖춘 것처럼, 일반 벡터 공간에서도 순서를 추가한 기저 즉 순서기저(順序基底, 영어: ordered basis)가 필요하다.

구체적으로, 벡터 공간 순서기저전순서를 갖춘, 의 기저이다. 유한차원 벡터 공간의 경우, 기저에 자연수 첨수를 주는 것으로 족하다. 유한차원 벡터 공간 및 그 순서기저 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 벡터 의 기저 에 대한 좌표을 만족하는 스칼라의 튜플

이다.

이에 따라, 벡터 공간의 순서기저가 주어졌을 때, 벡터는 그 좌표와 일대일 대응한다.

정규직교기저[편집]

순서체 위의 노름 공간이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 의 기저 정규기저(영어: normal basis)라고 한다.

  • 모든 에 대하여,

순서체 위의 내적공간이라고 하자. 다음 조건을 만족시키는 의 기저 직교기저(영어: orthogonal basis)라고 한다.

  • 모든 에 대하여, 만약 이라면

정규기저이자 직교기저인, 내적공간의 기저를 정규직교기저(영어: orthonormal basis)라고 한다.

이를테면, 의 표준기저는 정규직교기저이다.

외부 링크[편집]