변환행렬

다음은 변환행렬에 관한 설명이다.

선형 대수학에서 선형 변환(linear transformations)은 행렬(matrix,매트릭스)로 나타내는 것이 가능하다. 또한 역사적으로 행렬상에서 행렬을 변환(또는 변형)시키는 다양한 표현방법이 조사되어왔다.

의미[편집]

행렬을 사용하면 임의의 선형 변환을 계산에 적합한 일관된 형식으로 표시 할 수 있다.^[1] $\left\{\mathbf {e} _{1},\cdots ,\mathbf {e} _{n}\right\}$ 이 $\mathbb {R} ^{n}$ 의 표준기저이고, 선형 변환 $T$ 를 나타내는 행렬을 $\mathbf {A}$ 라고 할 때 다음과 같이 표현할 수 있다.^[2]

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&\dots &T(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}

선형 변환만이 행렬로 표현할 수 있는 유일한 변환은 아니다. n 차원 유클리드 공간 $R^{n}$ 에서 비선형인 일부 변환은 n + 1 차원 공간 $R^{n+1}$ 에서 선형 변환으로 나타낼 수 있다. 여기에는 변환과 같은 아핀 변환(affine transformation) 과 사영 변환(projective transformation 또는 Homography) 이 모두 포함된다. 이러한 이유로, 정사각 행렬 변환은 3D 컴퓨터 그래픽에서 널리 사용된다. 이러한 n + 1 차원 변환 행렬은 아핀 변환 행렬 , 사영 변환 행렬 또는 보다 일반적으로 비선형 변환 행렬 등 그 응용에 따라 다르게 불린다. n 차원 행렬과 관련하여, n + 1 차원 행렬은 첨가 행렬로 설명 될 수 있다.

물리학에서 능동 변환(active transformation) 은 좌표상에서 시스템의 물리적 위치 값을 변경하고 좌표계가 없는 경우에도 의미를 가진다(기저 변환)

수동 변환(passive transformation)은 대상이 되는 물리적 시스템은 변형없이 그대로이고 단지 좌표만이 이동한 것이다. 바꾸어 말하면, 수동 변환은 두 개의 다른 좌표 프레임에서 보았을 때 동일한 대상의 각기 다른 시각을 의미한다.

이처럼 능동 변환과 수동 변환의 차이는 현실세계의 물리적인 현상과 좌표계를 통해서 구별될수있다. 일반적으로 변환이라는 표현은, 수학에서는 능동변환을 의미한다. 그러나 특히 물리학에서는 상황에 따라 그 중 하나를 의미 할 수 있다.

종류[편집]

3D 컴퓨터 그래픽 예[편집]

회전행렬

단위 벡터 $(l,m,n)$ 에 의해 정의된 축에 대해 각도 θ를 회전시키는 행렬^[3]

{\begin{bmatrix}ll(1-\cos \theta )+\cos \theta &ml(1-\cos \theta )-n\sin \theta &nl(1-\cos \theta )+m\sin \theta \\lm(1-\cos \theta )+n\sin \theta &mm(1-\cos \theta )+\cos \theta &nm(1-\cos \theta )-l\sin \theta \\ln(1-\cos \theta )-m\sin \theta &mn(1-\cos \theta )+l\sin \theta &nn(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.

반사 행렬(하우스홀더 변환)

좌표상에서 원점을 통과하는 반사된 점을 반영하기 위해 $ax+by+cz=0$ 를 사용할 수 있다. $\mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{T}$ 는 다음과 같이 정의된다. $\mathbf {I}$ 는 3x3 단위행렬이고 그리고 $\mathbf {N}$ 은 좌표상의 벡터 노름에 대한 3 차원 단위벡터이다. $a,b,$ 및 $c$ 의 노름 공간(L2)에서 변환 행렬은 다음과 같이 표현 될 수 있다.

\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}

같이 보기[편집]

각주[편집]

↑ Gentle, James E. (2007). "Matrix Transformations and Factorizations". Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics. Springer. ISBN 9780387708737.
↑ Meckes, Elizabeth S.; Meckes, Mark W. (2018). 《Linear algebra》. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. 83-84쪽. ISBN 978-1-107-17790-1.
↑ Szymanski, John E. (1989). Basic Mathematics for Electronic Engineers:Models and Applications. Taylor & Francis. p. 154. ISBN 0278000681.

참고[편집]

매스월드

[1] Gentle, James E. (2007). "Matrix Transformations and Factorizations". Matrix Algebra: Theory, Computations, and Applications in Statistics. Springer. ISBN 9780387708737.

[2] Meckes, Elizabeth S.; Meckes, Mark W. (2018). 《Linear algebra》. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. 83-84쪽. ISBN 978-1-107-17790-1.

[3] Szymanski, John E. (1989). Basic Mathematics for Electronic Engineers:Models and Applications. Taylor & Francis. p. 154. ISBN 0278000681.

[1]

[2]

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v t e 선형대수학
기본 개념	스칼라 벡터 벡터 공간 스칼라 곱셈 벡터 사영 선형생성 선형 변환 사영작용소 일차 독립 집합 선형 결합 기저 기저 변경 행 벡터와 열 벡터 행 공간과 열 공간 직교 영공간 고윳값과 고유 벡터 외적 내적 공간 스칼라곱 전치행렬 그람-슈미트 과정 일차 방정식 기본 정리
벡터 대수	벡터곱 삼중곱 7차원 외적
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행렬	블록 행렬 행렬 분해 가역행렬 소행렬식 행렬 곱셈 계수 변환행렬 크라메르 공식 가우스 소거법 행렬식
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