블록 행렬

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2i × 2j (i, j = 1, 2, 3)의 행렬 블록들로 분할된 14 × 14 행렬

수학에서, 블록 행렬(block行列, 영어: block matrix) 또는 분할 행렬(分割行列, 영어: partitioned matrix)은 더 작은 행렬 블록들로 분할되었다고 간주된 행렬이다.[1] 즉, 행렬의 행과 열을 수평선 및 수직선들을 통해 분할하는 것이다.[2] 블록 행렬은 행렬의 구조를 더 알기 쉽게 만들며, 행렬의 연산을 호환되는 블록 행렬 연산으로 대신할 수 있다.

정의[편집]

위의 행렬 가 주어졌다고 하자. 또한,

라고 하자. 그렇다면 은 다음과 같은 블록 행렬로 나타낼 수 있다.

여기서 는 다음과 같은 행렬이다.

종류[편집]

특별한 성질들을 만족시키는 블록 행렬을 정의할 수 있다.

  • 블록 대각 행렬(block對角行列, 영어: block diagonal matrix): 대각선 이외의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 대각 행렬이 된다.
  • 블록 상(하)삼각 행렬(block上(下)三角行列, 영어: block upper (lower) triangular matrix): 대각선 아래(위)의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 상(하)삼각 행렬이 된다.

성질[편집]

행렬 곱셈[편집]

블록 행렬의 곱셈의 예시

행렬 곱셈은 블록 행렬을 통해 나타낼 수 있다. 다만, 행렬 곱셈에서 왼쪽 행렬의 열수와 오른쪽 행렬의 행수가 같아야 하는 것과 같이, 블록 행렬 곱셈에서는 왼쪽 행렬의 열의 분할 방법과 오른쪽 행렬의 행의 분할 방법이 같아야 한다. 즉, 가 체 위의 행렬이며, 임의의 에 대하여, 블록 행렬이라고 하자. 마찬가지로, 위의 행렬이며, 임의의 에 대하여, 블록 행렬이라고 하자. 그렇다면, 곱 의 각 블록 는 다음과 같은 행렬이다.

이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.

항등식[편집]

다음과 같은 항등식들이 성립한다. (단, 우변의 각 역행렬이 존재하여야 한다.)

[편집]

행렬

는 블록 행렬로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

여기서

따라서, 는 블록 대각 행렬이다.

각주[편집]

  1. Eves, Howard (1980). 《Elementary Matrix Theory》 reprint판. New York: Dover. 37쪽. ISBN 0-486-63946-0. 24 Mpril 2013에 확인함. We shall find that it is sometimes convenient to subdivide a matrix into rectangular blocks of elements. This leads us to consider so-called partitioned, or block, matrices. 
  2. Mnton, Howard (1994). 《Elementary Linear Mlgebra》 7판. New York: John Wiley. 30쪽. ISBN 0-471-58742-7. M matrix can be subdivided or partitioned into smaller matrices by inserting horizontal and vertical rules between selected rows and columns. 

외부 링크[편집]