가우스 소거법

선형대수학에서, 가우스 소거법(Gauß消去法, 영어: Gaussian elimination)은 연립일차방정식을 풀이하는 알고리즘이다. 풀이 과정에서, 일부 미지수가 차츰 소거되어 결국 남은 미지수에 대한 선형 결합으로 표현되면서 풀이가 완성된다. 가우스 소거법은 보통 행렬을 사용하며, 첨가 행렬을 그와 풀이가 같은 더 간단한 행렬로 변환하여 풀이를 완성한다. 가우스 소거법은 행렬식과 역행렬의 계산에도 응용된다.

정의

체 $K$에 대하여, $n$개의 미지수에 대한 $m$개의 방정식으로 구성된 연립일차방정식

$Mx=0$

이 주어졌다고 하자. 여기서

$M={\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\M_{21}&M_{22}&\cdots &M_{2,n+1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}$

은 주어진 $m\times (n+1)$ 행렬이고,

$x={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\\1\end{pmatrix}}$

은 $n$개의 미지수를 포함하는 열벡터이다. 즉, 이는 풀어서 쓰면 다음과 같다.

$M_{11}x_{1}+M_{12}x_{2}+\cdots +M_{1,n}x_{n}+M_{1,n+1}=0$

$M_{21}x_{1}+M_{22}x_{2}+\cdots +M_{2,n}x_{n}+M_{2,n+1}=0$

$\vdots$

$M_{m1}x_{1}+M_{m2}x_{2}+\cdots +M_{m,n}x_{n}+M_{m,n+1}=0$

기본 행 연산

이 부분의 본문은 기본 행렬입니다.

이 경우, 이 연립방정식에 다음과 같은 세 가지 연산을 가할 수 있다. 이들을 기본 행 연산(基本行演算, 영어: elementary row operation)이라고 한다.

• (행의 치환) $M$의 $i$번째 행과 $j$번째 행을 서로 바꾼다.

${\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{j1}&M_{j2}&\cdots &M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0\implies {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{j1}&M_{j2}&\cdots &M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0$

• (행의 상수곱) $i$번째 행을 0이 아닌 임의의 상수 $a\in K\setminus \{0\}$으로 곱한다.

${\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0\implies {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\aM_{i1}&aM_{i2}&\cdots &aM_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0$

• (행의 합) 임의의 상수 $a\in K$에 대하여, $i$번째 행의 $a$배를 $j$번째 행에 더한다.

${\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{j1}&M_{j2}&\cdots &M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0\implies {\begin{pmatrix}M_{11}&M_{12}&\cdots &M_{1,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{i1}&M_{i2}&\cdots &M_{i,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\aM_{i1}+M_{j1}&aM_{i2}+M_{j2}&\cdots &aM_{i,n+1}+M_{j,n+1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\M_{m1}&M_{m2}&\cdots &M_{m,n+1}\end{pmatrix}}x=0$

행사다리꼴행렬

일반적으로 사다리꼴행렬(Echelon matrix,에쉴론 메트릭스, 또는 행사다리꼴행렬)은,

$m\times (n+1)$ 행렬 $M$에 대하여, $j_{0}(i)=\min\{j\leq n\colon M_{ij}\neq 0\}$이라고 하면, $M_{i,j_{0}(i)}$를 $i$번째 행의 선행 계수(先行係數, 영어: leading coefficient)라고 한다. 선행 계수는 존재하지 않을 수 있다.

$m\times (n+1)$ 행렬 $M$이 다음 조건을 만족시키면, $M$을 행사다리꼴행렬(사다리꼴行列, 영어: échelon matrix)이라고 한다.

• 만약 $0=M_{i1}=\cdots =M_{in}$이라면, 모든 $i\leq i'$에 대하여 $0=M_{i'1}=\cdots =M_{i'n}$이다.
• 만약 $i<i'$이며 $j_{0}(i)$와 $j_{0}(i')$가 존재한다면, $j_{0}(i)<j_{0}(i')$이다.

$m\times (n+1)$ 행렬 $M$이 다음 조건을 만족시키면, $M$을 기약행사다리꼴행렬(旣約行사다리꼴行列, 영어: reduced-row échelon matrix)이라고 한다.

• $M$은 행사다리꼴행렬이다.
• $j_{0}(i)$가 존재한다면, $M_{i,j_{0}(i)}=1$이며, 모든 $i'\neq i$에 대하여 $M_{i',j_{0}(i)}=0$이다.

즉, 행사다리꼴행렬은 행렬의 항들이 대략 위에는 사다리꼴, 밑에는 0인 형태의 행렬이다. 기약행사다리꼴행렬 조건은 행사다리꼴행렬 조건보다 더 강한 조건이다.

예를 들어, 다음과 같은 행렬은 행사다리꼴행렬이다.

${\begin{pmatrix}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\end{pmatrix}}$

다음과 같은 행렬은 기약행사다리꼴행렬이다.

${\begin{pmatrix}1&0&a_{1}&0&a_{2}\\0&1&a_{3}&0&a_{4}\\0&0&0&1&a_{5}\end{pmatrix}}$

가우스 소거법

가우스 소거법은 $m\times n$ 행렬 $M$을 기본행연산을 가하여 행사다리꼴행렬로 만드는 알고리즘이며, 다음과 같다. 먼저 첫번째 행을 다음과 같이 처리한다.

1. 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 $j_{1}\leq n$을 찾는다.
2. $M_{1j_{1}}=0$이라면, 첫번째 행을 $M_{i_{1}j_{1}}\neq 0$인 어떤 $i_{1}>1$번째 행과 치환한다.
3. 모든 $i>1$번째 행에 첫번째 행의 $-M_{ij_{1}}/M_{1j_{1}}$배를 더해, $M_{1j_{1}}$ 밑의 항들을 0으로 만든다.

그 뒤, 두번째 행을 다음과 같이 처리한다.

1. 어떤 $i\geq 2$번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 $j_{2}\leq n$을 찾는다.
2. $M_{2j_{2}}=0$이라면, 두번째 행을 $M_{i_{2}j_{2}}\neq 0$인 어떤 $i_{2}>2$번째 행과 치환한다.
3. 모든 $i>2$번째 행에 두번째 행의 $-M_{ij_{2}}/M_{2j_{2}}$배를 더해, $M_{2j_{2}}$ 밑의 항들을 0으로 만든다.

뒤에 오는 다른 행에 대하여, 순차적으로 위와 같이 처리한다. 일반적으로, $k$번째 행은 다음과 같이 처리한다.

1. 어떤 $i\geq k$번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수 $j_{k}\leq n$을 찾는다.
2. $M_{kj_{k}}=0$이라면, $k$번째 행을 $M_{i_{k}j_{k}}\neq 0$인 어떤 $i_{k}>k$번째 행과 치환한다.
3. 모든 $i>k$번째 행에 $k$번째 행의 $-M_{ij_{k}}/M_{kj_{k}}$배를 더해, $M_{kj_{k}}$ 밑의 항들을 0으로 만든다.

만약 어떤 $j_{r+1}\leq n$가 존재하지 않는다면, $r$번째 행에서 멈춘다. 만약 항상 $j_{k}\leq n$를 찾을 수 있다면, 모든 $k=1,2,\ldots ,m$번째 행에 대하여 순차적으로 위와 같이 처리하며, $r=n$으로 둔다. 기약행사다리꼴행렬을 원한다면, 찾았던 모든 $j_{k}=j_{r},j_{r-2},\ldots ,j_{1}$에 대하여 순차적으로 다음과 같은 단계를 추가로 거친다.

1. $k$번째 행에 $1/M_{kj_{k}}$를 곱해, $M_{kj_{k}}$를 1로 만든다.
2. 모든 $i<k$번째 행에 $k$번째 행의 $-M_{ij_{k}}$배를 더해, $M_{kj_{k}}$ 위의 항들을 0으로 만든다.

여기서 $r\leq m$이며 $r\leq n$인 데 주의하자. 사실, 이는 행렬의 계수이다.

• 기약행사다리꼴행렬의 과정을 특히 조단이 제시한 "가우스 조단 소거법"으로 부른다.

성질

기본행연산

세 가지 기본행연산은 모두 가역 연산이다.

• 행의 치환의 역연산은, 자기 자신이다.
• 행의 상수곱의 역연산은, 그 행에 그 상수 대신 역수를 곱하는 것이다.
• 어떤 행에 다른 행의 배수를 더하는 것의 역연산은, 더하는 대신 빼는 것이다.

두 연립일차방정식의 첨가 행렬이 하나에 기본행연산을 가하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 행동치라고 한다. 첨가 행렬이 행동치라면, 연립방정식의 풀이는 서로 같다.

기본 행렬은 단위 행렬에 기본행연산을 한 번 가하여 얻는 행렬이다. 이에 따라, 세 가지 기본행연산은 기본 행렬 곱셈과 같다.

행사다리꼴행렬

가우스 소거법 알고리즘에서 알 수 있듯, 모든 연립일차방정식의 첨가 행렬은 그와 같은 해를 갖는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 따라서, 연립일차방정식의 풀이는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴에 대한 풀이로 귀결된다.

$m\times (n+1)$ 행사다리꼴행렬 $R$에 대한 연립일차방정식 $Rx=0$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 해가 존재한다.
• 상수항이 0이 아닌 행이 존재하지 않는다. (상수항은 $n+1$번째 열의 항, 0행은 선행 계수가 없는 행을 뜻한다.)

해가 존재하는 $Rx=0$의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 해가 유일하다.
• $r=n$. 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수와 같다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재하지 않는다.

달리 말해, 해가 존재하는 $Rx=0$의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 해가 유일하지 않다. (체의 표수가 0이라면, 이는 해가 무한히 많은 것과 동치이다.)
• $r<n$. 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수보다 적다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재한다.

행렬식의 계산

가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 행렬식을 계산할 수 있다. 이는 정사각행렬에 대하여 다음 사실들이 성립하기 때문이다.

• 기본행연산을 가하면, 행렬식은 "상수배" 변화하며, 주어진 기본행연산이 행렬식을 변화시키는 배수는 자명하다. 즉,
  • 행을 치환하면, 행렬식은 -1배가 된다.
  • 행에 상수곱을 하면, 행렬식은 그 상수의 역수배가 된다.
  • 어떤 행에 다른 어떤 행의 상수배를 더하면, 행렬식은 변하지 않는다.
• 가우스 소거법을 통해 행렬을 행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 특히 정사각행렬이므로, 이는 0행(즉 모든 항이 0인 행)을 갖거나, 상삼각행렬이다.
• 0행을 갖는 정사각행렬의 행렬식은 0이다.
• 상삼각행렬의 행렬식은 모든 대각항의 곱이다.

역행렬의 계산

가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 역행렬을 계산할 수 있다. $n\times n$ 행렬 $M$의 역행렬은 다음과 같이 계산한다. $M$에 $n\times n$ 단위행렬을 추가하여 $n\times 2n$ 행렬로 만든다.

${\begin{pmatrix}M_{1,1}&\cdots &M_{1,n}&1&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\M_{n,1}&\cdots &M_{n,n}&0&\cdots &1\end{pmatrix}}$

이 행렬에 기본행연산을 가하여

${\begin{pmatrix}1&\cdots &0&{\tilde {M}}_{11}&\cdots &{\tilde {M}}_{1,n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\ddots &\vdots &\ddots \\0&\cdots &1&{\tilde {M}}_{n,1}&\cdots &{\tilde {M}}_{n,n}\end{pmatrix}}$

로 만든다면, 행렬 ${\tilde {M}}$은 $M^{-1}$과 같다.

${\tilde {M}}=M^{-1}$

계수 계산

가우스 소거법을 사용하여 행렬의 계수를 계산할 수 있다. $m\times n$ 행렬 $M$의 계수는 가우스 소거법을 가하여 얻는 행사다리꼴행렬에서 0이 아닌 행의 계수(즉, 선행 계수의 개수) $r$이다.

예

$\left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\1&1&-1&1\\3&11&5&35\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&2&2&8\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&0&0&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\0&0&0&0\end{array}}\right]$

해가 유일한 연립 선형 방정식

다음과 같은 선형 방정식이 주어졌다고 하자.

${\begin{matrix}2u&+&v&+&w&=&5\\4u&-&6v&&&=&-2\\-2u&+&7v&+&2w&=&9\end{matrix}}$

첫 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다.

1. 첫째 식의 -2배를 둘째 식에 더한다
2. 첫째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.

그렇다면 다음과 같다.

${\begin{matrix}2u&+&v&+&w&=&5\\&-&8v&-&2w&=&-12\\&&8v&+&3w&=&14\end{matrix}}$

두 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다.

둘째 식의 1배를 셋째 식에 더한다. 그러면 다음과 같다.

${\begin{matrix}2u&+&v&+&w&=&5\\&-&8v&-&2w&=&-12\\&&&&w&=&2\end{matrix}}$

이제 행렬이 사다리꼴이 되었다. 그렇다면, 이제 미지수들을 가장 밑의 행으로부터 순서대로 대입하여 계산할 수 있다. 이것을 후방대입(back substitution)이라 한다.

$w=2$

$-8v-2w=-12\implies v=1$

$2u+v+w=5\implies u=1$

해가 유일하지 않거나 없는 연립 선형 방정식

정칙(Nonsingular) 행렬일 경우의 예

(식 2와 3을 바꾸어 해결한다)

• ${\begin{cases}10u+2v+-1w&=\ 27\\-3u+-6v+2w&=\ -61.5\\u+v+5w&=\ -21.5\end{cases}}$

비정칙(Singular) 행렬일 경우의 예

(해가 없는 경우도 있다.)

• ${\begin{cases}u+v+w&=\ ?\\2u+2v+5w&=\ ?\\4u+4v+8w&=\ ?\\\end{cases}}$

• ${\begin{cases}u+v+w&=\ ?\\3w&=\ ?\\4w&=\ ?\end{cases}}$

역행렬의 계산

다음과 같은 행렬 $M$의 역행렬을 계산한다고 하자.

$M={\begin{pmatrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\end{pmatrix}}$

기본행연산을 가하면, 다음과 같다.

${\begin{aligned}{\begin{pmatrix}\ A&\vert &I\end{pmatrix}}&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\3&-1&1\\-1&3&4\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&2&2\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-1&0&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}-1&1&2\\0&2&7\\0&0&-5\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}1&0&0\\3&1&0\\-4&-1&1\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&-2\\0&1&3.5\\0&0&1\\\end{matrix}}\right|{\begin{matrix}-1&0&0\\1.5&0.5&0\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}0.6&0.4&-0.4\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\\&\to \left(\left.{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}}\ \ \right|\ \ {\begin{matrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\\\end{matrix}}\right)\end{aligned}}$

따라서 $M^{-1}$은 다음과 같다.

$M^{-1}={\begin{pmatrix}-0.7&0.2&0.3\\-1.3&-0.2&0.7\\0.8&0.2&-0.2\end{pmatrix}}$

함께보기

• 사다리꼴행렬
• 크래머 공식

외부 링크

• “Gauss method”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gaussian elimination”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Gauss-JordanElimination”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Echelon form”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Elementary row and column operations”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 

각주

참고 문헌

• Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.