가우스 소거법

가우스 소거법(Gaussian elimination)은 소거법을 정리해 놓은 방식이다. 약어로 G.E.라고도 쓴다. 한 방정식을 첫 변수에 대해 푼 다음, 이 식을 나머지 방정식에 넣어 연립 선형방정식을 푸는 방식이다. 위의 결과는 방정식과 변수의 개수가 원래 연립방정식보다 하나 적은 새로운 연립방정식이 된다. 같은 과정을 2번째 변수에 적용하고, 방정식이 하나만 남을 때까지 다른 변수들에 이 과정을 되풀이한다. 하나 남은 방정식에서는 마지막 변수만 미지변수이다. 이 방정식의 해로 바로 앞에서 얻은 미지수가 2개인 방정식의 해를 구한다. 이 과정은 모든 미지수의 값을 구할 때까지 계속된다. 선형대수학에서 가우스 소거법은 일차연립방정식을 풀기 위한 알고리즘이다. 행렬의 계수와 가역행렬(역행렬)이 존재한다.

가우스 소거법의 과정

전진 소거법(Forward elimination)

• $\left\{ \begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ 4u &-& 6v && &=& -2 \\ -2u &+& 7v &+& 2w &=& 9 \end{matrix} \right.$

• 1. 첫째 식의 -2배를 둘째 식에 더한다.
  2. 첫째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.

• $\left\{ \begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ &-& 8v &-& 2w &=& -12 \\ && 8v &+& 3w &=& 14 \end{matrix} \right.$

• 1. 둘째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.

• $\left\{ \begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ &-& 8v &-& 2w &=& -12 \\ && && w &=& 2 \end{matrix} \right.$

후진 대입법(Backward substitution)

• $\left\{ \begin{matrix} 2u &+& v &+& w &=& 5 \\ &-& 8v &-& 2w &=& -12 \\ && && w &=& 2 \end{matrix} \right.$

• 1. 셋째 식이 w = 2임을 말한다.
  2. w를 둘째 식에 대입하여 v를 구하면 v = 1이다.
  3. 마찬가지로 v, w를 첫째 식에 대입하여 u를 구하면 u = 1이다.

각 식 앞에 있는 $2u, -8v, w$의 계수인 2, -8, 1을 피벗(pivot)이라고 부른다.

풀기 곤란한 경우

정칙(Nonsingular) 행렬일 경우의 예

(식 2와 3을 바꾸어 해결한다)

• $\begin{cases} 10u + 2v + -1w & = \ 27 \\ -3u + -6v + 2w & = \ -61.5 \\ u + v + 5w & = \ -21.5 \end{cases}$

비정칙(Singular) 행렬일 경우의 예

(해가 없는 경우도 있다.)

• $\begin{cases} u + v + w & = \ ? \\ 2u + 2v + 5w & = \ ? \\ 4u + 4v + 8w & = \ ? \\ \end{cases}$

• $\begin{cases} u + v + w & = \ ? \\ 3w & = \ ? \\ 4w & = \ ? \end{cases}$