가우스 소거법

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가우스 소거법(Gaussian elimination)소거법을 정리해 놓은 방식이다. 약어로 G.E.라고도 쓴다. 한 방정식을 첫 변수에 대해 푼 다음, 이 식을 나머지 방정식에 넣어 연립 선형방정식을 푸는 방식이다. 위의 결과는 방정식과 변수의 개수가 원래 연립방정식보다 하나 적은 새로운 연립방정식이 된다. 같은 과정을 2번째 변수에 적용하고, 방정식이 하나만 남을 때까지 다른 변수들에 이 과정을 되풀이한다. 하나 남은 방정식에서는 마지막 변수만 미지변수이다. 이 방정식의 해로 바로 앞에서 얻은 미지수가 2개인 방정식의 해를 구한다. 이 과정은 모든 미지수의 값을 구할 때까지 계속된다. 선형대수학에서 가우스 소거법일차연립방정식을 풀기 위한 알고리즘이다. 행렬계수가역행렬(역행렬)이 존재한다.

가우스 소거법의 과정[편집]

전진 소거법(Forward elimination)[편집]

  • 
\left\{  \begin{matrix} 
2u  &+& v   &+& w  &=& 5 \\
4u  &-& 6v   &&    &=& -2 \\
-2u &+& 7v &+& 2w &=& 9
\end{matrix}  \right.
    1. 첫째 식의 -2배를 둘째 식에 더한다
    2. 첫째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.
  • 
\left\{  \begin{matrix} 
2u &+& v &+& w &=& 5 \\
   &-& 8v &-& 2w &=& -12 \\
    && 8v &+& 3w &=& 14
\end{matrix}  \right.
    1. 둘째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.
  • 
\left\{  \begin{matrix}
2u &+& v &+& w  &=&  5 \\
   &-& 8v &-& 2w  &=&  -12 \\
   &&     &&  w   &=&  2
\end{matrix}  \right.

후진 대입법(Backward substitution)[편집]

  • 
\left\{  \begin{matrix}
2u &+& v &+& w  &=&  5 \\
   &-& 8v &-& 2w  &=&  -12 \\
   &&     &&  w   &=&  2
\end{matrix}  \right.
    1. 셋째 식이 w = 2임을 말한다.
    2. w를 둘째 식에 대입하여 v를 구하면 v = 1이다.
    3. 마찬가지로 v, w를 첫째 식에 대입하여 u를 구하면 u = 1이다.

각 식 앞에 있는 2u, -8v, w계수인 2, -8, 1을 피벗(pivot)이라고 부른다.

풀기 곤란한 경우[편집]

정칙(Nonsingular) 행렬일 경우의 예[편집]

(식 2와 3을 바꾸어 해결한다)

  • 
\begin{cases}
10u + 2v + -1w & = \ 27 \\
-3u + -6v + 2w & = \ -61.5 \\
u + v + 5w & = \ -21.5
\end{cases}

비정칙(Singular) 행렬일 경우의 예[편집]

(해가 없는 경우도 있다.)

  • 
\begin{cases}
u + v + w & = \ ? \\
2u + 2v + 5w & = \ ? \\
4u + 4v + 8w & = \ ? \\
\end{cases}
  • 
\begin{cases}
u + v + w & = \ ? \\
3w & = \ ? \\
4w & = \ ?
\end{cases}