선형대수학에서 가우스 소거법(Gauß消去法, 영어: Gaussian elimination)이란, 연립일차방정식을 풀이하는 알고리즘이다. 풀이 과정에서, 일부 미지수가 차츰 소거되어 결국 남은 미지수에 대한 선형 결합으로 표현되면서 풀이가 완성된다. 가우스 소거법은 보통 행렬을 사용하며, 첨가 행렬을 그와 풀이가 같은 더 간단한 행렬로 변환하여 풀이를 완성한다. 가우스 소거법은 행렬식과 역행렬의 계산에도 응용된다.
체
에 대하여,
개의 미지수에 대한
개의 방정식으로 구성된 연립일차방정식

이 주어졌다고 하자. 여기서

은 주어진
행렬이고,

은
개의 미지수를 포함하는 열벡터이다. 즉, 이는 풀어서 쓰면 다음과 같다.



기본 행 연산[편집]
이 경우, 이 연립방정식에 다음과 같은 세 가지 연산을 가할 수 있다. 이들을 기본 행 연산(基本行演算, 영어: elementary row operation)이라고 한다.
- (행의 치환)
의
번째 행과
번째 행을 서로 바꾼다.

- (행의 상수곱)
번째 행을 0이 아닌 임의의 상수
으로 곱한다.

- (행의 합) 임의의 상수
에 대하여,
번째 행의
배를
번째 행에 더한다.

행사다리꼴행렬[편집]
일반적으로 사다리꼴행렬(Echelon matrix,에쉴론 메트릭스, 또는 행사다리꼴행렬)은,
행렬
에 대하여,
이라고 하면,
를
번째 행의 선행 계수(先行係數, 영어: leading coefficient)라고 한다. 선행 계수는 존재하지 않을 수 있다.
행렬
이 다음 조건을 만족시키면,
을 행사다리꼴행렬(사다리꼴行列, 영어: échelon matrix)이라고 한다.
- 만약
이라면, 모든
에 대하여
이다.
- 만약
이며
와
가 존재한다면,
이다.
행렬
이 다음 조건을 만족시키면,
을 기약행사다리꼴행렬(旣約行사다리꼴行列, 영어: reduced-row échelon matrix)이라고 한다.
은 행사다리꼴행렬이다.
가 존재한다면,
이며, 모든
에 대하여
이다.
즉, 행사다리꼴행렬은 행렬의 항들이 대략 위에는 사다리꼴, 밑에는 0인 형태의 행렬이다. 기약행사다리꼴행렬 조건은 행사다리꼴행렬 조건보다 더 강한 조건이다.
예를 들어, 다음과 같은 행렬은 행사다리꼴행렬이다.

다음과 같은 행렬은 기약행사다리꼴행렬이다.

가우스 소거법[편집]
가우스 소거법은
행렬
을 기본행연산을 가하여 행사다리꼴행렬로 만드는 알고리즘이며, 다음과 같다. 먼저 첫번째 행을 다음과 같이 처리한다.
- 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수
을 찾는다.
이라면, 첫번째 행을
인 어떤
번째 행과 치환한다.
- 모든
번째 행에 첫번째 행의
배를 더해,
밑의 항들을 0으로 만든다.
그 뒤, 두번째 행을 다음과 같이 처리한다.
- 어떤
번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수
을 찾는다.
이라면, 두번째 행을
인 어떤
번째 행과 치환한다.
- 모든
번째 행에 두번째 행의
배를 더해,
밑의 항들을 0으로 만든다.
뒤에 오는 다른 행에 대하여, 순차적으로 위와 같이 처리한다. 일반적으로,
번째 행은 다음과 같이 처리한다.
- 어떤
번째 행의 선행 계수가 위치하는 가장 작은 열수
을 찾는다.
이라면,
번째 행을
인 어떤
번째 행과 치환한다.
- 모든
번째 행에
번째 행의
배를 더해,
밑의 항들을 0으로 만든다.
만약 어떤
가 존재하지 않는다면,
번째 행에서 멈춘다. 만약 항상
를 찾을 수 있다면, 모든
번째 행에 대하여 순차적으로 위와 같이 처리하며,
으로 둔다.
기약행사다리꼴행렬을 원한다면, 찾았던 모든
에 대하여 순차적으로 다음과 같은 단계를 추가로 거친다.
번째 행에
를 곱해,
를 1로 만든다.
- 모든
번째 행에
번째 행의
배를 더해,
위의 항들을 0으로 만든다.
여기서
이며
인 데 주의하자. 사실, 이는 행렬의 계수이다.
- 기약행사다리꼴행렬의 과정을 특히 조단이 제시한 "가우스 조단 소거법"으로 부른다.
기본행연산[편집]
세 가지 기본행연산은 모두 가역 연산이다.
- 행의 치환의 역연산은, 자기 자신이다.
- 행의 상수곱의 역연산은, 그 행에 그 상수 대신 역수를 곱하는 것이다.
- 어떤 행에 다른 행의 배수를 더하는 것의 역연산은, 더하는 대신 빼는 것이다.
두 연립일차방정식의 첨가 행렬이 하나에 기본행연산을 가하여 다른 하나를 얻을 수 있다면, 행동치라고 한다. 첨가 행렬이 행동치라면, 연립방정식의 풀이는 서로 같다.
기본 행렬은 단위 행렬에 기본행연산을 한 번 가하여 얻는 행렬이다. 이에 따라, 세 가지 기본행연산은 기본 행렬 곱셈과 같다.
행사다리꼴행렬[편집]
가우스 소거법 알고리즘에서 알 수 있듯, 모든 연립일차방정식의 첨가 행렬은 그와 같은 해를 갖는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 따라서, 연립일차방정식의 풀이는 행사다리꼴행렬 및 기약행사다리꼴에 대한 풀이로 귀결된다.
행사다리꼴행렬
에 대한 연립일차방정식
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 해가 존재한다.
- 상수항이 0이 아닌 행이 존재하지 않는다. (상수항은
번째 열의 항, 0행은 선행 계수가 없는 행을 뜻한다.)
해가 존재하는
의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 해가 유일하다.
. 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수와 같다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재하지 않는다.
달리 말해, 해가 존재하는
의 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 해가 유일하지 않다. (체의 표수가 0이라면, 이는 해가 무한히 많은 것과 동치이다.)
. 즉, 0행이 아닌 행의 개수는 미지수의 개수보다 적다. 즉, 선행 계수가 없는 열이 계수 행렬에 존재한다.
행렬식의 계산[편집]
가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 행렬식을 계산할 수 있다. 이는 정사각행렬에 대하여 다음 사실들이 성립하기 때문이다.
- 기본행연산을 가하면, 행렬식은 "상수배" 변화하며, 주어진 기본행연산이 행렬식을 변화시키는 배수는 자명하다. 즉,
- 행을 치환하면, 행렬식은 -1배가 된다.
- 행에 상수곱을 하면, 행렬식은 그 상수의 역수배가 된다.
- 어떤 행에 다른 어떤 행의 상수배를 더하면, 행렬식은 변하지 않는다.
- 가우스 소거법을 통해 행렬을 행사다리꼴행렬로 변환할 수 있다. 특히 정사각행렬이므로, 이는 0행(즉 모든 항이 0인 행)을 갖거나, 상삼각행렬이다.
- 0행을 갖는 정사각행렬의 행렬식은 0이다.
- 상삼각행렬의 행렬식은 모든 대각항의 곱이다.
역행렬의 계산[편집]
가우스 소거법을 사용하여 정사각행렬의 역행렬을 계산할 수 있다.
행렬
의 역행렬은 다음과 같이 계산한다.
에
단위행렬을 추가하여
행렬로 만든다.

이 행렬에 기본행연산을 가하여

로 만든다면, 행렬
은
과 같다.

계수 계산[편집]
가우스 소거법을 사용하여 행렬의 계수를 계산할 수 있다.
행렬
의 계수는 가우스 소거법을 가하여 얻는 행사다리꼴행렬에서 0이 아닌 행의 계수(즉, 선행 계수의 개수)
이다.
![{\displaystyle \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\1&1&-1&1\\3&11&5&35\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&2&2&8\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&3&1&9\\0&-2&-2&-8\\0&0&0&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrr|r}1&0&-2&-3\\0&1&1&4\\0&0&0&0\end{array}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d92f997de9f7ad787b95d08fcd25dca828dd93)
해가 유일한 연립 선형 방정식[편집]
다음과 같은 선형 방정식이 주어졌다고 하자.

첫 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다.
- 첫째 식의 -2배를 둘째 식에 더한다
- 첫째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.
그렇다면 다음과 같다.

두 번째 열을 사다리꼴로 놓기 위해, 다음과 같은 기본행연산을 가한다.
둘째 식의 1배를 셋째 식에 더한다.
그러면 다음과 같다.

이제 행렬이 사다리꼴이 되었다.
그렇다면, 이제 미지수들을 가장 밑의 행으로부터 순서대로 대입하여 계산할 수 있다. 이것을 후방대입(back substitution)이라 한다.



해가 유일하지 않거나 없는 연립 선형 방정식[편집]
- 정칙(Nonsingular) 행렬일 경우의 예
(식 2와 3을 바꾸어 해결한다)

- 비정칙(Singular) 행렬일 경우의 예
(해가 없는 경우도 있다.)


역행렬의 계산[편집]
다음과 같은 행렬
의 역행렬을 계산한다고 하자.

기본행연산을 가하면, 다음과 같다.

따라서
은 다음과 같다.

같이 보기[편집]
외부 링크[편집]
참고 문헌[편집]
- Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8.