연립 일차 방정식

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수학에서, 연립 일차 방정식(聯立一次方程式, 영어: system of linear equations) 또는 선형 방정식계(線性方程式系)는 여러 개의 일차 방정식으로 이루어진 연립 방정식이다.[1] 모든 일차 방정식을 만족시키는 변수값 튜플로 한다. 기하학적 관점에서, 실수 계수 연립 일차 방정식의 해는 초평면들의 교점과 같다. 연립 일차 방정식은 계수 행렬첨가 행렬을 사용하여 나타낼 수 있다. 연립 일차 방정식의 기본적인 해법은 가우스 소거법이다. 연립 일차 방정식은 선형대수학의 중요한 연구 대상이며, 많은 실제 문제의 모형이다.[1]

정의[편집]

개의 방정식으로 이루어진 연립 일차 방정식은 다음과 같은 꼴이다.

행렬 곱셈의 정의에 의하여, 이는 다음과 동치이다.

여기에 쓰인 세 행렬을 왼쪽부터 차례대로 , , 라고 하면, 연립 일차 방정식은 다음과 같이 단순하게 쓸 수 있다.

이 경우, 를 이 연립 일차 방정식의 계수 행렬, 해 벡터(解-, 영어: solution vector), 소스 벡터(영어: source vector)라고 한다.[2] 또한, 계수 행렬 옆에 소스 벡터를 덧붙인 행렬 첨가 행렬이라고 한다.

연립 일차 방정식 을 만족시키면, 동차 연립 일차 방정식(同次聯立一次方程式, 영어: homogeneous system of linear equations)이라고 하며, 반대로 을 만족시키면, 비동차 연립 일차 방정식(非同次聯立一次方程式, 영어: non-homogeneous system of linear equations)이라고 한다.

풀이[편집]

계수를 에서 취하는 연립 일차 방정식 의 해의 집합은 공집합이거나, -벡터 공간의 잉여류 를 이룬다. (여기서 은 임의의 고정된 해이며, 이다.) 특히, 동차 연립 일차 방정식의 해들은 -벡터 공간 을 이룬다.

구체적으로, 연립 일차 방정식 의 해는 존재하지 않을 수도, 유일할 수도, 수많을 수도 있는데, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 의 해는 존재한다.
  • (여기서 이다.)
  • (여기서 계수이다.)

또한, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 의 해는 유일하다.
  • 가역 행렬이다.

특히, 동차 연립 일차 방정식은 영벡터를 자명한 해로 가지며, 해가 영벡터뿐일 필요충분조건은 계수 행렬이 (정사각) 가역 행렬인 것이다. 보다 구체적으로, 해공간의 차원은 다음과 같으며, 이를 계수-퇴화차수 정리라고 한다.

가우스 소거법[편집]

가우스 소거법은 가감법을 사용하여 연립 일차 방정식을 푸는 방법이다. 기본 행 연산 를 통해 첨가 행렬

을 계수 행렬이 기약 행 사다리꼴 행렬인 새로운 첨가 행렬

로 변환시키면 된다.

크라메르 공식[편집]

크라메르 공식은 방정식의 개수와 미지수의 개수가 같고, 계수 행렬이 가역 행렬일 경우에 유일한 해를 구하는 공식이다. 이 유일한 해는 다음과 같다.

크라메르 공식은 이를 다음과 같이 풀어쓴다.

여기서 째 행을 로 대신하여 얻는 행렬이며, 행렬식이다.

같이 보기[편집]

각주[편집]

  1. Abdelwahab Kharab & Ronald B. Guenther 2013, 97쪽.
  2. (cemm#을 활용한 수치해석, 제 3 장 수치 선형대수 www.msharpmath.com, revised on 2012.11.28,p21)http://www.msharpmath.com/wordpress/wp-content/uploads/2012/09/102-003-%EC%88%98%EC%B9%98%ED%95%B4%EC%84%9D1.pdf

참고 문헌[편집]

  • Abdelwahab Kharab; Ronald B. Guenther (2013). 《An Introduction to Numerical Methods A MATLAB Approach》 [이공학도를 위한 수치해석]. 학산미디어. ISBN 978-89-966211-8-8. 

외부 링크[편집]