연립 일차 방정식

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연립일차방정식(聯立一次方程式) 또는 선형방정식계(線性方程式系, system of linear equations)는 일차방정식 여러 개로 이루어진 연립방정식이다. 모든 일차방정식을 만족하는 임의의 변수 튜플로 한다. 다음은 연립 이원일차방정식의 예이다.

구문 분석 실패 (PNG 변환 실패; latex 및 dvipng(또는 dvips + gs + convert)가 올바르게 설치되어 있는지 확인해주세요): \begin{cases} 2x + y & = & 5 \\ 8x - 5y & = & 3 \end{cases}

소거법은 연립일차방정식을 풀이하는 가장 기본적인 기법이다. 더 추상적으로, 임의의 연립일차방정식은 그와 동치인(즉 해가 같은) 해가 자명한 연립방정식으로 전환된다. 연립일차방정식은, 행렬을 이용해 열벡터에 관한 하나의 방정식(Ax = b)으로 표현할 수 있다. 가우스 소거법을 통해 계수행렬(A)을 그와 행동치인, 행사다리꼴로 전환하여 풀이할 수 있다.

연립일차방정식은 선형대수학의 중요한 연구 대상이며, 많은 실제 문제의 모형이다.

이원일차연립방정식의 해[편집]

x, y에 관한 2개의 일차 방정식을 동시에 만족하는 x, y의 값 또는 그 순서쌍이 이원일차연립방정식의 이다. 즉, 두 일차 방정식그래프의 교점의 좌표가 일차 연립 방정식의 해인것이다. 풀이 방법은 밑에 있는 가감법에서 자세하게 설명이 나와있다.

가감법[편집]

가감법이란, 일차 연립 방정식의 를 구하는 방법들 중의 하나이다. 두 일차 방정식을 변끼리 더하거나 빼서, 한 미지수를 소거해서 해를 구하는 방법을 뜻한다. 이 방법을 쓰기 위해서는 소거하려는 미지수계수절댓값이 같아야 한다.

가감법의 예[편집]

\left\{\begin{matrix} 2x-3y=5 & \mbox{ } \\ -2x+4y=-4 & \mbox{ } \end{matrix}\right.

여기서 x를 소거하기 위해, x의 부호가 다르고 절댓값이 같으므로 변끼리 더해준다.

그 결과 y=-1을 얻을 수 있다.

하지만 y의 값 뿐만이 아닌, x의 값도 구해야 한다.

2x-3y=5y=-1을 대입해보면, 2x+3=5가 나온다. 여기서 좌변의 +3을 이항하면 2x=2의 식을 얻을 수 있다. 그리고 2xx로 바꾸기 위해서 양변에 2를 나눈다.

따라서 x=1이다.

대입법[편집]

대입법이란, 일차 연립 방정식의 를 구하는 방법들 중의 하나이다. 일차 연립 방정식에서 한 일차 방정식을 한 미지수에 관해서 푼 후, 그것을 다른 일차 방정식에 대입해서 해를 구하면 된다.

대입법의 예[편집]

\left\{\begin{matrix} y=-x+2 & \mbox{ } \\ 2x+3y=1 & \mbox{ } \end{matrix}\right.

첫 번째 일차 방정식을 두 번째 일차 방정식에 대입해보면,

2x+3(-x+2)=1이 나온다.

등치법[편집]

등치법이란, 일차연립방정식의 해를 구하는 방법중의 하나이다. 주어진 두 방정식을 어느 한 미지수(혹은 상수항)에 대하여 풀어 그것을 같다고 놓고, 한 미지수(혹은 상수항)를 소거하여 를 구하는 방법이다. 중학교과서에는 가감법이라고 나온다.

등치법의 예[편집]

\left\{\begin{matrix} x+2y=7 & \mbox{ } \\x-y=-2 & \mbox{ } \end{matrix}\right.

여기서 두 식을 각각 x에 대하여 풀면

\left\{\begin{matrix} x=7-2y & \mbox{ } \\x=y-2 & \mbox{ } \end{matrix}\right.

가 나온다. 여기서 한 식의 x에 다른 식의 값을 대입하면 7-2y=y-2

이 된다. 그리고 이것을 풀면 y=3이라는 해가 나온다. 여기서, 두 식중 한 식에 y의 값을 대입하면 x=1이라는 해가 나온다. 따라서, x=1, y=3이 이 연립방정식의 해이다.

같이 보기[편집]