일차 독립 집합

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선형대수학에서, 일차 독립 집합(一次獨立集合, 영어: linearly independent set) 또는 선형 독립 집합(線型獨立集合)은 모든 벡터가 남은 벡터들의 일차 결합으로 나타낼 수 없는 벡터들의 집합이다.

정의[편집]

위의 벡터 공간 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 일차 독립 집합이라고 한다.

  • 임의의 서로 다른 에 대하여, 만약 라면, 이다. (여기서 는 각각 의 덧셈 항등원이다.)
  • 임의의 에 대하여, 이다. (여기서 는 주어진 부분 집합으로 생성된 부분 벡터 공간이다.)

두 조건의 동치는 체의 모든 0이 아닌 원소가 가역원이라는 성질에 의존하며, 일반적인 위의 가군에서는 첫 번째 조건이 두 번째 조건을 함의한다. 일차 독립 집합이 아닌 벡터 공간의 부분 집합을 일차 종속 집합(一次從屬集合, 영어: linearly dependent set) 또는 선형 종속 집합(線型從屬集合)이라고 한다. 부분 중복 집합에 대하여 마찬가지로 일차 독립 중복집합(一次獨立重復集合, 영어: linearly independent multiset)과 일차 종속 중복집합(一次從屬重復集合, 영어: linearly dependent multiset)을 정의할 수 있다.

성질[편집]

일차 독립 집합의 모든 부분 집합은 일차 독립 집합이다. 일차 종속 집합을 포함하는 부분 집합은 일차 종속 집합이다.

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공집합은 벡터 공간의 일차 독립 집합이다. 체 위의 벡터 공간 한원소 부분 집합 가 일차 독립 집합일 필요충분조건은 이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]