공집합

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공집합의 기호

수학에서, 공집합(空集合, 영어: empty set)은 원소가 하나도 없는 집합이다. 기호는 또는 .

정의[편집]

공집합 은 아무런 원소를 가지지 않는 집합이다. 이는 다음 조건을 만족시키는 유일한 집합이다.

  • 임의의 에 대하여,

성질[편집]

모든 집합 에 대하여,

  • 공집합은 부분집합이다.
  • 집합 와 공집합의 합집합은 집합 A이다.
  • 집합 와 공집합의 교집합은 공집합이다.
  • 집합 와 공집합의 곱집합은 공집합이다.

공집합은 다음과 같은 성질들을 가지고 있다.

  • 공집합의 유일한 부분집합은 공집합 자신이다.
  • 공집합의 멱집합은 공집합만을 원소로 하는 집합이다.
  • 공집합의 원소의 개수는 0이다. 즉, 공집합의 기수가 0 이다. 공집합은 유한집합이다.

응용[편집]

공허하게 참인 명제[편집]

공허하게 참인 명제(空虛-命題, 영어: vacuously true statement)는 공집합에 대한 전칭 명제나, 거짓 명제를 전제 조건으로 하는 함의 명제를 뜻한다. 그 전형적인 꼴은 다음과 같다.

  • (여기서 는 거짓 명제이다.)

공허하게 참인 명제는 뒤에 오는 결론이 모순 명제이더라도 항상 참이지만, 실속 있는 내용이 없다.

예를 들어, 다음과 같은 명제들은 공허하게 참인 명제이다.

  • 임의의 에 대하여,
  • 만약 라면, 이다.

공집합에 대한 합과 곱[편집]

편의를 위해, 공집합 속의 모든 원소들의 합은 0, 곱은 1로 정의된다. 즉, 다음과 같다.

예를 들어, 합

을 다음과 같이 재귀적으로 정의할 수 있다.

영항 연산[편집]

편의를 위해, 집합 의 0번 곱집합 은 임의의 한원소 집합 으로 정의된다. 이 경우, 집합 위의 영항 연산

의 원소

와 일대일 대응한다.

집합론[편집]

, 특히 자연수를 정의할 때 공집합의 집합 관계를 이용하여 정의하는 방법이 있다. 이러한 방식을 사용하면 공집합으로부터 자연수를 정의할 수 있다. 이것은 무한 공리에서 사용하는 방법이다.

역사[편집]

공집합의 기호 는 프랑스의 수학자이며 니콜라 부르바키의 회원이었던 앙드레 베유가 문자 Ø로부터 도입하였다. 그리스 문자 를 쓴 책도 있으나, 활자 문제로 비슷한 모양을 쓴 것일 뿐 실제로는 아무 관련이 없다.

베유의 자서전에 따르면, 그의 딸이 학교에서 집합을 공부할 때 "그 기호들을 만든 사람이 아빠란다."라고 하여 딸을 놀라게 했다고 한다.

외부 링크[편집]