슈필라인 확장정리

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슈필라인 확장정리(영어: Szpilrajn extension theorem) 또는 마르체프스키 확장정리(Marczewski extension theorem)는 집합론정리로, 선택 공리의 많은 응용 사례 중 하나이다.

정의[편집]

임의의 집합 이항 관계 에 대하여, 다음 두 조건들이 성립한다고 하자.

  • (추이관계) 임의의 에 대하여, 이며 라면
  • (비반사 관계) 임의의 에 대하여,

슈필라인 확장정리에 따르면, 다음 네 조건들을 만족시키는 이항 관계 가 존재한다.

  • (추이관계) 임의의 에 대하여, 이며 라면
  • (비반사 관계) 임의의 에 대하여,
  • (확장성) 임의의 에 대하여, 라면
  • (완전 관계) 임의 에 대하여, 이거나

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예를 들어,

이라면, 는 이미 비반사 추이 완전 관계이므로, 슈필라인 확장 정리는 자명하게 성립한다.

다른 예로

라 하자. 이는 비반사 추이 관계이나, 완전 관계가 아니다. 그렇다면 슈필라인 확장 정리에 따라서 이 관계의 비반사 추이 완전 확장이 존재한다. 이러한 확장은 유일하지 않으며, 아래의 둘 다 이 조건을 만족시킨다.

역사[편집]

바르샤바 학파에 속하는 폴란드인 수학자 에드바르트 마르체프스키(Edward Marczewski, 1907년 - 1976년)가 입안하였다.[1] '슈필라인'이라는 이름이 붙은 것은 1940년까지 마르체프스키의 성이 슈필라인이었는데, 이 시기인 1930년에 정리가 출판되었기 때문이다.

참고 문헌[편집]

  1. Szpilrajn, E. (1930), "Sur l'extension de l'ordre partiel", Fundamenta Mathematicae 16: 386–389, ISSN 0016-2736