구성 가능 전체

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집합론에서, 구성 가능 전체(構成可能全體, 영어: constructible universe)는 재귀적으로 1차 논리로 정의 가능한 집합들로 구성된 모임이다. 구성 가능 전체는 체르멜로-프렝켈 집합론추이적 모형을 이루며, 그 속에는 선택 공리 · 일반화 연속체 가설 · 다이아몬드 원리와 같은 여러 명제들이 성립한다. 구성 가능성 공리(構成可能性公理, 영어: axiom of constructibility, 기호 )는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다.

정의[편집]

모임 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 1항 관계 가 추가된 언어 모형 를 생각하자. 이 모형에서 의 해석은 이며, 의 해석은 표준적이다 (즉, 추이적 모형이다).

그렇다면, 집합 -구성 가능 멱집합(-構成可能冪集合, 영어: -constructible power set) 는 유한 개의 매개 변수를 이용하여 언어의 1차 논리 술어로 정의할 수 있는 부분 집합들의 집합족이다. 즉, 이항 관계 및 1항 관계 에 대한, 개의 자유 변수를 갖는 1차 논리 술어 에 대하여, 다음과 같다.

정의 가능 멱집합 연산 은 집합을 그 멱집합부분 집합으로 대응시키며, 따라서 누적 위계를 정의한다.

추이적 집합 가 주어졌을 때, 에 의하여 정의되는 누적 위계로 표기하며, 구성 가능 위계(영어: constructible hierarchy)라고 한다. 흔히 일 경우 로 표기하며, 일 경우 흔히 로 표기한다. (일부 문헌에서는 를 대신 로 정의한다. 물론, 만약 이라면 이는 차이가 없다.) 의 원소를 구성 가능 집합(構成可能集合, 영어: constructible set)이라고 한다.

의 차이에 대하여 가나모리 아키히로는 다음과 같이 적었다.

생성 집합으로 모형을 구성하는 대수학적 아이디어를 실현하며, 술어로 간주하여 모형을 구성하는 아이디어를 실현한다.
While realizes the algebraic idea of building up a model starting from a basis of generators, realizes the idea of building up a model using construed as a predicate.
 
[1]:235

성질[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론을 가정하자.

일반적으로 다음이 성립한다.

물론, 만약 라면

이다.

항상

이다. 특히, 만약 유한 집합이라면 임의의 에 대하여

이다.

는 유한 합집합 · 유한 교집합 · 여집합에 대하여 닫혀 있어, 의 부분 불 대수를 이룬다.

구성 가능 전체[편집]

항상 다음이 성립한다.

그러나 일 필요는 없으며, 이거나 일 필요는 없다.

각 순서수 에 대하여

이다. 또한, 만약 가 유한하다면 이다.

구성 가능성 공리는 모든 집합이 구성 가능하다는 명제이다. 즉, 이라는 명제이다. 만약 구성 가능성 공리가 성립하고, 또한 순서수 에 대하여 라면,

이다. (예를 들어, 이는 도달 불가능한 기수일 경우 성립한다.)

모형 이론적 성질[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론의 표준 모형이며, 폰 노이만 전체 내부 모형이다. 특히, 에서 선택 공리가 성립하지 않아도, 선택 공리를 만족시킨다. 이는 은 정의 가능한 정렬 순서가 존재하기 때문이다. 구체적으로, 의 정렬 순서가 주어졌다면, 의 원소는 의 유한 개의 원소들 및 (사전식으로 정렬되는) 1차 논리 술어로서 명시되므로, 이로서 정렬할 수 있다. 이러한 정렬 순서가 주어졌다면, 선택 공리에서 요구되는 선택 함수는 단순히 이 정렬 순서에 대한 최솟값으로 정의할 수 있다.

또한, 에서는 다음 명제들이 성립한다.

은 다음 조건을 만족시키는, 체르멜로-프렝켈 집합론의 가장 작은 표준 모형이다.

  • 의 내부 모형이다.
  • 모든 순서수들을 포함한다.

다시 말해, 체르멜로-프렝켈 집합론 + 구성 가능성 공리로부터, 선택 공리를 비롯한 위 명제들을 증명할 수 있다. 특히, 구성 가능성 공리가 큰 기수들의 존재와 모순되기 때문에, 플라톤주의수리철학 아래 보통 구성 가능성 공리는 집합론의 공리로 가정되지 않는다. 이에 대하여 퍼넬러피 매디(영어: Penelope Maddy)는 다음과 같이 적었다.

[…] 는 어디서, 왜 이 잘못되는지에 대한 자세한 이론을 제공한다. 실버 [의 존재가 를 함의함을 증명한 수학자] 이전에도 많은 수학자들은 이라고 믿었지만, 실버 이후 이들은 왜 이들이 이러한 믿음을 가지는지 알게 되었다.

[…] yields a rich explanatory theory of exactly where and why goes wrong. Before Silver, many mathematicians believed that , but after Silver they knew why.

 
[2]:506, §IV

마찬가지로, 이에 대하여 가나모리 아키히로메나헴 마기도르는 다음과 같이 적었다.

따라서, 충분히 큰 기수가 존재한다고 가정하면, 의 균등 생성에 대한 다양한 강한 내재적 구조적 묘사가 가능하며, 이에 따라 은 매우 얇은 내적 모형임을 알 수 있다 — 헐벗은 폐허의 성가대석(聖歌隊席)들이 달라붙은 가냘픈 생명선(生命線, 즉 순서수모임)에 불과하다.

Thus, in the presence of a suitably large cardinal in the universe, many strong results about the uniform generation of L now follow from this intrinsic structural characterization, and L takes on the character of a very thin inner model indeed, bare ruined choirs appended to the slender life-giving spine which is the class of ordinals.

 
[3]:131, §7

역사[편집]

1935년 가을에 쿠르트 괴델이 구성 가능 전체 을 도입하였으며,[4]:270, §4.9:280, §4.10 이를 통하여 이 선택 공리일반화 연속체 가설체르멜로-프렝켈 집합론과 모순되지 않음을 증명하였다. 이 결과는 1938년에 출판되었다.[5][1]:234

는 1956년에 허이널 언드라스(헝가리어: Hajnal András, 1931~)가 도입하였으며,[6][7][1]:234 는 1957년에 아즈리엘 레비가 도입하였다.[8][9][1]:235

이후 1972년에 로널드 비언 젠슨(영어: Ronald Björn Jensen)이 구성 가능 전체의 미세 구조(영어: fine structure)의 이론을 젠슨 위계(영어: Jensen hierarchy)를 통해 정립하였다.[10]

참고 문헌[편집]

  1. Kanamori, Akihiro (2006). “Levy and set theory” (PDF). 《Annals of Pure and Applied Logic》 (영어) 140: 233–252. doi:10.1016/j.apal.2005.09.009. Zbl 1089.03004. 2016년 10월 20일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 7월 13일에 확인함. 
  2. Maddy, Penelope (1988년 6월). “Believing the axioms I” (PDF). 《Journal of Symbolic Logic》 (영어) 53 (2): 481–511. doi:10.2307/2274520. JSTOR 2274520. 
  3. Kanamori, Akihiro; Magidor, Menachem (1978). 〈The evolution of large cardinal axioms in set theory〉 (PDF). Müller, Gert H.; Scott, Dana S. 《Higher set theory: proceedings, Oberwolfach, Germany, April 13–23, 1977》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 669. Springer-Verlag. 99–275쪽. doi:10.1007/BFb0103104. ISBN 978-3-540-08926-1. ISSN 0075-8434. 
  4. Moore, Gregory H. (1982). 《Zermelo’s axiom of choice: its origins, development, and influence》. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences (영어) 8. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4613-9478-5. ISBN 978-0-486-48841-7. ISSN 0172-570X. 
  5. Gödel, Kurt (1938). “The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum-hypothesis”. 《Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America》 (영어). doi:10.1073/pnas.24.12.556. JFM 64.0035.01. JSTOR 87239. PMC 1077160. PMID 16577857. Zbl 0020.29701. 
  6. Hajnal, András (1956). “On a consistency theorem connected with the generalized continuum problem”. 《Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik》 (영어) 2 (8–9): 131–136. doi:10.1002/malq.19560020804. 
  7. Hajnal, András (1961). “On a consistency theorem connected with the generalized continuum problem”. 《Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae》 (영어) 12 (3): 321–376. doi:10.1007/BF02023921. ISSN 0001-5954. 
  8. Lévy, Azriel (1957). “Indépendance conditionnelle de V=L et d’axiomes qui se rattachent au système de M. Gödel”. 《Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 245: 1582–1583. 
  9. Lévy, Azriel (1960). “A generalization of Gödel’s notion of constructibility”. 《The Journal of Symbolic Logic》 (영어) 25: 147–155. 
  10. Jensen, Ronald Björn (1972년 8월). “The fine structure of the constructible hierarchy”. 《Annals of Mathematical Logic》 (영어) 4 (3): 229–308. doi:10.1016/0003-4843(72)90001-0. 

외부 링크[편집]