부분집합

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부분집합 관계를 표현한 벤 다이어그램. AB의 부분집합이다.

집합론에서 집합 B부분집합(部分集合, 영어: subset) A는, 모든 원소가 B에도 속하는 집합이다. 이런 관계를 주로 AB라 표기한다. 예를 들어 집합 {1, 2}{1, 2, 3}의 부분집합이다. 벤 다이어그램에서는 부분집합 관계를 하나가 하나를 완전히 감싼 두 원으로 나타낸다. A = B인 경우에도 A는 B의 부분집합이 되는데, 그렇지 않은 부분집합을 진부분집합(眞部分集合, 영어: proper subset)이라고 한다.

임의의 집합의 원소에 일정한 제약을 가해 그 집합의 부분집합을 만들 수 있다. 이는 ZFC분류 공리꼴에도 반영된다.

임의의 집합에 대해, 그 집합의 모든 부분집합을 모아놓은 집합, 즉 멱집합이 존재한다.

정의, 용어, 표기법[편집]

집합 A, B가 주어졌을 때, A의 모든 원소가 B의 원소인 경우, 즉

\forall x \in A : x \in B

가 성립하는 경우, 집합 AB부분집합이라고 한다. AB포함된다, 또는 BA포함한다(영어: include, contain)고도 한다. 기호로는

A \subseteq B 또는 B \supseteq A

로 나타낸다.

AB의 부분집합이지만 같지는 않은 경우, 즉 AB의 부분집합이고, A에 속하지 않는 B의 원소가 적어도 하나 존재하는 경우, AB진부분집합이라고 한다. 기호로는

A \subsetneq B 또는 B \supsetneq A

로 나타낸다.

때로는 부분집합, 진부분집합 관계를 각각 \subset, \subsetneq 기호로 나타내거나, 각각 \subseteq, \subset로 나타낸다.

드물게 AB의 부분집합이라 하는 대신 BA초집합(超集合) 또는 상위집합(上位集合, 영어: superset), AB의 진부분집합이라 하는 대신 BA진초집합 또는 진상위집합이라 표현하는 경우도 있다.

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세 집합 A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 2, 3}이 있을 때, A, B의 모든 원소는 C의 원소이므로, A, B 둘 다 C의 부분집합이다(AC, BC). 나아가 A, B 둘 다 C와 같은 집합이 아니기 때문에 C의 진부분집합이다(A, BC). 또 AB에 포함되지도, B를 포함하지도 않는다.

성질[편집]

다음에서 A,B,C는 집합, S는 전체집합이다.

  • 공집합 Ø은 모든 집합의 부분집합이다.
  • A ⊆ A
  • A ⊆ B 이고 B ⊆ A 이면, A = B이며, 또한 이다.
  • A ⊆ B 이고 B ⊆ C 이면, A ⊆ C이다.
  • A ⊆ S
  • A ⊆ (A ∪ B)
  • A ⊆ C 이고 B ⊆ C 이면, (A ∪ B) ⊆ C
  • A ∩ B ⊆ A
  • C ⊆ A 이고 C ⊆ B 이면, C ⊆ (A ∩ B)
  • 다음은 동치이다.