부분집합

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A는 B의 부분집합이다.

부분집합(部分集合)은 어떤 집합의 일부분이 되는 집합을 말한다. 즉, 어떤 집합 A의 원소가 다른 집합 B에 모두 포함될 경우 집합 A는 집합 B의 부분집합이 된다.

정의[편집]

집합 A, B가 있을 때

x ∈ A ⇒ x ∈ B

의 관계가 항상 성립하는 경우 집합 AB의 부분집합이라고 한다. 기호로는 A \subset B 또는 A \subseteq B로 나타낸다.

A = B인 경우에도 A는 B의 부분집합이 된다. AB가 같지 않은 경우, 즉 A \subset B이고 A \ne B인 경우에 AB진부분집합이라고 한다. 기호로는 A \subsetneq B로 나타낸다.

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A = {4,10}
B = {1,4,7,10,13}
이 경우 A \subset B 이다. 나아가 AB 이기 때문에, A \subsetneq B 라고 할 수 있다.

성질[편집]

다음에서 A,B,C는 집합, S는 전체집합이다.

  • 공집합 Ø은 모든 집합의 부분집합이다.
  • A ⊆ A
  • A ⊆ B 이고 B ⊆ A 이면, A = B이며, 또한 이다.
  • A ⊆ B 이고 B ⊆ C 이면, A ⊆ C이다.
  • A ⊆ S
  • A ⊆ (A ∪ B)
  • A ⊆ C 이고 B ⊆ C 이면, (A ∪ B) ⊆ C
  • A ∩ B ⊆ A
  • C ⊆ A 이고 C ⊆ B 이면, C ⊆ (A ∩ B)
  • 다음은 동치이다.

진부분집합[편집]

  • 두 집합 A, B에 대하여 A \subseteq B 이고, A \neq B 이면 AB의 진부분집합이라 한다. 바꿔 말하면, 부분집합 중 자기 자신의 원소를 적어도 하나 이상을 갖지 않는 집합을 진부분집합이라고 한다.