마틴 공리

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집합론에서, 마틴 공리(Martin公理, 영어: Martin’s axiom, 약자 )는 실수 집합의 크기보다 더 작은 집합들은 가산 집합과 유사한 성질을 갖는다는 명제다. 여기서 "유사한 성질"이란 강제법에 사용되는 원순서 집합에 대한 것으로, 이 조건을 강화시켜 고유 강제법 공리(固有強制法公理, 영어: proper forcing axiom, 약자 ) 및 마틴 최대 공리(Martin最大公理, 영어: Martin’s maximum, 약자 )를 얻을 수 있다. 적절한 큰 기수의 존재 아래, 이들은 모두 다 통상적인 집합론(체르멜로-프렝켈 집합론선택 공리)으로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다.

정의[편집]

강제법 공리(強制法公理, 영어: forcing axiom)는 다음과 같은 꼴의 명제이다.

  • 조건을 만족시키는 원순서 집합 공시작 집합들의 집합족 에 대하여, 만약 라면, -포괄적 필터 가 존재한다.

여기서 원순서 집합에 대한 술어이며, 기수이다.

주로 사용되는 강제법 공리는 다음과 같다.

이름 기호 원순서 집합 의 조건 의 크기의 상계
마틴 공리 가산 강하향 반사슬 조건
고유 강제법 공리 고유성 조건
마틴 최대 공리 에 대한 강제법정상 집합들을 보존

여기서, 모든 비가산 정칙 기수 에 대하여, 에 대한 강제법은 정상 집합들을 보존한다면, 고유성 조건(영어: properness condition)을 만족시킨다고 한다. (여기서 가산 무한 부분 집합들의 족이다.)

보다 일반적으로, 강제법 공리에 등장하는 기수 를 다른 기수로 대체할 수 있으며, 이 경우 와 같이 쓴다.

성질[편집]

함의 관계[편집]

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

마틴 최대 공리 ⇒ 고유 강제법 공리 ⇒ 마틴 공리

무모순성 성질[편집]

만약 초콤팩트 기수가 존재한다면, ZFC+마틴 최대 공리는 무모순적이다.

ZFC에서 증명 가능한 경우[편집]

선택 공리를 추가한 체르멜로-프렝켈 집합론에서는 다음 두 명제를 보일 수 있다.

또한, 임의의 원순서 집합 에 대하여, 만약 에 대한 강제법정상 집합을 보존하지 않는다면, 조건 에 대한, 미만의 공시작 집합들의 집합족에 대한 강제법 공리는 ZFC에서 거짓이다.[1] 즉, 이러한 의미에서 마틴 최대 공리는 "가장 강력한" 강제법 공리이다.

강제법 공리를 함의하는 명제[편집]

연속체 가설 는 마틴 공리 를 자명하게 함의한다.

강제법 공리와 동치인 명제[편집]

다음 명제들은 와 동치이다.

강제법 공리로부터 함의되는 명제[편집]

만약 마틴 공리가 참이라면, 다음이 성립한다.

만약 라면, 다음이 성립한다.

만약 고유 강제법 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다.

만약 마틴 최대 공리를 가정한다면, 다음이 성립한다.

  • 임의의 정칙 기수 정상 집합 에 대하여, 만약 의 모든 원소의 공종도가 가산 기수라면, 속의 정상 집합이 되는 순서수 가 존재한다.

역사[편집]

마틴 공리는 도널드 앤서니 마틴(영어: Donald Anthony Martin)과 로버트 솔로베이가 1970년에 도입하였다.[7]

고유 강제법 공리는 제임스 얼 바움가트너(영어: James Earl Baumgartner)와 사하론 셸라흐가 1970년대에 도입하였다.[8]

마틴 최대 공리는 1988년에 매슈 포먼(영어: Matthew Foreman) · 메나헴 마기도르 · 사하론 셸라흐가 도입하였다.[1] 이 논문에서 포먼·마기도르·셸라흐는 마틴 최대 공리가 (어떤 특정한 의미에서) 가장 강력한 강제법 공리임을 증명하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Foreman, Matthew; Magidor, Menachem; Shelah, Saharon (1988년 1월). “Martin’s maximum, saturated ideals, and nonregular ultrafilters. Part I”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 127 (1): 1–47. JSTOR 1971415. MR 0924672. Zbl 0645.03028. doi:10.2307/1971415. 
  2. Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 
  3. Solovay, Robert M.; Tennenbaum, Stanley (1971). “Iterated Cohen extensions and Souslin’s problem”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 94 (2): 201–245. JSTOR 1970860. doi:10.2307/1970860. 
  4. Veličković, Boban (1992년 8월). “Forcing axioms and stationary sets”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 94 (2): 256–284. ISSN 0001-8708. doi:10.1016/0001-8708(92)90038-M. 
  5. Steel, John R. (2005년 12월). “𝖯𝖥𝖠 implies 𝖠𝖣L(ℝ) (PDF). 《Journal of Symbolic Logic》 (영어) 70 (4): 1255–1296. ISSN 0022-4812. JSTOR 27588424. MR 2194247. Zbl 1103.03047. doi:10.2178/jsl/1129642125. 
  6. Viale, Matteo (2006년 6월). “The proper forcing axiom and the singular cardinal hypothesis” (PDF). 《The Journal of Symbolic Logic》 (영어) 71 (2): 473-479. ISSN 0022-4812. JSTOR 27588460. MR 2225888. Zbl 1098.03053. doi:10.2178/jsl/1146620153. 
  7. Martin, Donald A.; Solovay, Robert M. (1970). “Internal Cohen extensions”. 《Annals of Mathematical Logic》 (영어) 2 (2): 143–178. MR 0270904. doi:10.1016/0003-4843(70)90009-4. 
  8. Baumgartner, James Earl (1984). 〈Applications of the proper forcing axiom〉. Kunen, Kenneth; Vaughn, Jerry E. 《Handbook of set-theoretic topology》 (영어). North-Holland. 913–959쪽. ISBN 978-0-444-86580-9. doi:10.1016/B978-0-444-86580-9.50024-0. 

외부 링크[편집]