상수 함수

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수학에서, 상수 함수(常數函數, 영어: constant function)는 정의역의 값에 관계없이 항상 같은 값을 갖는 함수를 말한다. 예를 들어, f(x) = 3는 x의 값이 무엇이든 항상 3이라는 값을 갖는다.

정의[편집]

정의역 X공역 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 f상수 함수라고 한다.

  • 임의의 x,x'\in X에 대하여 f(x)=f(x')이다.
  • 임의의 x\in X에 대하여 f(x)=y가 되는 y\in Y가 존재하며, yx에 의존하지 않는다.
  • X공집합이거나, 또는 임의의 x\in X에 대하여 f(x)=y가 되는, x에 의존하지 않는 y\in Y가 유일하게 존재한다.
  • X비이산 위상을 부여하고, Y이산 위상을 부여하였을 때, f연속 함수이다.

정의역 X공역 Y 사이의 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하고, 정의역 X위상 공간의 구조가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수 f국소 상수 함수(局所常數函數, 영어: locally constant function)라고 한다.

상수 사상[편집]

범주 \mathcal C에서, 사상 f\colon X\to Y가 다음 조건을 만족시키면 쌍대 상수 사상(영어: coconstant morphism)이라고 한다.

  • 임의의 대상 W\in\mathcal C 및 사상 g,h\colon X\to W에 대하여, g\circ f=h\circ f. 즉, 다음 그림이 가환한다.
    \begin{matrix}
W&\xleftarrow h&X\\
{\scriptstyle g}\uparrow&&\uparrow\scriptstyle f\\
X&\xleftarrow[f]{}&Y
\end{matrix}

상수 사상이자 쌍대 상수 사상인 사상을 영 사상(영어: zero morphism)이라고 한다.

범주 \mathcal C 속의 임의의 대상 X,Y\in\mathcal C에 대하여 다음 그림을 가환하게 만드는 사상 0_{XY}\colon X\to Y가 존재한다면, \mathcal C영 사상을 갖는 범주(영어: category with zero morphisms)라고 한다.

  • 임의의 대상 X,Y,Z\in\mathcal C 및 사상 X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ에 대하여,
    \begin{matrix}
X&\xrightarrow{0_{XY}}&Y\\
{\scriptstyle g}\downarrow &\searrow\scriptstyle 0_{XZ}&\downarrow\scriptstyle f\\
Y&\xrightarrow[0_{YZ}]{}&Z
\end{matrix}

이 경우, 0_{XY}들은 항상 영 사상을 이루며, 또한 주어진 범주가 영 대상을 갖는 범주라면 그 위의 0_{XY}들의 집합은 유일하다. 영 사상을 갖는 범주의 개념은 점을 가진 집합의 (분쇄곱을 통한) 모노이드 범주 위의 풍성한 범주의 개념과 일치하며, 두 대상 사이의 영 사상은 점을 가진 사상 집합의 점과 같다.

성질[편집]

매끄러운 다양체 M, N 사이의 매끄러운 함수 f\colon M\to\mathbb R는 미분을 취할 수 있다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • f도함수 Df는 어디서나 0이다.
  • f는 상수 함수이다.

상수 함수는 (정의역에 주어진 위상에 상관없이) 국소 상수 함수이다. 또한, 함수 f\colon X\to Y에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • X는 상수 함수이다.
  • X비이산 위상을 부여하였을 때, X는 국소 상수 함수이다.
  • X에 임의의 위상을 부여하였을 때, X는 국소 상수 함수이다.

즉, 국소 상수 함수의 개념은 상수 함수의 개념의 일반화이다.

위상 공간 X 위의 국소 상수 함수 f\colon X\to Y가 주어졌다고 하자. 그렇다면, X의 모든 연결 성분 X_0에 대하여, f|_{X_0}는 상수 함수이다. 만약 X국소 연결 공간이라면 연결 성분이 열린집합을 이루며, 따라서 임의의 함수 f\colon X\to Y에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • f는 국소 상수 함수이다.
  • X의 임의의 연결 성분 X_0\subset X에 대하여, f|_{X_0}는 상수 함수이다.

국소 상수 함수의 층[편집]

위상 공간 X 위에, 실수 값의 상수 함수들의 준층을 정의할 수 있다. 그러나 이는 일반적으로 층이 아니며, 그 층화는 실수 값의 국소 상수 함수들의 이다.

상수 사상의 존재[편집]

끝 대상 1을 갖는 범주에서, 상수 사상은 X\to1\to Y의 꼴의 사상들이다. 시작 대상 0을 갖는 범주에서, 쌍대 상수 사상은 X\to0\to Y의 꼴의 사상들이다.

영 대상을 갖는 범주는 영 사상을 갖는 범주를 이룬다. 이 경우, 두 대상 X,Y 사이의 사상은 영 대상을 통하는 유일한 사상

X\to 0\to Y

이다.

[편집]

정의역이 이산 공간인 모든 함수는 국소 상수 함수이다.

공역한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다. 정의역한원소 집합이거나 공집합인 모든 함수는 상수 함수이다.

상수 사상의 예[편집]

집합의 범주에서, 상수 사상은 상수 함수이다. 집합의 범주에서 쌍대 상수 사상은 공집합정의역으로 하는 함수이다.

의 범주에서, 상수 사상 · 쌍대 상수 사상 · 영 사상의 개념이 일치하며, 이는 이 항등원 1인 상수 함수이다.

R 위의 왼쪽 가군들의 범주 R\text{-Mod}영 대상을 갖는 범주이며 따라서 영 사상을 갖는다. R\text{-Mod}에서 영 사상은 0(가군 덧셈의 항등원)으로 가는 상수 함수이다. 가군 범주에서 상수 함수인 준동형은 영 사상밖에 없다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]