위상 공간 (수학)

일반위상수학에서 위상 공간(位相空間, 영어: topological space)은 어떤 점의 "근처"가 무엇인지에 대한 정보를 담고 있지만, 점 사이의 거리나 넓이·부피 따위의 정보를 포함하지 않는 공간이다. 이를 사용하여, 함수의 연속성이나 수열의 극한, 집합의 연결성 등을 정의할 수 있다.

위상 공간의 개념은 위상수학 및 이를 기초로 하는 기하학 · 해석학에서 핵심적으로 사용된다. 위상 공간의 일반적인 성질을 연구하는 분야를 일반위상수학이라고 한다.

정의[편집]

집합 $X$ 위의 위상(位相, 영어: topology)은 다음과 같이 다양하게 정의할 수 있다.

(열린집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합들의 모임 ${\mathcal {T}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ${\mathcal T}\subseteq {\mathcal P}(X)$ . 이 경우, ${\mathcal {T}}$ $\mathcal T$ 의 원소들을 열린집합이라고 한다.
- $\varnothing ,X\in {\mathcal {T}}$
- 만약 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {T}}$ 라면, $\bigcup {\mathcal {S}}\in {\mathcal {T}}$
- 만약 $U,V\in {\mathcal {T}}$ 라면, $U\cap V\in {\mathcal {T}}$
(닫힌집합을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 부분 집합들의 모임 ${\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)$ ${\mathcal C}\subseteq {\mathcal P}(X)$ . 이 경우, ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}$ 의 원소들을 닫힌집합이라고 한다.
- $\varnothing ,X\in {\mathcal {C}}$
- 만약 ${\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}$ 라면, $\bigcap {\mathcal {S}}\in {\mathcal {C}}$
- 만약 $C,D\in {\mathcal {C}}$ 라면, $C\cup D\in {\mathcal {C}}$
(근방을 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\mathcal {N}}\colon X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(X))$ ${\mathcal N}\colon X\to {\mathcal P}({\mathcal P}(X))$ . 이 경우 ${\mathcal {N}}\colon x\mapsto {\mathcal {N}}_{x}$ ${\mathcal N}\colon x\mapsto {\mathcal N}_{x}$ 로 쓰고, ${\mathcal {N}}_{x}$ ${\mathcal N}_{x}$ 의 원소를 $x$ $x$ 의 근방이라고 한다.
- 모든 $x\in X$ 에 대하여, $X\in {\mathcal {N}}_{x}$
- 모든 $x\in X$ 에 대하여, 만약 $N\in {\mathcal {N}}_{x}$ 라면 $x\in N$
- 만약 $N\in {\mathcal {N}}_{x}$ 이며 $N\subseteq S\subseteq X$ 라면, $S\in {\mathcal {N}}_{x}$
- 만약 $M,N\in {\mathcal {N}}_{x}$ 라면 $M\cap N\in {\mathcal {N}}_{x}$
- 만약 $N\in {\mathcal {N}}_{x}$ 라면, $N\in {\mathcal {N}}_{y}\qquad \forall y\in M$ 인 $M\in {\mathcal {N}}_{x}$ 가 존재한다.
(폐포를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 $\operatorname {cl} \colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ $\operatorname {cl}\colon {\mathcal P}(X)\to {\mathcal P}(X)$ . 이 경우, $\operatorname {cl} S$ $\operatorname {cl}S$ 를 $S$ $S$ 의 폐포라고 한다.
- $\operatorname {cl} \varnothing =\varnothing$
- 모든 $A\subseteq X$ 에 대하여, $A\subseteq \operatorname {cl} A$
- 모든 $A,B\subseteq X$ 에 대하여, $\operatorname {cl} (A\cup B)=\operatorname {cl} (A)\cup \operatorname {cl} (B)$
- 모든 $A\subseteq X$ 에 대하여, $\operatorname {cl} (\operatorname {cl} A)=\operatorname {cl} A$
(내부를 사용한 정의) 다음 조건을 만족시키는 함수 $\operatorname {int} \colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)$ $\operatorname {int}\colon {\mathcal P}(X)\to {\mathcal P}(X)$ . 이 경우, $\operatorname {int} S$ $\operatorname {int}S$ 를 $S$ $S$ 의 내부라고 한다.
- $\operatorname {int} X=X$
- 모든 $A\subseteq X$ 에 대하여, $A\supseteq \operatorname {int} A$
- 모든 $A,B\subseteq X$ 에 대하여, $\operatorname {int} (A\cap B)=\operatorname {int} (A)\cap \operatorname {int} (B)$
- 모든 $A\subseteq X$ 에 대하여, $\operatorname {int} (\operatorname {int} A)=\operatorname {int} A$

이 정의들은 서로 동치이다.

열린집합을 사용한 정의에서,
- 닫힌집합은 열린집합의 여집합이다.
- $x$ 의 근방의 모임은 ${\mathcal {N}}_{x}=\{S\subset X\colon \exists U\in {\mathcal {T}}\colon x\in U\subseteq S\}$ 이다.
- 집합 $S$ 의 폐포는 $\operatorname {cl} S=\bigcap \{X\setminus U\colon U\in {\mathcal {T}},\;U\cap S=\varnothing \}$ 이다.
- 집합 $S$ 의 내부는 $\operatorname {int} S=\bigcup \{U\in {\mathcal {T}}\colon U\subseteq S\}$ 이다.
닫힌집합을 사용한 정의에서, 열린집합은 닫힌집합의 여집합이다.
근방을 사용한 정의에서, 열린집합은 $\forall x\in U\colon U\in {\mathcal {N}}_{x}$ 인 집합 $U$ 이다.
폐포를 사용한 정의에서, 열린집합은 $\operatorname {cl} (X\setminus U)=X\setminus U$ 인 집합 $U$ 이다.
내부를 사용한 정의에서, 열린집합은 $\operatorname {int} (U)=U$ 인 집합 $U$ 이다.

즉, 근방 · 열린집합 · 닫힌집합 · 폐포 · 내부 가운데 하나를 기본 무정의 개념으로 삼고, 이로부터 나머지 개념들을 정의할 수 있다.

위상 공간 $(X,{\mathcal {T}})$ 은 위상을 갖춘 집합이다.

위상의 비교[편집]

같은 집합 $X$ 위의 두 위상 ${\mathcal {T}}_{1}$ , ${\mathcal {T}}_{2}$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이며, 만약 이 조건이 성립한다면 ${\mathcal {T}}_{1}$ 이 ${\mathcal {T}}_{2}$ 보다 더 섬세하다(-纖細-, 영어: finer)고 하며, 반대로 ${\mathcal {T}}_{2}$ 가 ${\mathcal {T}}_{1}$ 보다 더 거칠다(영어: coarser)고 한다.

${\mathcal {T}}_{2}\subseteq {\mathcal {T}}_{1}$ . 즉, 모든 ${\mathcal {T}}_{2}$ -열린 집합은 ${\mathcal {T}}_{1}$ -열린 집합이다.
모든 ${\mathcal {T}}_{2}$ -닫힌집합은 ${\mathcal {T}}_{1}$ -닫힌집합이다.
${\mathcal {T}}_{1}$ 의 기저 ${\mathcal {B}}_{1}$ 및 ${\mathcal {T}}_{2}$ 의 기저 ${\mathcal {B}}_{2}$ 가 주어졌을 때, 모든 $x\in X$ 및 $x\in B_{2}\in {\mathcal {B}}_{2}$ 에 대하여, $x\in B_{1}\subseteq B_{2}$ 인 $B_{1}\in {\mathcal {B}}_{1}$ 이 존재한다.

성질[편집]

격자론적 성질[편집]

주어진 위상 공간 $(X,{\mathcal {T}})$ 의 열린집합들은 완비 헤이팅 대수를 이룬다. 즉, 위상 공간은 직관 논리의 모형으로 여길 수 있다. 또한, 위상 공간은 양상 논리 S4의 모형으로 여길 수 있다. 이 경우 양상 기호 $\Box$ (필연 기호)는 집합의 내부에, 양상 기호 $\Diamond$ (개연 기호)는 집합의 폐포에 대응한다.

주어진 집합 $X$ 위의 위상들은 섬세성 관계에 따라서 완비 유계 격자를 이룬다. 이 격자의 최대 원소(즉, 가장 섬세한 위상)는 이산 위상이며, 최소 원소(즉, 가장 거친 위상)는 비이산 위상이다.

주어진 집합 $X$ 위의 위상들의 족 $\{{\mathcal {T}}_{i}\}_{i\in I}$ 의 하한(만남)은

\bigwedge _{i}{\mathcal {T}}_{i}=\bigcap _{i}{\mathcal {T}}_{i}

이다. 주어진 집합 $X$ 위의 위상들의 족 $\{{\mathcal {T}}_{i}\}_{i\in I}$ 의 상한(이음)은 $\bigcup _{i\in I}{\mathcal {T}}_{i}$ 를 기저로 하는 위상이다.

범주론적 성질[편집]

위상 공간과 연속 함수들은 범주를 이루며, 이 범주를 $\operatorname {Top}$ 이라고 한다. 이 경우, 망각 함자

F\colon \operatorname {Top} \to \operatorname {Set}

F\colon (X,{\mathcal {T}})\mapsto X

를 통해, $\operatorname {Top}$ 은 구체적 범주를 이룬다. 이 망각 함자는 좌 · 우 수반 함자를 갖는다.

D\dashv F\dashv I

여기서

D\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top}

D\colon X\mapsto (X,{\mathcal {P}}(X))

은 집합을 이산 공간으로 대응시키고,

I\colon \operatorname {Set} \to \operatorname {Top}

I\colon X\mapsto (X,\{\varnothing ,X\})

는 집합을 비이산 공간으로 대응시킨다.

$\operatorname {Top}$ 은 완비 범주이며 쌍대 완비 범주이다. 즉, 모든 작은 (= 고유 모임 크기가 아닌) 극한과 쌍대극한이 존재한다. 시작 대상은 (유일한 위상을 갖춘) 공집합 $(\varnothing ,\{\varnothing \})$ 이며, 끝 대상은 한원소 공간 $(\{\bullet \},\{\varnothing ,\{\bullet \}\})$ 이다.

예[편집]

집합 {1,2,3} 위의 집합족들 가운데, 처음 네 개는 위상이지만, 붉은색 가위표가 그려진 마지막 두 개는 위상이 아니다.

유한 집합 위의 위상의 경우, 열린집합들을 그대로 나열할 수 있다. 예들 들어, 집합 X = {1,2,3} 위에서, 다음은 위상을 이룬다.

$\{\varnothing ,\{1,2,3\}\}$ (비이산 위상)
$\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1\}\}$
$\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1,2\},\{1\},\{2\}\}$
$\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\},\{2\}\}$

그러나 다음은 위상을 이루지 않는다.

$\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{2\},\{3\}\}$ 은 {2}와 {3}의 합집합인 {2,3}이 없으므로 위상이 아니다.
$\{\varnothing ,\{1,2,3\},\{1,2\},\{2,3\}\}$ 은 {1, 2}와 {2, 3}의 교집합인 {2}가 없으므로 위상이 아니다.

좀 더 복잡한 위상 공간의 경우, 다양한 구조로서 위상들을 정의할 수 있다.

전순서가 주어졌을 때, 이를 사용하여 순서 위상을 정의할 수 있다. 실수의 집합의 표준적인 위상은 그 표준적 전순서에 대한 순서 위상이다.
거리 함수가 주어졌을 때, 이를 사용하여 거리 위상을 정의할 수 있다. 실수의 집합이나 복소수의 집합 위에, 두 수의 차의 절댓값은 거리 함수이며, 이에 대한 거리 위상은 실수 · 복소수 집합의 표준 위상이다.
어떤 집합을 곱집합 $\textstyle \prod _{i}S_{i}$ 로 나타내었을 때, 각 $S_{i}$ 에 위상을 정의하면 곱집합 전체에 곱위상이라는 위상을 줄 수 있다.
동치관계가 주어져있을 때, 이에 대한 몫집합에 몫위상을 정의할 수 있다. 이는 기하적으로 서로 다른 점을 같게하여 붙인다라는 개념을 줄 수 있다.
어떤 집합 위에, 열린집합으로 삼고 싶은 집합족 ${\mathcal {S}}$ 가 존재한다면, 이들을 포함하는 가장 거친 위상을 줄 수 있다. 이러한 집합족을 부분 기저라고 한다.
어떤 집합 $S$ 를 다른 집합의 부분 집합 $\iota \colon S\hookrightarrow T$ 으로 나타내었을 때, $T$ 에 위상이 존재한다면 이로부터 $S$ 위에 부분공간 위상을 정의할 수 있다.
아무런 구조 없는 집합 $S$ $S$ 위에도 여러 위상을 줄 수 있다.
- 모든 집합을 열린집합으로 하는 이산 위상
- 공집합과 집합 전체 밖에 열린집합이 없는 비이산 위상
- 쌍대 유한 집합 및 공집합이 열린집합인 쌍대 유한 위상(영어: cofinite topology)
- 보다 일반적으로, 임의의 무한 기수 $\kappa$ 에 대하여, $|S\setminus U|<\kappa$ 인 집합 $U$ 및 공집합이 열린집합인 위상

역사[편집]

1910년대 이전까지는 위상 공간의 개념이 따로 존재하지 않았고, 열린집합은 거리 공간에 대해서만 정의되었다. 1908년에 리스 프리제시는 거리 함수를 사용하지 않고, 수열의 극한을 사용하여 위상 공간의 개념을 공리화하였고,^[1] 1914년에 펠릭스 하우스도르프는 근방의 개념을 사용하여 이를 재정의하였다.^[2] 하우스도르프의 정의에는 오늘날 하우스도르프 공간의 정의에 들어가는 조건이 추가되었는데, 이는 이후 정의에서 제거되었다.

참고 문헌[편집]

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위상 공간

↑ Riesz, F. (1909). 〈Stetigkeitsbegriff und abstrakt Mengenlehre〉. 《Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6–11 Aprile 1908)》 (독일어). Accademia Nazionale dei Lincei.
↑ Hausdorff, F. (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre》 (독일어). 라이프치히: von Veit. JFM 45.0123.01. Zbl 1175.01034.

박대희; 안승호 (2013). 《위상수학》 3판. 경문사. ISBN 978-89-6105-668-7. 2014년 11월 29일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2015년 1월 25일에 확인함. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)
Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
Steen, Lynn Arthur; J. Arthur Seebach, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

같이 보기[편집]

외부 링크[편집]

“Topological space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Topological structure (topology)”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Topological space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Topological space”. 《nLab》 (영어).
“Top”. 《nLab》 (영어).
“Topological space”. 《Topospaces》 (영어).

[1] Riesz, F. (1909). 〈Stetigkeitsbegriff und abstrakt Mengenlehre〉. 《Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6–11 Aprile 1908)》 (독일어). Accademia Nazionale dei Lincei.

[2] Hausdorff, F. (1914). 《Grundzüge der Mengenlehre》 (독일어). 라이프치히: von Veit. JFM 45.0123.01. Zbl 1175.01034.

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