그로텐디크 위상

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대수기하학범주론에서, 그로텐디크 위상(Grothendieck位相, 영어: Grothendieck topology)은 열린 덮개의 개념을 공리적으로 추상화한 개념이다. 이를 사용하여 위상 공간의 개념을 위치(位置, 영어: site)로 일반화할 수 있으며, 이 위에 에탈 코호몰로지·평탄 코호몰로지(영어: flat cohomology결정 코호몰로지(영어: crystalline cohomology)와 같은 코호몰로지 이론을 정의할 수 있다. 또한, 존 테이트강체 해석 기하학(rigid analytic geometry)에서도 응용된다.

정의[편집]

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범주 \mathcal C에서, 대상 U\in\mathcal C 위의 (영어: sieve)는 요네다 매장 \hom(-,U)부분함자이다. 즉, 다음 성질을 만족시키는 함자 S\colon\mathcal C^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Set}이다.

  • 모든 V\in\mathcal C에 대하여, S(V)\subset\hom(V,U)
  • 모든 f\in\hom_{\mathcal C}(V,W)에 대하여, S(f)\colon S(W)\to S(V)\subset\hom(V,U)g\mapsto g\circ f

여기서 "체"라는 용어는 체 S\mathcal C의 대상들 가운데, S(V)\ne\varnothing인 대상 V들을 고르기 때문이다.

대상 U\in\mathcal C 위의 체 S 및 사상 f\colon V\to U이 주어졌을 때, S당김(영어: pullback) f^*S은 다음과 같은, V 위의 체이다.

f^*S(W)=\{g\in\hom(W,V)|f\circ g\in S(W)\}

위상과 위치[편집]

범주 \mathcal C 위의 그로텐디크 위상(영어: Grothendieck topology)은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

  • 각 대상 U\in\mathcal C에 대하여, U에 대한 체들의 모임 \mathfrak J(U). 이를 U덮개체(영어: covering sieve)의 모임이라고 한다.

이들은 다음과 같은 공리들을 따라야 한다. 임의의 U\in\mathcal C에 대하여,

  • (덮개체의 올곱) 모든 S\in\mathfrak  J(U) 및 사상 f\colon V\to U에 대하여, f^*S\in\mathfrak  J(V)이다.
  • (덮개체의 합성) 덮개체 S\in\mathfrak  J(U) 및 임의의 U에 대한 체 T가 주어졌다고 하자. 모든 V\in\mathcal C 및 모든 f\in S(V)\cap\hom(V,U)에 대하여 f^*T\in\mathfrak  J(V)라고 하자. 그렇다면 T\in\mathfrak J(U)이다.
  • (자명한 덮개체) \hom(-,U)\in\mathfrak J(U).

그로텐디크 위상을 갖춘 범주를 위치(영어: site)라고 한다.

준위상[편집]

범주 \mathcal C 위의 그로텐디크 준위상(Grothendieck準位相, 영어: Grothendieck pretopology)은 다음과 같은 데이터로 정의된다.

  • 각 대상 U\in\mathcal C에 대하여, U로 향하는 사상들의 집합들의 모임 \mathfrak D(U). \mathfrak D(U)의 원소를 U덮개라고 한다.

이 데이터 또한 일련의 공리들을 만족시켜야 한다.

  • (올곱의 존재) 모든 U\in\mathcal C 및 덮개 \mathcal D\in\mathfrak D(U)i\colon(V\to U)\in D 및 임의의 사상 j\colon W\to X에 대하여, 올곱 V\times_XW가 존재한다.
  • (덮개의 올곱) 모든 U,V\in\mathcal C 및 사상 f\colon V\to U 및 덮개 \{f_i\colon U_i\to U\}_{i\in I}\in\mathfrak D(U)에 대하여, \{f_i\times_U V\colon U_i\times_UV\to V\}\in\mathfrak D(U)이다.
  • (덮개의 합성) 임의의 대상 U\in\mathcal C 및 덮개 \{f_i\colon U_i\to U\}_{i\in I} \in\mathfrak D(U) 및 덮개 \{f_{i,j}\colon U_{i,j}\to U_i\}_{j\in J_i}\in\mathfrak D(U_i)에 대하여, \{f_i\circ f_{i,j}\}_{i\in I,j\in J_i}\in\mathfrak D(U)
  • (자명한 덮개) 임의의 대상 U,V\in\mathcal C동형 사상 i\colon U\to V에 대하여, \{i\}\in\mathfrak D(V)

범주 \mathcal C 위의 그로텐디크 준위상 D가 주어졌다면, 이에 대응하는 그로텐디크 위상 J_D를 정의할 수 있다. J_D에서, U\in\mathcal C의 덮개체들은 적어도 하나의 덮개를 포함하는 체들이다.

S\in J_D(U)\iff\exists d\in D(U)\colon S(U)\supset d\ne\varnothing

그로텐디크 준위상은 체를 사용한 그로텐디크 위상의 정의보다 더 직관적이지만, 특정 올곱의 존재를 가정하므로 덜 일반적이다.

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이산 위상과 비이산 위상[편집]

범주 \mathcal C 위의 이산 위상(영어: discrete topology)은 모든 체가 덮개체를 이루는 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 (같은 공역을 갖는) 임의의 사상들의 모임이 덮개를 이루는 것과 같다. 이는 집합 위의 이산 위상의 일반화이다.

범주 \mathcal C 위의 비이산 위상(영어: indiscrete topology)은 덮개체가 \mathfrak J(U)=\{\hom(-,U)\}인 위상이다. 그로텐디크 준위상을 사용한다면, 이는 덮개가 \mathfrak D(U)=\{\operatorname{id}_U\}인 것과 같다. 이는 집합 위의 비이산 위상의 일반화이다. 비이산 위상을 부여한 위치 위에서, 모든 준층을 이룬다.

위상 공간의 작은 위치[편집]

위상 공간 X열린 집합들의 범주 \operatorname{Open}(X)를 생각하자. 이 경우, 대상은 열린 집합들이고, 사상은 포함 관계 \iota_{UV}\colon U\hookrightarrow V들이다. 즉, 임의의 U,V\in\operatorname{Open}(X)에 대하여, \hom(U,V)는 공집합이거나 아니면 \iota_{UV}\colon U\hookrightarrow V 하나의 원소만을 포함한다.

열린집합 범주에서의 체[편집]

\operatorname{Open}(X)에서, 열린집합 U\in\operatorname{Open}(X) 위의 체는 다음 조건을 만족시키는 열린집합들의 집합 \mathcal S\subset\operatorname{Open}(X)으로 주어진다.

  • (상계) 모든 V\in\mathcal S에 대하여, V\subseteq U
  • (하향 닫힘) 모든 V,W\in\operatorname{Open}(X)에 대하여, 만약 V\subseteq W이며 W\in\mathcal S라면 V\in\mathcal S

구체적으로, 요네다 함자의 부분 함자 구문 분석 실패 (PNG 변환 실패; latex 및 dvipng(또는 dvips + gs + convert)가 올바르게 설치되어 있는지 확인해주세요): S\colon\operatorname{Open}(X)^{\operatorname{op}}\to\operatorname\operatorname{Set} 가 주어진다면,

\mathcal S=\{V\in\operatorname{Open}(X)\colon S(V)\ne\varnothing\}

이다. 즉, 열린집합의 범주에서 U 위의 체는 하향으로 닫힌 U의 부분 집합들의 모임과 같다.

V\subset U이며, U 위의 체 \mathcal S가 주어졌다고 하자. 포함 관계 \iota\colon V\hookrightarrow U에 따른 체의 당김 \iota^*\mathcal S는 다음과 같은 체이다.

\iota^*\mathcal S=\{W\in\mathcal S\colon W\subseteq V\}

열린집합 범주에서의 그로텐디크 준위상[편집]

\operatorname{Open}(X)에서 그로텐디크 준위상의 공리들을 번역하면 다음과 같다.

  • (올곱의 존재) \operatorname{Open}(X)에서는 모든 올곱이 존재하며, 열린집합의 교집합과 같다. 즉, V,W\subseteq U일 때, V\times_UW=V\cap W이다.
  • (덮개의 올곱) \{U_i\}_{i\in I}가 열린집합 U의 덮개이고, V\subseteq U라면, \{U_i\cap V\}_{i\in I}V의 덮개이다.
  • (덮개의 합성) 열린집합 U의 덮개 \{U_i\}_{i\in I} 및 각 i\in I에 대하여 U_i의 덮개 \{U_{i,j}\}_{j\in J_i}가 주어졌을 때, \{U_{i,j}\}_{i\in I,j\in J_i}U의 덮개이다.
  • (자명한 덮개) \{U\}U의 덮개이다.

즉, 이는 일반적인 열린 덮개의 성질을 공리화한 것이다.

열린집합 범주에서의 그로텐디크 위상[편집]

\operatorname{Open}(X)에서 그로텐디크 위상의 공리들을 번역하면 다음과 같다.

  • (덮개체의 올곱) V\subseteq U이며, U의 덮개체 \{U_i\}_{i\in I}가 주어졌다면, \{U_i\cap V\}_{i\in I}V의 덮개체이다.
  • (덮개체의 합성) U의 덮개체 \{U_i\}_{i\in I}U 위의 임의의 체 \{T_j\}_{j\in J}가 주어졌다고 하자. 임의의 i\in I에 대하여 \{T_j\cap U_i\}_{j\in J}U_i의 덮개체를 이룬다고 하자. 그렇다면 \{T_j\}_{j\in J}U의 덮개체이다.
  • (자명한 덮개체) \{V\colon V\subseteq U\}U의 덮개체이다.

\operatorname{Open}(X) 위에, 덮개체들을 열린 덮개의 하향 폐포들로 고른다면, 이는 위치를 이룬다. 이 위치를 X작은 위치(영어: small site)라고 한다. 이 위치는 그로텐디크 준위상으로도 정의할 수 있으며, 이 경우 덮개들은 열린 덮개와 같다.

위상 공간의 큰 위치[편집]

위상 공간연속 함수들의 범주 \operatorname{Top}를 생각하자. 이 위에 다음과 같은 그로텐디크 위상이 존재한다. 위상 공간 X\in\operatorname{Top}의 덮개 \Phi=\{\phi\colon\operatorname{dom}\phi\to X\}_{\phi\in\Phi}는 다음 조건을 만족시키는 연속 함수들의 집합이다.

\bigcup_{\phi\in\Phi}\phi(\operatorname{dom}\phi)=X

위상 공간 X\in\operatorname{Top}가 주어졌을 때, \operatorname{Top}/XX로 가는 사상(연속 함수)들을 대상으로 하는 범주이다. 이 경우, \operatorname{Top}/X의 두 대상 (연속 함수)

\phi_1\colon Y_1\to X
\phi_2\colon Y_2\to X

사이의 사상은 다음 성질을 만족시키는 연속 함수 \chi\colon Y_1\to Y_2이다.

\phi_1=\phi_2\circ\chi

이 경우, \operatorname{Top}/X\operatorname{Top}로부터 그로텐디크 위상을 물려받는다. 이 그로텐디크 위상을 갖춘 \operatorname{Top}/XX큰 위치(영어: big site)라고 한다.

스킴의 범주의 그로텐디크 위상[편집]

스킴들의 범주 \operatorname{Sch} 위에는 다양한 그로텐디크 위상들이 존재한다.

역사[편집]

프랑스의 수학자 앙드레 베유는 20세기 중반에 유명한 베유 추측(Weil conjecture)을 제안했다. 베유 추측에 따르면, 정수 계수를 가지는 대수 방정식들의 해들의 집합의 성질들은 해들의 집합의 대수 다양체의 기하학적 성질에 의해서 결정된다. 구체적으로, 대수다양체 각각에 대응하는 어떤 좋은 성질을 가지는 코호몰로지 이론이 존재하며, 이 코호몰로지 군들은 수론적인 정보들을 담고 있다. 이러한 코호몰로지 이론을 베유 코호몰로지(Weil cohomology) 이론이라고 부른다. 베유 자신은 베유 추측을 제안하였지만 베유 코호몰로지를 구체적으로 정의하지 못하였다.

1960년대 초반에 알렉산더 그로텐디크는 베유 코호몰로지의 최초의 예인 에탈 코호몰로지를 정의하였다. 그로텐디크는 우선 해석기하학국소 해석동형사상에 대응하는 대수기하학적 개념인 에탈 사상을 정의하였고, 이를 사용하여 에탈 덮개대수적 위상수학기본군에 대응하는 에탈 기본군을 정의하였다. 장피에르 세르는 그로텐디크의 업적을 사용하여, 이를 잘 이용하면 코호몰로지 함자 H1을 대수적으로 잘 정의할 수 있다는 것을 발견하였다. 그로텐디크는 이렇게 정의된 코호몰로지 이론을 에탈 코호몰로지로 명명하였으며, 이것이 베유 코호몰로지 이론이라고 추측하였다. (이 추측은 차후 피에르 들리뉴에 의해서 참임이 증명되었고, 이 공로로 들리뉴는 필즈상을 수상하였다.) 에탈 코호몰로지를 정의하기 위해서, 그로텐디크는 우선, 위상 수학적인 열린 덮개의 개념을 좀 더 일반화하여 에탈 덮개의 개념이 별 탈 없이 잘 정의될 수 있도록 했고, 또 한편, 이러한 일반화 과정을 거치면서 에탈 덮개뿐만이 아니라 훨씬 더 일반적인 관점의 덮개의 개념을 도입할 수 있다는 것도 관찰하였다. 이것이 바로 그로텐디크 위상을 일반적으로 정의하게 되는 시초가 되었다.

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]