작은 범주

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범주론에서, 작은 범주(-範疇, 영어: small category)는 그 대상의 모임과 사상의 모임이 충분히 “작은” 범주를 말한다. 그 정확한 의미는 사용하는 수학 기초론에 따라 달라지는데, 예를 들어 그로텐디크 전체를 사용할 경우 대상과 사상의 집합이 사용되는 그로텐디크 전체의 원소이어야 한다.[1]:21–26, §Ⅰ.6–7[2][3]

정의[편집]

범주들의 모임을 다루려면, 원하는 수학 기초론을 선택해야 한다. 여기서는 편의상 그로텐디크 전체를 사용하자.

그로텐디크 전체 가 주어졌다고 하자. -작은 범주 는 다음 조건을 만족시키는 범주이다.[1]:22, §Ⅰ.6[2]:12, Definition 1.2.1[3]:§6[4]:196

  • 의 대상들은 집합 을 이루며, 이는 의 원소이다.
  • 의 사상들은 집합 을 이루며, 이는 의 원소이다.

-작은 범주들과, 그 사이의 함자들과, 그 사이의 자연 변환들은 2-범주를 이룬다. 이를 라고 표기하자.

국소적으로 작은 범주[편집]

임의의 범주 가 다음 조건을 만족시킨다면, -국소적으로 작은 범주(-局所的으로 작은範疇, 영어: locally -small category)라고 한다.[4]:197

  • 임의의 두 대상 에 대하여, 이다.

연산[편집]

-완비 범주이자 -쌍대 완비 범주이다. 즉, 임의의 -작은 범주 함자

에 대하여, 극한쌍대극한을 갖는다. 특히,

  • 시작 대상인 유일한 범주 이다.
  • 끝 대상 (한원소 집합)이며, 인 유일한 범주 이다. (이를 준군으로 간주하면, 이는 자명군에 해당한다.)

-국소적으로 작은 데카르트 닫힌 범주이며, 이 경우 지수 대상 은 (두 -작은 범주 사이의) 함자자연 변환의 범주 이다. 다시 말해, 두 -작은 범주 사이의 함자 범주는 -작은 범주이다.[4]:196

성질[편집]

-국소적으로 작은 범주 가 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

  • 임의의 기수 와 임의의 대상 에 대하여, 이 존재한다.

그렇다면 원순서 집합이다. [3]:Theorem 2.1즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 1개 이하이다.

증명:

임의의 두 대상 이 주어졌다고 하자. 이제,

임을 보이면 족하다.

사상 집합

크기는 (각 성분마다 의 한 원소를 고를 수 있으므로) 다음과 같다.

(여기서 우변은 기수거듭제곱이다.) 그런데 정의에 따라

이므로, 칸토어의 정리에 따라서 이다.

범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[5]

  • -작은 범주와 동치이다.
  • -국소적으로 작은 범주이며, 준층 범주 역시 -국소적으로 작은 범주이다.

함자[편집]

-작은 집합과 함수의 범주라고 하자. 즉, 다음과 같은 범주라고 하자.

  • 의 사상은 에 속하는 함수이다.

그렇다면, 망각 함자

가 존재한다. 이는 오른쪽 수반 함자를 가지며, 이는 임의의 집합 를 다음과 같은 범주로 대응시킨다.

  • 대상은 의 원소이다.
  • 모든 사상은 항등 사상이다.

[편집]

임의의 -작은 아벨 범주 에 대하여, 그 유도 범주 를 취할 수 있다. 그러나 일반적으로 -작은 범주가 아니며, 이를 다루려면 더 큰 그로텐디크 전체를 사용하거나, 또는 그로텐디크 아벨 범주 조건을 가정해야 한다.[2]

칸토어 역설에 따라, 의 대상이 아니다. 다만, 를 포함하는 더 큰 그로텐디크 전체 이 주어졌을 때, 의 대상이 되며, 이 경우 포함 함자

가 주어진다.

참고 문헌[편집]

  1. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. 
  2. Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (2006). 《Categories and sheaves》. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-27949-5. ISSN 0072-7830. MR 2182076. Zbl 1118.18001. doi:10.1007/3-540-27950-4. 
  3. Shulman, Michael A. (2008). “Set theory for category theory” (영어). Bibcode:2008arXiv0810.1279S. arXiv:0810.1279. 
  4. Mac Lane, Saunders (1969). 〈One universe as a foundation for category theory〉. Mac Lane, Saunders. 《Reports of the Midwest Category Seminar Ⅲ》. Lecture Notes in Mathematics (영어) 106. Springer-Verlag. 192–200쪽. ISBN 978-3-540-04625-7. ISSN 0075-8434. Zbl 0211.32202. doi:10.1007/BFb0059147. 
  5. Freyd, Peter; Street, Ross (1995). “On the size of categories”. 《Theory and Applications of Categories》 (영어) 1 (9): 174–181. ISSN 1201-561X. 

외부 링크[편집]