데카르트 닫힌 범주

범주론에서 데카르트 닫힌 범주(Descartes닫힌範疇, 영어: Cartesian closed category, 약자 CCC)는 사상 집합을 대상으로 간주할 수 있어, 정의역이 곱 대상인 사상을, 사상 집합을 공역으로 갖는 사상으로 치환할 수 있는 범주이다.

정의

지수 대상

모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes )$ 에서, 두 대상 $Y,Z\in {\mathcal {C}}$ 의 지수 대상(영어: exponential object) $(Z^{Y}\in {\mathcal {C}},\operatorname {eval} \colon Z^{Y}\otimes Y\to Z)$ 은 다음과 같은 보편 성질을 만족시키는 대상이다. 임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 및 사상 $g\colon X\otimes Y\to Z$ 에 대하여, 다음 그림을 가환하게 만드는 유일한 사상 $\lambda g\colon X\to Z^{Y}$ 이 존재한다.

{\begin{matrix}X\otimes Y\\{\scriptstyle \lambda g\otimes \operatorname {id} _{Y}}\downarrow &\searrow \scriptstyle g\\Z^{Y}\otimes Y&{\xrightarrow[{\operatorname {eval} }]{}}&Z\end{matrix}}

데카르트 닫힌 범주

모노이드 범주 $({\mathcal {C}},\otimes )$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 모노이드 범주를 닫힌 모노이드 범주(영어: closed monoidal category)라고 한다.

임의의 두 대상 $X,Y\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, 지수 대상 $Y^{X}$ 가 존재한다.
모든 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여 다음과 같은 수반 함자가 존재한다.
$(-\otimes X)\dashv (-)^{X}$

곱 $\times$ 에 대한 닫힌 모노이드 범주를 데카르트 닫힌 범주라고 한다.

국소 데카르트 닫힌 범주

범주 ${\mathcal {C}}$ 위의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 두 조각 범주 사이에 자연스러운 함자

f_{!}\colon {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}/Y

f_{!}\colon g\mapsto f\circ g

가 존재한다. 만약 ${\mathcal {C}}$ 가 유한 완비 범주라면 밑 변환(영어: base change) 함자

f^{*}\colon {\mathcal {C}}/Y\to {\mathcal {C}}/X

f^{*}\colon (g\colon A\to Y)\mapsto (g_{X}\colon A\times _{Y}X\to X)

의 왼쪽 수반 함자 $f_{!}$ 가 존재한다. $f_{!}$ 함자를 의존합(依存合, 영어: dependent sum)이라고 부른다.

유한 완비 범주 ${\mathcal {C}}$ 에서 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 유한 완비 범주를 국소 데카르트 닫힌 범주(영어: locally Cartesian closed category)라고 한다.

임의의 대상 $X\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, 조각 범주 ${\mathcal {C}}/X$ 는 데카르트 닫힌 범주이다.
임의의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 조각 범주 사이의 함자 $f^{*}\colon {\mathcal {C}}/Y\to {\mathcal {C}}/X$ 는 또한 오른쪽 수반 함자 $f_{*}\colon {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}/Y$ 를 갖는다.

끝 대상 $1\in {\mathcal {C}}$ 에 대한 조각 범주 ${\mathcal {C}}/1$ 은 ${\mathcal {C}}$ 와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.

국소 데카르트 닫힌 범주에서, 사상 $f\colon X\to Y$ 에 대하여 존재하는 오른쪽 수반 함자 $f_{*}\colon {\mathcal {C}}/X\to {\mathcal {C}}/Y$ 는 의존곱(依存-, 영어: dependent product)이라고 한다. 대략, 사상 $\pi \colon E\to X$ 이 주어졌을 때 이를 $X$ 위의 "다발"로 해석하고, "밑공간" $X$ 위의 $Y$ -점에 대하여 그 "올" $E_{x}$ 을 정의할 수 있다. 그렇다면, 의존곱은 이를 다발 $E\to X$ 의 "단면"들의 모임으로 대응시킨다. 이러한 해석은 물론 임의의 범주에서 적용되지 않지만, 집합의 범주나 다른 토포스 속에서 성립한다.

예

데카르트 닫힌 범주

데카르트 닫힌 범주의 예는 다음과 같다.

이름	대상	사상	곱	지수 대상
$\operatorname {Set}$	집합	함수	곱집합 $X\times Y$	함수의 집합 $Y^{X}=\hom(X,Y)$
$\operatorname {FinSet}$	유한 집합	유한 집합 사이의 함수	곱집합	함수의 집합 $Y^{X}=\hom(X,Y)$
$\operatorname {Set} ^{G}$ ( $G$ 는 하나의 대상을 갖는 범주로 여긴 군)	$G$ 의 작용을 갖는 집합	$G$ 의 작용과 호환되는 함수	(자연스러운 곱 작용을 갖춘) 곱집합 $X\times Y$	$G$ 의 작용과 호환되는 함수의 집합 $Y^{X}=\hom(X,Y)$ . ( $f\colon X\to Y$ 에 대하여, $(g\cdot f)(x)=g\cdot (f(g^{-1}\cdot x)$ )
$\operatorname {Set} ^{\mathcal {C}}$ ( ${\mathcal {C}}$ 는 작은 범주)	함자 ${\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$	자연 변환	공역에서의 곱 $F\times G\colon (C\in {\mathcal {C}})\mapsto F(C)\times G(C)$	$F,G\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$ 및 $C\in {\mathcal {C}}$ 에 대하여, $G^{F}(C)$ 는 자연 변환 $(C\times -)\times F\implies G$ 의 집합
조각 범주 $\operatorname {Set} /A$ ( $A$ 는 집합)	함수 $X\to A$	$f\colon X\to A$ , $g\in Y\to A$ 에 대하여 $\hom(f,g)=\{h\colon x=g\circ h\}$	$f\colon X\to A$ 및 $g\in Y\to A$ 에 대하여, 당김 $X\times _{A}Y=\{(x,y)\in X\times Y\colon f(x)=g(y)\}$	$f\colon X\to A$ 및 $g\in Y\to A$ 에 대하여, $\{(a,h)\colon a\in A,h\colon f^{-1}(a)\to g^{-1}(a)\}$
$\operatorname {Cat}$	작은 범주	함자	곱 범주 (대상·사상이 각각 대상·사상의 순서쌍)	함자 범주 ${\mathcal {D}}^{\mathcal {C}}$ (대상은 함자, 사상은 자연 변환)
$\operatorname {CGHaus}$ ^[1]	콤팩트 생성(영어: compactly generated) 하우스도르프 공간	콤팩트 생성 하우스도르프 공간 사이의 연속함수	$k(X\times _{\operatorname {Top} }Y)$ ( $X\times _{\operatorname {Top} }Y$ 는 $\operatorname {Top}$ 에서의 곱위상, $k(-)$ 는 콤팩트 생성화)	$Y^{X}=k({\mathcal {C}}(X,Y))$ ( ${\mathcal {C}}(X,Y)$ 는 콤팩트-열린집합 위상을 갖춘 연속함수들의 공간)

일반적인 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 에서는 곱 (=곱위상을 갖춘 곱공간) 및 끝 대상 (=한원소 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 일반적으로 존재하지 않는다. (그러나 이 위에는 독특한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.)

닫힌 모노이드 범주

체 $K$ 위의 벡터 공간의 범주 $K{\text{-Vect}}$ 에서는 곱 (=직합 $V\oplus W$ ) 및 끝 대상 (=0차원 벡터 공간)이 존재하지만, 지수 대상은 존재하지 않는다. 그러나 텐서곱( $V\otimes W$ )에 대해서는 지수 대상과 유사한 대상 (선형 변환의 집합 ${\mathcal {L}}(V,W)$ )이 존재한다. 즉, 이는 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$ 는 아벨 군의 텐서곱에 대하여 닫힌 대칭 모노이드 범주를 이룬다. 두 아벨 군 사이의 군 준동형들의 집합은 점별 합에 대하여 자연스럽게 아벨 군을 이룬다.

모든 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$ 위에는 유일한 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조가 존재한다.^[2]^{:291, Corollary 2.4}^[3]^{:62, Remark 6.1.2} 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조에서,

대칭 이항 연산은 집합으로서 곱집합이지만, 이 위에는 곱공간과 현저히 다른 위상이 주어진다. (이는 지수 대상의 위상으로부터 유일하게 결정된다.)
항등원은 한원소 공간이다.
지수 대상은 집합으로서 연속 함수의 집합이지만, 이 위에는 콤팩트-열린 집합 위상 대신 점별 수렴 위상이 주어진다.

이 때문에 이 닫힌 대칭 모노이드 범주 구조는 위상수학에서 그리 유용하지 않다.^[3]^{:62, Remark 6.1.2}

국소 데카르트 닫힌 범주

모든 토포스와 모든 준토포스는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 토포스의 조각 범주 역시 토포스이며, 토포스 ${\mathcal {T}}$ 속의 사상 $f\colon X\to Y$ 에 의하여 수반 함자

f_{!}\dashv f^{*}\dashv f_{*}

가 유도된다. 이는 토포스의 본질적 기하학적 사상을 이룬다.

특히, 집합과 함수의 토포스 $\operatorname {Set}$ 는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수 $f\colon X\to I$ 에 대한 의존곱은 함수 $\pi \colon E\to X$ 를

\bigsqcup _{i\in I}\Gamma _{X_{i}}(E_{i})

로 대응시킨다. 여기서

X_{i}=f^{-1}(i)

E_{i}=(f\circ \pi )^{-1}(i)

이며,

\Gamma _{X_{i}}(E_{i})=\left\{f\in E^{X_{i}}\colon \forall x\in X_{i}\colon \pi (f(x))=x\right\}

는 "단면 집합"이다.

특히, 만약 $I$ 가 끝 대상인 한원소 집합이라면, $f\colon X\to \{\bullet \}$ 에 대한 의존곱은 $\pi \colon E\to X$ 를 단면 집합 $\Gamma _{X}(E)$ 으로 대응시킨다.

같이 보기

커링

참고 문헌

↑ Steenrod, N. E. (1967). “A convenient category of topological spaces” (영어). 《The Michigan Mathematical Journal》 14 (2): 133–152. doi:10.1307/mmj/1028999711. MR 0210075. Zbl 0145.43002.
↑ Pedicchio, Maria Cristina; Solimini, Sergio (1986년 10월). “On a ‘good’ dense class of topological spaces” (영어). 《Journal of Pure and Applied Algebra》 42 (3): 287–295. doi:10.1016/0022-4049(86)90012-5.
1 2 Riehl, Emily (2014년 5월). 《Categorical homotopy theory》 (PDF) (영어). New Mathematical Monographs 24. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107261457. ISBN 978-110704845-4. 2015년 5월 1일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 2월 11일에 확인함.

Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 2판 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

“Cartesian-closed category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Closed monoidal category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Closed category” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Cartesian closed category” (영어). 《nLab》.
“Locally cartesian closed category” (영어). 《nLab》.
“Cocartesian closed category” (영어). 《nLab》.
“Dependent product” (영어). 《nLab》.
“Closed category” (영어). 《nLab》.
“Closed monoidal category” (영어). 《nLab》.
“Internal hom” (영어). 《nLab》.
“Exponential object” (영어). 《nLab》.
Armstrong, John (2007년 8월 1일). “Closed categories” (영어). 《The Unapologetic Mathematician》.
Armstrong, John (2007년 8월 23일). “Internal hom functors” (영어). 《The Unapologetic Mathematician》.

[1] Steenrod, N. E. (1967). “A convenient category of topological spaces” (영어). 《The Michigan Mathematical Journal》 14 (2): 133–152. doi:10.1307/mmj/1028999711. MR 0210075. Zbl 0145.43002.

[2] Pedicchio, Maria Cristina; Solimini, Sergio (1986년 10월). “On a ‘good’ dense class of topological spaces” (영어). 《Journal of Pure and Applied Algebra》 42 (3): 287–295. doi:10.1016/0022-4049(86)90012-5.

[Riehl-3] 1 2 Riehl, Emily (2014년 5월). 《Categorical homotopy theory》 (PDF) (영어). New Mathematical Monographs 24. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781107261457. ISBN 978-110704845-4. 2015년 5월 1일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 2월 11일에 확인함.

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