군론에서, 군의 작용(群의作用, 영어: group action)은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.
모노이드
의, 집합
위의 왼쪽 작용(영어: left action of
on
)은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수
로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드
의 작용을 갖춘 집합을
-집합(영어:
-set)이라고 한다. 두
-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수(等變函數, 영어: equivariant function)라고 한다.
-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를
또는
으로 쓴다.
모든 군은 모노이드를 이루며, 군의 작용(영어: group action)은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드
의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)
함수를 통한 정의[편집]
모노이드
의, 집합
위의 왼쪽 작용(영어: left action of
on
)은 다음 조건들을 만족시키는 함수
이다.
- (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의
에 대하여,
. 여기서
은
의 항등원이다.
- (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의
및
에 대하여, 
모노이드
의, 집합
위의 오른쪽 작용(영어: right action of
on
)은 다음 조건들을 만족시키는 함수
이다.
- (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의
에 대하여,
. 여기서
은
의 항등원이다.
- (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의
및
에 대하여, 
모노이드
의 작용을 갖춘 두 집합
,
이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수
는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

여기서 좌변은
위의 작용이고, 우변은
위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

준동형을 통한 정의[편집]
추상적으로, 모노이드
의, 집합
위의 왼쪽 작용은
에서
위의 자기 함수들의 모노이드
로 가는 모노이드 준동형

이며,
의
위의 오른쪽 작용은 반대 모노이드
에서
로 가는 모노이드 준동형

이다. 만약
가 군일 경우, 왼쪽 작용은
의 대칭군 (=자기 동형군)
으로 가는 군 준동형

을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형

을 이룬다.
모노이드
의 작용을 갖춘 두 집합


이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수
는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수
이다.
![{\displaystyle {\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi _{X}}}&\operatorname {End} X\\{\scriptstyle \phi _{Y}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\circ \\\operatorname {End} Y&{\xrightarrow[{\circ f}]{}}&\hom(X,Y)\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/449913e85d4b4d114a85f540a99ace0b044d1345)
범주론적 정의[편집]
범주론적으로,
의 작용은
을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자

와 동치이다. 이 경우,
이 작용하는 집합은 범주
의 유일한 대상
의
에 대한 상
이며,
의 작용은
에 대한 상
이다.
두
-집합


사이의 등변 함수
는 두 함자 사이의 자연 변환과 동치이다. 구체적으로, 자연 변환
에 대응하는 등변 함수는
의 성분

이다.
따라서,
-집합의 범주
은 사실 (작은 범주로 간주한)
에서
로 가는 함자 범주와 동치이다.
궤도와 안정자군[편집]
군
가 집합
에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자.
의 궤도(軌道, 영어: orbit)
는 다음과 같다.

궤도는
위의 동치 관계

의 동치류와 같으며,
는 궤도들로 분할된다.
임의의
의 안정자군(安定子群, 영어: stabilizer subgroup)
는 다음과 같다.

즉, 안정자군
는
의 원소 중
를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.
작용 준군[편집]
모노이드
이 집합
위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주
를 정의할 수 있다.
의 대상은
의 원소이다.
에 대하여,
이다.
위의 항등 사상은
이다.
이를 작용 범주(作用範疇, 영어: action category, translation category)라고 한다.[1]:315, 3.3.1 만약
이 군이라면,
위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 작용 준군(作用準群, 영어: action groupoid, translation groupoid)이라고 한다.
작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.
군의 왼쪽 작용
이 주어졌을 때,
에 대하여
는 전단사 함수이다.
- (역원은 역함수)
에 대하여
이다. 여기서
는 전단사 함수의 역함수이다.
왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계[편집]
임의의 모노이드
에 대하여, 왼쪽
-작용은 오른쪽
-작용과 같다. 여기서
은
의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.
모든 군
는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형

이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽
-작용을 왼쪽
-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽
-작용
에 대하여,


로 정의한다면,
은 왼쪽
-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽
-작용
가 주어졌을 때


는 오른쪽
-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)
궤도-안정자군 정리[편집]
안정자군
는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리(軌道-安定子群定理, 영어: orbit–stabilizer theorem)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.
의 원소
를 왼쪽 잉여류
로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의
에 대하여,
라면
이다.
- 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의
에 대하여,
라면
이다.
특히, 만약
가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.
![{\displaystyle |G\cdot x|=[G:G_{x}]=|G|/|G_{x}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a50979d1eabff2cb1d66b5319af1d53e72a8c97)
보편대수학적 성질[편집]
모노이드
에 대하여,
-집합은
의 각 원소
에 대하여 1항 연산
을 가지며, 대수적 관계


를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로,
-집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.
집합
위의 자유
-집합은 곱집합
이며, 그 위의 작용은

이다.
범주론적 성질[편집]
모노이드
에 대하여,
-집합의 범주
은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다.[2] 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.
의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다.
의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다.
의
의 부분 대상 분류자
은
위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합

이다.[2] 이 위의
의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.


망각 함자

가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자
와 오른쪽 수반 함자
를 갖는다.[2]

왼쪽 수반 함자
는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합
를
로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자
는 집합
를 함수들의 집합
으로 대응시킨다.
의
위의 작용은 다음과 같다.

군
가 집합
위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.
추이적 작용[편집]
군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-추이적 작용(n-推移的作用, 영어: n-transitive action)이라 한다.
- 임의의 서로 다른 원소들
및 임의의 서로 다른 원소들
에 대하여,
(
)인
가 존재한다.
만약 여기서 이러한
가 유일하다면, 이를 n-정추이적 작용(n-正推移的作用, 영어: sharply n-transitive action)이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-정추이적 작용이라고 한다.
- 임의의 서로 다른 원소들
및 임의의 서로 다른 원소들
에 대하여,
(
)인 유일한
가 존재한다.
1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용(推移的作用, 영어: transitive action)이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용(正推移的作用, 영어: sharply transitive action) 또는 정칙 작용(正則作用, 영어: regular action)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.
충실한 작용과 자유 작용[편집]
군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용(忠實-作用, 영어: faithful action) 또는 효과적 작용(效果的作用, 영어: effective action)이라고 한다.
- 임의의
에 대하여, 만약 임의의
에 대하여
라면, 
- 임의의
에 대하여, 만약 임의의
에 대하여
라면, 
- 단사 군 준동형이다.
군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용(自由作用, 영어: free action) 또는 반정칙 작용(半正則作用, 영어: semiregular action)이라고 한다.
- 임의의
에 대하여, 만약
인
가 존재한다면, 
- 임의의
에 대하여, 만약
인
가 존재한다면, 
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
외부 링크[편집]