군의 작용

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군론에서, 군의 작용(群의作用, 영어: group action)은 어떤 으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.

정의[편집]

모노이드 M의, 집합 X 위의 왼쪽 작용(영어: left action of M on X)은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 M\times X\to X로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드 M의 작용을 갖춘 집합을 M-집합(영어: M-set)이라고 한다. 두 M-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수(等變函數, 영어: equivariant function)라고 한다. M-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를 M\text{-Set} 또는 \operatorname{Set}^M으로 쓴다.

모든 모노이드를 이루며, 군의 작용(영어: group action)은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군와 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 M의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수이 아니게 작용할 수 있다.)

함수를 통한 정의[편집]

모노이드 M의, 집합 X 위의 왼쪽 작용(영어: left action of M on X)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 \cdot\colon M\times X\to X이다.

  • (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 x\in X에 대하여, 1_M\cdot x=x. 여기서 1_M\in MM의 항등원이다.
  • (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의의 m,n\in Mx\in X에 대하여, (mn)\cdot x=m\cdot(n\cdot x)

모노이드 M의, 집합 X 위의 오른쪽 작용(영어: right action of G on X)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 \cdot\colon X\times M\to X이다.

  • (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 x\in X에 대하여, x\cdot1_M=x. 여기서 1_M\in MM의 항등원이다.
  • (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의의 m,n\in Mx\in X에 대하여, x\cdot(mn)=(x\cdot m)\cdot n

모노이드 M의 작용을 갖춘 두 집합 X, Y이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 f\colon X\to Y는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

\forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x)

여기서 좌변은 Y 위의 작용이고, 우변은 X 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

\begin{matrix}
M\times X&\to&X\\
{\scriptstyle M\times f}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\\
M\times Y&\to&Y
\end{matrix}

준동형을 통한 정의[편집]

추상적으로, 모노이드 M의, 집합 X 위의 왼쪽 작용M에서 X 위의 자기 함수들의 모노이드 \operatorname{End}X로 가는 모노이드 준동형

\phi\colon M\to\operatorname{End}X

이며, MX 위의 오른쪽 작용반대 모노이드 M^{\operatorname{op}}에서 \operatorname{End}X로 가는 모노이드 준동형

M^{\operatorname{op}}\to\operatorname{End}X

이다. 만약 G일 경우, 왼쪽 작용은 X대칭군 (=자기 동형군) \operatorname{Sym}X으로 가는 군 준동형

G\to\operatorname{Sym}X

을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형

G^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Sym}X

을 이룬다.

모노이드 M의 작용을 갖춘 두 집합

\phi_X\colon M\to\operatorname{End}X
\phi_Y\colon M\to\operatorname{End}Y

이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 f\colon X\to Y는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 f\colon X\to Y이다.

\begin{matrix}
M&\xrightarrow{\phi_X}&\operatorname{End}X\\
{\scriptstyle\phi_Y}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle f\circ\\
\operatorname{End}Y&\xrightarrow[\circ f]{}&\hom(X,Y)
\end{matrix}

범주론적 정의[편집]

범주론적으로, M작용M을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자

F\colon M\to\operatorname{Set}

와 동치이다. 이 경우, M이 작용하는 집합은 범주 M의 유일한 대상 \bullet_MF에 대한 F(\bullet_M)\in\operatorname{Set}이며, m\in M의 작용은 F에 대한 F(m)\colon F(\bullet_M)\to F(\bullet_M)이다.

M-집합

F\colon M\to\operatorname{Set}
G\colon M\to\operatorname{Set}

사이의 등변 함수 F\Rightarrow G는 두 함자 사이의 자연 변환동치이다. 구체적으로, 자연 변환 \eta\colon F\Rightarrow G에 대응하는 등변 함수는 \eta의 성분

\eta_{\bullet_M}\colon F(\bullet_M)\to G(\bullet_M)

이다.

따라서, M-집합의 범주 \operatorname{Set}^M은 사실 (작은 범주로 간주한) M에서 \operatorname{Set}로 가는 함자 범주와 동치이다.

궤도와 안정자군[편집]

G가 집합 X에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. x\in X궤도(軌道, 영어: orbit) G\cdot x는 다음과 같다.

G\cdot x = \{ g\cdot x \colon g \in G \}

궤도는 G 위의 동치 관계

x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y

동치류와 같으며, X는 궤도들로 분할된다.

임의의 x\in X안정자군(安定子群, 영어: stabilizer subgroup) G_x는 다음과 같다.

G_x = \{g \in G \colon g\cdot x = x\}

즉, 안정자군 G_xG의 원소 중 x고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.

작용 준군[편집]

모노이드 M집합 X 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 \mathcal C를 정의할 수 있다.

  • \mathcal C의 대상은 X의 원소이다.
  • x,y\in X에 대하여, \hom_{\mathcal C}(x,y)=\{m\in M\colon mx=y\}이다.
  • x\in X 위의 항등 사상은 1_M\in\hom_{\mathcal C}(x,x)이다.

이를 작용 범주(作用範疇, 영어: action category, translation category)라고 한다.[1]:315, 3.3.1 만약 M이라면, X 위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 작용 준군(作用準群, 영어: action groupoid, translation groupoid)이라고 한다.

작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.

성질[편집]

군의 왼쪽 작용 \cdot\colon G\times X\to X이 주어졌을 때,

왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계[편집]

임의의 모노이드 M에 대하여, 왼쪽 M-작용은 오른쪽 M^{\operatorname{op}}-작용과 같다. 여기서 M^{\operatorname{op}}M반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.

모든 군 G는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형

{}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname{op}}

이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 G-작용을 왼쪽 G-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 G-작용 r\colon X\times G\to X에 대하여,

\ell\colon G\times X\to X
\ell(g,x)=r(x,g^{-1})

로 정의한다면, \ell은 왼쪽 G-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 G-작용 \ell\colon G\times X\to X가 주어졌을 때

r\colon X\times G\to X
r(x,g)=\ell(g^{-1},x)

는 오른쪽 G-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)

궤도-안정자군 정리[편집]

안정자군 G_x는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리(軌道-安定子群定理, 영어: orbit–stabilizer theorem)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.

  • G\cdot x의 원소 g\cdot x를 왼쪽 잉여류 gG_x로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 g,h\in G에 대하여, g\cdot x=h\cdot x라면 gG_x=hG_x이다.
  • 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의 g,h\in G에 대하여, gG_x=hG_x라면 g\cdot x=h\cdot x이다.

특히, 만약 G유한군이면, 라그랑주의 정리에 의해 다음이 성립한다.

|Gx| = [G:G_x] = |G| / |G_x|

보편대수학적 성질[편집]

모노이드 M에 대하여, M-집합은 M의 각 원소 m\in M에 대하여 1항 연산 m\cdot을 가지며, 대수적 관계

1\cdot x=x\qquad\forall x\in X
m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad\forall x\in X

를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, M-집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.

집합 X 위의 자유 M-집합은 곱집합 M\times X이며, 그 위의 작용은

m\cdot(n,x)=(mn,x)

이다.

범주론적 성질[편집]

모노이드 M에 대하여, M-집합의 범주 \operatorname{Set}^M은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다.[2] 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

\operatorname{Set}^M시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다. \operatorname{Set}^M끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. \operatorname{Set}^M\operatorname{Set}^M부분 대상 분류자 R_MM 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합

R_M=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\}

이다.[2] 이 위의 M의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.

M\times R_M\to R_M
(m,I)\mapsto mI

망각 함자

U\colon\operatorname{Set}^M\to\operatorname{Set}

가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 F오른쪽 수반 함자 G를 갖는다.[2]

F\dashv U\dashv G

왼쪽 수반 함자 F자유 대수 함자이다. 즉, 집합 XM\times X로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 G는 집합 X를 함수들의 집합 X^M으로 대응시킨다. MX^M 위의 작용은 다음과 같다.

(m\cdot f)(n)=f(mn)

종류[편집]

G 가 집합 X 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.

추이적 작용[편집]

X 의 임의의 서로 다른 원소들 x1, ..., xn 과 임의의 서로 다른 원소들 y1, ..., yn 에 대해 G 의 원소 g 가 존재해서 각 1 ≤ kn 에 대해 g·xk = yk 이면 이를 n-추이적 작용(n-推移的作用, 영어: n-transitive action)이라 한다. 만약 여기서 이러한 g가 유일하다면, 이를 n-정추이적 작용(n-正推移的作用, 영어: sharply n-transitive action)이라 한다.

1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용(推移的作用, 영어: transitive action)이라 한다. 즉, X 의 임의의 원소 x, y 에 대해 G 의 원소 g 가 존재해서 g·x = y 가 성립하면 이를 추이적 작용이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용(正推移的作用, 영어: sharply transitive action) 또는 정칙작용(正則作用, 영어: regular action)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이다.

충실한 작용과 자유 작용[편집]

G의 임의의 서로 다른 두 원소 g, h 에 대해 X 의 원소 x 가 존재해서 g·xh·x 이면 이를 충실한 작용(忠實-作用, 영어: faithful action) 또는 효과적 작용(效果的作用, 영어: effective action)이라 한다. 이는 G 의 임의의 단위원이 아닌 원소 g 에 대해 X 의 원소 x 가 존재해서 g·xx 라는 것과 동치인 조건이다.

G 의 임의의 서로 다른 두 원소 g, hX 의 임의의 원소 x 에 대해 g·xh·x 이면 이를 자유 작용(自由作用, 영어: free action) 혹은 반정칙 작용(半正則作用, 영어: semiregular action)이라 한다. 이는 G 의 임의의 단위원이 아닌 원소 gX 의 임의의 원소 x 에 대해 g·xx 라는 것과 동치인 조건이다.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

  1. Weibel, Charles A. (2013년 5월 18일). 《The K-book: an introduction to algebraic K-theory》. Graduate Studies in Mathematics (영어) 145. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9132-2. Zbl 1273.19001. 
  2. Ebrahimi, M. Mehdi; Mahmoudi, M. (2001). “The category of M-sets” (PDF). 《Italian Journal of Pure and Applied Mathematics》 (영어) 9: 123-132. ISSN 1126-8042. 

바깥 고리[편집]