군의 작용

군론에서, 군의 작용(群의作用, 영어: group action)은 어떤 군으로부터, 어떤 집합의 대칭군으로 가는 군 준동형이다. 대략, 어떤 공간 위에 대칭군의 원소가 정의하는 대칭 변환의 개념을 추상화한 것이다.

정의

모노이드 $M$의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용(영어: left action of $M$ on $X$)은 여러 가지로 정의할 수 있다. 가장 기초적으로 모노이드 작용은 특정한 함수 $M\times X\to X$로 정의할 수 있으며, 또 특정한 모노이드 준동형으로, 또는 함자로도 생각할 수 있다. 모노이드 $M$의 작용을 갖춘 집합을 $M$-집합(영어: $M$-set)이라고 한다. 두 $M$-집합 사이의 함수 가운데, 작용과 호환되는 것을 등변 함수(等變函數, 영어: equivariant function)라고 한다. $M$-집합을 대상으로 하고, 등변 함수를 사상으로 하는 범주가 존재하며, 이를 $M{\text{-Set}}$ 또는 $\operatorname {Set} ^{M}$으로 쓴다.

모든 군은 모노이드를 이루며, 군의 작용(영어: group action)은 모노이드로서의 작용과 같다. (마찬가지로, 반군의 작용을 정의할 수 있다. 그러나 군과 모노이드 사이의 관계와 달리, 모노이드 $M$의 반군 작용 가운데, 모노이드 작용이 아닌 것이 존재할 수 있다. 즉, 모노이드의 반군 작용에서는 항등원이 항등 함수가 아니게 작용할 수 있다.)

함수를 통한 정의

모노이드 $M$의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용(영어: left action of $M$ on $X$)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\cdot \colon M\times X\to X$이다.

• (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 $x\in X$에 대하여, $1_{M}\cdot x=x$. 여기서 $1_{M}\in M$은 $M$의 항등원이다.
• (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 $m,n\in M$ 및 $x\in X$에 대하여, $(mn)\cdot x=m\cdot (n\cdot x)$

모노이드 $M$의, 집합 $X$ 위의 오른쪽 작용(영어: right action of $G$ on $X$)은 다음 조건들을 만족시키는 함수 $\cdot \colon X\times M\to X$이다.

• (모노이드 항등원은 항등 함수) 임의의 $x\in X$에 대하여, $x\cdot 1_{M}=x$. 여기서 $1_{M}\in M$은 $M$의 항등원이다.
• (모노이드 연산은 함수의 합성) 임의의 $m,n\in M$ 및 $x\in X$에 대하여, $x\cdot (mn)=(x\cdot m)\cdot n$

모노이드 $M$의 작용을 갖춘 두 집합 $X$, $Y$이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 $f\colon X\to Y$는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.

$\forall x\in X,m\in M\colon m\cdot f(x)=f(m\cdot x)$

여기서 좌변은 $Y$ 위의 작용이고, 우변은 $X$ 위의 작용이다. 즉, 다음 그림이 가환하여야 한다.

${\begin{matrix}M\times X&\to &X\\{\scriptstyle M\times f}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\\M\times Y&\to &Y\end{matrix}}$

준동형을 통한 정의

추상적으로, 모노이드 $M$의, 집합 $X$ 위의 왼쪽 작용은 $M$에서 $X$ 위의 자기 함수들의 모노이드 $\operatorname {End} X$로 가는 모노이드 준동형

$\phi \colon M\to \operatorname {End} X$

이며, $M$의 $X$ 위의 오른쪽 작용은 반대 모노이드 $M^{\operatorname {op} }$에서 $\operatorname {End} X$로 가는 모노이드 준동형

$M^{\operatorname {op} }\to \operatorname {End} X$

이다. 만약 $G$가 군일 경우, 왼쪽 작용은 $X$의 대칭군 (=자기 동형군) $\operatorname {Sym} X$으로 가는 군 준동형

$G\to \operatorname {Sym} X$

을 이루며, 오른쪽 작용은 반대군에서의 군 준동형

$G^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Sym} X$

을 이룬다.

모노이드 $M$의 작용을 갖춘 두 집합

$\phi _{X}\colon M\to \operatorname {End} X$

$\phi _{Y}\colon M\to \operatorname {End} Y$

이 주어졌다고 하자. 그 사이의 등변 함수 $f\colon X\to Y$는 다음 그림을 가환하게 만드는 함수 $f\colon X\to Y$이다.

${\begin{matrix}M&{\xrightarrow {\phi _{X}}}&\operatorname {End} X\\{\scriptstyle \phi _{Y}}\downarrow &&\downarrow \scriptstyle f\circ \\\operatorname {End} Y&{\xrightarrow[{\circ f}]{}}&\hom(X,Y)\end{matrix}}$

범주론적 정의

범주론적으로, $M$의 작용은 $M$을 하나의 대상을 갖는 작은 범주로 간주하였을 때, 함자

$F\colon M\to \operatorname {Set}$

와 동치이다. 이 경우, $M$이 작용하는 집합은 범주 $M$의 유일한 대상 $\bullet _{M}$의 $F$에 대한 상 $F(\bullet _{M})\in \operatorname {Set}$이며, $m\in M$의 작용은 $F$에 대한 상 $F(m)\colon F(\bullet _{M})\to F(\bullet _{M})$이다.

두 $M$-집합

$F\colon M\to \operatorname {Set}$

$G\colon M\to \operatorname {Set}$

사이의 등변 함수 $F\Rightarrow G$는 두 함자 사이의 자연 변환과 동치이다. 구체적으로, 자연 변환 $\eta \colon F\Rightarrow G$에 대응하는 등변 함수는 $\eta$의 성분

$\eta _{\bullet _{M}}\colon F(\bullet _{M})\to G(\bullet _{M})$

이다.

따라서, $M$-집합의 범주 $\operatorname {Set} ^{M}$은 사실 (작은 범주로 간주한) $M$에서 $\operatorname {Set}$로 가는 함자 범주와 동치이다.

궤도와 안정자군

군 $G$가 집합 $X$에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. $x\in X$의 궤도(軌道, 영어: orbit) $G\cdot x$는 다음과 같다.

$G\cdot x=\{g\cdot x\colon g\in G\}$

궤도는 $G$ 위의 동치 관계

$x\sim y\iff \exists g\in G\colon g\cdot x=y$

의 동치류와 같으며, $X$는 궤도들로 분할된다.

임의의 $x\in X$의 안정자군(安定子群, 영어: stabilizer subgroup) $G_{x}$는 다음과 같다.

$G_{x}=\{g\in G\colon g\cdot x=x\}$

즉, 안정자군 $G_{x}$는 $G$의 원소 중 $x$를 고정점으로 가지는 모든 원소들의 집합이다.

작용 준군

모노이드 $M$이 집합 $X$ 위에 (왼쪽에서) 작용한다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 작은 범주 ${\mathcal {C}}$를 정의할 수 있다.

• ${\mathcal {C}}$의 대상은 $X$의 원소이다.
• $x,y\in X$에 대하여, $\hom _{\mathcal {C}}(x,y)=\{m\in M\colon mx=y\}$이다.
• $x\in X$ 위의 항등 사상은 $1_{M}\in \hom _{\mathcal {C}}(x,x)$이다.

이를 작용 범주(作用範疇, 영어: action category, translation category)라고 한다.^{:315, 3.3.1} 만약 $M$이 군이라면, $X$ 위의 작용 범주는 준군을 이룬다. 이를 작용 준군(作用準群, 영어: action groupoid, translation groupoid)이라고 한다.

작용 범주는 모노이드 작용의 모든 정보를 담고 있다. 즉, 작용 범주를 알면 모노이드 작용을 재구성할 수 있다.

성질

군의 왼쪽 작용 $\cdot \colon G\times X\to X$이 주어졌을 때,

• $g\in G$에 대하여 $g\cdot \colon X\to X$는 전단사 함수이다.
• (역원은 역함수) $g\in G$에 대하여 $g^{-1}\cdot =(g\cdot )^{-1}$이다. 여기서 $(g\cdot )^{-1}$는 전단사 함수의 역함수이다.

왼쪽 작용과 오른쪽 작용의 관계

임의의 모노이드 $M$에 대하여, 왼쪽 $M$-작용은 오른쪽 $M^{\operatorname {op} }$-작용과 같다. 여기서 $M^{\operatorname {op} }$은 $M$의 반대 모노이드이다. 특히, 가환 모노이드는 스스로의 반대 모노이드와 표준적으로 동형이므로, 가환 모노이드의 경우 왼쪽 작용과 오른쪽 작용을 구별할 필요가 없다.

모든 군 $G$는 그 반대군과 역원 함수를 통해 표준적으로 동형이다. 즉, 군의 동형

${}^{-1}\colon G\to G^{\operatorname {op} }$

이 존재한다. 따라서, 이를 사용하여 임의의 오른쪽 $G$-작용을 왼쪽 $G$-작용으로 쓸 수 있다. 임의의 오른쪽 $G$-작용 $r\colon X\times G\to X$에 대하여,

$\ell \colon G\times X\to X$

$\ell (g,x)=r(x,g^{-1})$

로 정의한다면, $\ell$은 왼쪽 $G$-작용을 이룬다. 마찬가지로 왼쪽 $G$-작용 $\ell \colon G\times X\to X$가 주어졌을 때

$r\colon X\times G\to X$

$r(x,g)=\ell (g^{-1},x)$

는 오른쪽 $G$-작용을 이룬다. 따라서, 군의 왼쪽 작용의 개념과 오른쪽 작용의 개념은 서로 동치이며, 필요에 따라 서로 변환할 수 있다. (그러나 이는 모노이드 작용에 대하여 성립하지 않는다.)

궤도-안정자군 정리

안정자군 $G_{x}$는 G의 부분군이므로 그 왼쪽 잉여류를 생각할 수 있다. 궤도-안정자군 정리(軌道-安定子群定理, 영어: orbit–stabilizer theorem)에 따르면, 다음 두 명제가 성립한다.

• $G\cdot x$의 원소 $g\cdot x$를 왼쪽 잉여류 $gG_{x}$로 보내는 함수는 잘 정의된다. 즉, 임의의 $g,h\in G$에 대하여, $g\cdot x=h\cdot x$라면 $gG_{x}=hG_{x}$이다.
• 이 함수는 전단사 함수이다. 즉, 임의의 $g,h\in G$에 대하여, $gG_{x}=hG_{x}$라면 $g\cdot x=h\cdot x$이다.

특히, 만약 $G$가 유한군이면, 라그랑주 정리에 의해 다음이 성립한다.

$|G\cdot x|=[G:G_{x}]=|G|/|G_{x}|$

보편대수학적 성질

모노이드 $M$에 대하여, $M$-집합은 $M$의 각 원소 $m\in M$에 대하여 1항 연산 $m\cdot$을 가지며, 대수적 관계

$1\cdot x=x\qquad \forall x\in X$

$m\cdot (n\cdot x)=(mn)\cdot x\qquad \forall x\in X$

를 만족시키는 대수 구조이다. 이 관계들은 모두 대수적이므로, $M$-집합들은 대수 구조 다양체를 이룬다.

집합 $X$ 위의 자유 $M$-집합은 곱집합 $M\times X$이며, 그 위의 작용은

$m\cdot (n,x)=(mn,x)$

이다.

범주론적 성질

모노이드 $M$에 대하여, $M$-집합의 범주 $\operatorname {Set} ^{M}$은 (작은 범주에서 집합의 범주로 가는 함자 범주이므로) 그로텐디크 토포스를 이룬다. 특히, 이는 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며 데카르트 닫힌 범주이다.

$\operatorname {Set} ^{M}$의 시작 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 공집합이다. $\operatorname {Set} ^{M}$의 끝 대상은 (유일한 작용을 갖춘) 한원소 집합이다. $\operatorname {Set} ^{M}$의 $\operatorname {Set} ^{M}$의 부분 대상 분류자 $R_{M}$은 $M$ 위의 오른쪽 모노이드 아이디얼들의 집합

$R_{M}=\{I\subseteq M\colon IM\subseteq I\}$

이다. 이 위의 $M$의 (왼쪽) 작용은 다음과 같다.

$M\times R_{M}\to R_{M}$

$(m,I)\mapsto mI$

망각 함자

$U\colon \operatorname {Set} ^{M}\to \operatorname {Set}$

가 존재한다. 이는 왼쪽 수반 함자 $F$와 오른쪽 수반 함자 $G$를 갖는다.

$F\dashv U\dashv G$

왼쪽 수반 함자 $F$는 자유 대수 함자이다. 즉, 집합 $X$를 $M\times X$로 대응시킨다. 오른쪽 수반 함자 $G$는 집합 $X$를 함수들의 집합 $X^{M}$으로 대응시킨다. $M$의 $X^{M}$ 위의 작용은 다음과 같다.

$(m\cdot f)(n)=f(mn)$

종류

군 $G$가 집합 $X$ 위에 왼쪽에서 작용한다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 작용의 성질들을 정의할 수 있다.

추이적 작용

군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-추이적 작용(n-推移的作用, 영어: n-transitive action)이라 한다.

• 임의의 서로 다른 원소들 $x_{1},\dots ,x_{n}\in X$ 및 임의의 서로 다른 원소들 $y_{1},\dots ,y_{n}\in X$에 대하여, $g\cdot x_{k}=y_{k}$ ($\forall k\in \{1,\dots ,n\}$)인 $g\in G$가 존재한다.

만약 여기서 이러한 $g$가 유일하다면, 이를 n-정추이적 작용(n-正推移的作用, 영어: sharply n-transitive action)이라 한다. 즉, 군의 작용이 다음 조건을 만족시키면, 이를 n-정추이적 작용이라고 한다.

• 임의의 서로 다른 원소들 $x_{1},\dots ,x_{n}\in X$ 및 임의의 서로 다른 원소들 $y_{1},\dots ,y_{n}\in X$에 대하여, $g\cdot x_{k}=y_{k}$ ($\forall k\in \{1,\dots ,n\}$)인 유일한 $g\in G$가 존재한다.

1-추이적 작용은 단순히 추이적 작용(推移的作用, 영어: transitive action)이라 한다. 1-정추이적 작용은 단순히 정추이적 작용(正推移的作用, 영어: sharply transitive action) 또는 정칙 작용(正則作用, 영어: regular action)이라고 한다. 이는 자유 추이적 작용과 동치이며, 아벨 군의 작용의 경우 이는 충실한 추이적 작용과 동치이다.

충실한 작용과 자유 작용

군의 작용에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 충실한 작용(忠實-作用, 영어: faithful action) 또는 효과적 작용(效果的作用, 영어: effective action)이라고 한다.

• 임의의 $g,h\in G$에 대하여, 만약 임의의 $x\in X$에 대하여 $g\cdot x=h\cdot x$라면, $g=h$
• 임의의 $g\in G$에 대하여, 만약 임의의 $x\in X$에 대하여 $g\cdot x=x$라면, $g=1_{G}$
• 단사 군 준동형이다.

군의 작용에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 군의 작용을 자유 작용(自由作用, 영어: free action) 또는 반정칙 작용(半正則作用, 영어: semiregular action)이라고 한다.

• 임의의 $g,h\in G$에 대하여, 만약 $g\cdot x=h\cdot x$인 $x\in X$가 존재한다면, $g=h$
• 임의의 $g,h\in G$에 대하여, 만약 $g\cdot x=x$인 $x\in X$가 존재한다면, $g=1_{G}$

같이 보기

• 군의 표현
• 가군

외부 링크

• “Group action”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Action of a group on a manifold”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Stabilizer”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Transitive group”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Orbit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group action”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Transitive group action”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Faithful group action”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group orbit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Stabilizer”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “G-set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Group set”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “G-set”. 《nLab》 (영어). 
• “Action”. 《nLab》 (영어). 
• “Action groupoid”. 《nLab》 (영어). 
• Gowers, Timothy (2011년 11월 6일). “Group actions I”. 《Gowers's Weblog》 (영어). 
• Gowers, Timothy (2011년 11월 9일). “Group actions II: the orbit-stabilizer theorem”. 《Gowers's Weblog》 (영어).