라그랑주 정리 (군론)

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군론에서, 라그랑주 정리(영어: Lagrange’s theorem)는 유한군부분군크기가 원래 의 크기의 약수라는 정리다.[1][2][3]

정의[편집]

임의의 부분군 가 주어졌다고 하자. 라그랑주 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

여기서 왼쪽 잉여류들의 집합의 크기이며 (이는 오른쪽 잉여류들의 집합의 크기와 같다), 사이의 곱셈은 기수의 곱셈이다. 특히, 유한군일 경우, 약수이다.

보다 일반적으로, 군 의 부분군 과 이에 대한 부분군 에 대하여, 다음이 성립한다.

라그랑주 정리는 (가 무한군일 수 있는 경우) 선택 공리동치이다. 물론, 유한군의 경우 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

증명[편집]

우선, 임의의 에 대하여, 이다. 이는 함수

전단사 함수이기 때문이다.

또한 의 왼쪽 잉여류들의 집합 분할을 이룬다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 에 대하여, 만약 이라면, 가 존재한다.

를 취하면

이다. 이에 따라, 속 서로 다른 왼쪽 잉여류들의 분리 합집합이다.

선택 공리에 의하여, 임의의 왼쪽 잉여류 에 대하여, 인 군의 원소 를 취하는 함수 가 존재하며, 이 경우 임의의 에 대하여 이다. (가 유한군일 경우 이러한 함수의 존재는 수학적 귀납법에 의하여 증명할 수 있으므로 선택 공리가 필요하지 않다.) 따라서,

가 성립한다.

만약 가 유한군이라면, 위 등식의 , , 는 모두 양의 정수이므로, 의 약수가 된다.

따름정리[편집]

유한군 의 임의의 원소 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 위수 의 약수이다. 이는 순환 부분군 의 크기이기 때문이다. 특히, 항상 가 성립한다. 여기서 항등원이다. 이를 이용하면 페르마의 소정리오일러의 정리를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 양의 정수 에 대하여, 서로소인 정수의 합동류들은 곱셈에 대하여 군이 되고, 이 군의 크기가 오일러 피 함수 에 대하여 이 되기 때문이다.

소수 크기의 군은 순환군이자 단순군이다. 즉, 유한군 에 대하여, 가 소수라고 하자. 그렇다면 를 취할 수 있으며, 이므로 이거나 이다. 그러나 이므로 이므로 이며, 즉 로 생성된 순환군이다. 마찬가지로, 임의의 부분군 에 대하여, 이거나 이며, 만약 이라면 , 만약 라면 이다. 즉, 는 자명 부분군이나 자기 자신이 아닌 부분군을 갖지 않으며, 특히 는 단순군이다.

역의 반례[편집]

유한군 와 양의 정수 가 주어졌고, 의 약수라고 할 때, 크기가 의 부분군이 존재할 필요는 없다. 예를 들어, 4차 교대군 의 크기는 12이며, 6은 12의 약수이지만, 는 크기가 6인 부분군을 갖지 않는다.[1]:145, §III.15, Example 15.6 그러나, 쉴로브 정리에 따르면, 가 소수의 거듭제곱일 경우 크기가 의 부분군은 항상 존재한다.

역사[편집]

라그랑주는 이 정리를 1771년 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다.[4] 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 이탈리아 수학자 피에트로 아바티 마레스코티(Pietro Abbati Marescotti)의 1803년 출판된 글에서였다.[5] 이 정리는 이후에 코시 정리가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다. 이 정리는 대수방정식에관한 갈루아 군의 중요한 성질인 고유분할(정규부분군)을 보여준다.

각주[편집]

  1. Fraleigh, John B. (2003). 《A First Course in Abstract Algebra》 (영어). Katz, Victor 역사적 주해 7판. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-76390-4. :100, §II.10, Theorem 10.10
  2. Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 개정 3판. New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001. :12, §I.3, Proposition 2.2
  3. Rose, Harvey E. (2009). 《A Course on Finite Groups》. Universitext (영어). London: Springer. doi:10.1007/978-1-84882-889-6. ISBN 978-1-84882-888-9. ISSN 0172-5939. :30, §2.3, Theorem 2.27
  4. agrange, J. L. (1771) "Réflexions sur la résolution algébrique des équations" (part II), Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, pages 138-254
  5. P. Abbati (1803) "Lettera di Pietro Abbati Modenese al socio Paolo Ruffini da questo presentata il di 16. Décembre 1802", Memorie di Matematica e di Fisica della Società Italiana delle Scienze, vol. 10 (part 2), pages 385-409.

외부 링크[편집]