라그랑주 정리 (군론)

군론에서, 라그랑주 정리(영어: Lagrange’s theorem)는 부분군의 크기가 이를 포함하는 군의 크기의 약수라는 정리다.

정의

임의의 군 $G$ 및 부분군 $H\leq G$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

$|G|=[G:H]|H|$

여기서 $[G:H]$는 $H$의 좌잉여류들의 집합의 크기(=우잉여류의 집합의 크기)이다. 이에 따라서, 부분군의 크기는 그 전체 군의 크기의 약수임을 알 수 있다.

이 정리는 ($G$가 무한군일 수 있는 경우) 선택 공리와 동치이다. 물론, 유한군의 경우 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

증명

H의 좌잉여류를 생각해 보면, G의 임의의 원소 a, b에 대해,

1. |aH| = |bH|.
2. 만약 aH∩bH가 공집합이 아니라면, aH = bH.

임을 쉽게 보일 수 있다. 따라서 G 상에서 'a와 b가 같은 H의 좌잉여류에 속한다'는 동치관계가 되므로, H의 좌잉여류들은 G를 분할한다. 모든 분할에 대해서 그 원소의 개수가 같고, 모두 더하면 |G|가 되므로 |H|는 |G|를 나눈다. 보다 형식적으로, G 상에서 H의 좌잉여류의 개수를 [G : H]라 쓰면 다음이 성립한다.

• $\left|G\right|=\left[G:H\right]\cdot \left|H\right|{\mbox{,}}$

역사

라그랑주는 이 정리를 1771년 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다. 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 이탈리아 수학자 피에트로 아바티 마레스코티(Pietro Abbati Marescotti)의 1803년 출판된 글에서였다. 이 정리는 이후에 코시의 정리가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다.

응용

이 정리의 중요한 따름정리 중 하나로, 다음과 같은 명제가 있다.

• 유한군 G의 임의의 원소 g에 대해 <g>의 위수는 G의 위수를 나눈다.

이는 <g> 역시 G의 부분군이 되므로 당연한 결과이다. 이를 이용하면 페르마의 소정리나 오일러의 정리를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 자연수 n에 대해 n과 서로소인 자연수들을 모은 집합은 곱셈에 대해 군이 되고, 이 군의 위수가 오일러 피 함수 Φ에 대하여 Φ(n)이 되기 때문이다.

• 유한군 G의 위수가 소수라면 G의 비자명 진부분군은 존재하지 않는다. 즉, 소수를 위수로 갖는 유한군 G의 부분군은 자명군과 비진부분군밖에 존재하지 않는다

증명 : 임의의 유한군 G의 위수가 소수라면, 라그랑주의 정리에 따라, 그의 부분군의 위수는 유한군 G의 위수를 나눠야한다. 하지만, 소수를 나누는 수는 1과 그 자신밖에 없으므로, 비자명하며 진부분군이 존재하지 않으며, 따라서 소수를 위수로 갖는 유한군 G의 부분군은 자명군과 비진부분군밖에 존재하지 않는다.

참고 문헌

• Fraleigh, John B.; Victor Katz (2003). 《A first course in abstract algebra》 (영어). Addison-Wesley. 

바깥 고리

• “Lagrange theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.