라그랑주 정리 (군론)

정수의 덧셈군의 몫군 $G$의 부분군 $H$와 그 잉여류들

군론에서, 라그랑주 정리(영어: Lagrange’s theorem)는 유한군의 부분군의 크기가 원래 군의 크기의 약수라는 정리다.^{:100, §II.10, Theorem 10.10:12, §I.3, Proposition 2.2:30, §2.3, Theorem 2.27}

정의

임의의 군 $G$ 및 부분군 $H\leq G$가 주어졌다고 하자. 라그랑주 정리에 따르면, 다음이 성립한다.

$|G|=|G:H||H|$

여기서 $|G:H|$는 $H$의 왼쪽 잉여류들의 집합의 크기이며 (이는 오른쪽 잉여류들의 집합의 크기와 같다), $|G:H|$와 $|H|$ 사이의 곱셈은 기수의 곱셈이다. 특히, $G$가 유한군일 경우, $|H|$는 $|G|$의 약수이다.

보다 일반적으로, 군 $G$의 부분군 $H\leq G$과 이에 대한 부분군 $K\leq H$에 대하여, 다음이 성립한다.

$|G:K|=|G:H||H:K|$

라그랑주 정리는 ($G$가 무한군일 수 있는 경우) 선택 공리와 동치이다. 물론, 유한군의 경우 이는 선택 공리 없이 증명할 수 있다.

증명

우선, 임의의 $g\in G$에 대하여, $|gH|=|H|$이다. 이는 함수

$H\to gH$

$h\mapsto gh\qquad (h\in H)$

가 전단사 함수이기 때문이다.

또한 $H$의 왼쪽 잉여류들의 집합 $G/H$는 $G$의 분할을 이룬다. 이는 다음과 같이 증명할 수 있다. 임의의 $g,g'\in G$에 대하여, 만약 $gH\cap g'H\neq \varnothing$이라면, $g''\in gH\cap g'H$인 $g''\in G$가 존재한다.

$g''=gh=g'h'$

인 $h,h'\in H$를 취하면

$gH=ghH=g''H=g'h'H=g'H$

이다. 이에 따라, $G$는 $G/H$ 속 서로 다른 왼쪽 잉여류들의 분리 합집합이다.

선택 공리에 의하여, 임의의 왼쪽 잉여류 $A\in G/H$에 대하여, $g_{A}\in A$인 군의 원소 $g_{A}\in G$를 취하는 함수 $g_{\bullet }\colon G/H\to G$가 존재하며, 이 경우 임의의 $A\in G/H$에 대하여 $A=g_{A}H$이다. ($G$가 유한군일 경우 이러한 함수의 존재는 수학적 귀납법에 의하여 증명할 수 있으므로 선택 공리가 필요하지 않다.) 따라서,

$|G|=\sum _{A\in G/H}|A|=\sum _{A\in G/H}|g_{A}H|=\sum _{A\in G/H}|H|=|G:H||H|$

가 성립한다.

만약 $G$가 유한군이라면, 위 등식의 $|G|$, $|G:H|$, $|H|$는 모두 양의 정수이므로, $|H|$는 $|G|$의 약수가 된다.

따름정리

유한군 $G$의 임의의 원소 $g\in G$가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $g$의 위수 $\operatorname {ord} g$는 $|G|$의 약수이다. 이는 $\operatorname {ord} g$가 순환 부분군 $\langle g\rangle \leq G$의 크기이기 때문이다. 특히, 항상 $g^{|G|}=1_{G}$가 성립한다. 여기서 $1_{G}$는 $G$의 항등원이다. 이를 이용하면 페르마 소정리나 오일러 정리를 쉽게 도출해낼 수 있는데, 임의의 양의 정수 $n$에 대하여, $n$과 서로소인 정수의 합동류들은 곱셈에 대하여 군이 되고, 이 군의 크기가 오일러 피 함수 $\phi$에 대하여 $\phi (n)$이 되기 때문이다.

소수 크기의 군은 순환군이자 단순군이다. 즉, 유한군 $G$에 대하여, $|G|=p$가 소수라고 하자. 그렇다면 $g\neq 1_{G}$인 $g\in G$를 취할 수 있으며, $\operatorname {ord} g\mid p$이므로 $\operatorname {ord} g=1$이거나 $\operatorname {ord} g=p$이다. 그러나 $g\neq 1_{G}$이므로 $\operatorname {ord} g\neq 1$이므로 $\operatorname {ord} g=p$이며, 즉 $G=\langle g\rangle$는 $g$로 생성된 순환군이다. 마찬가지로, 임의의 부분군 $H\leq G$에 대하여, $|H|=1$이거나 $|H|=p$이며, 만약 $|H|=1$이라면 $H=\{1_{G}\}$, 만약 $|H|=p$라면 $H=G$이다. 즉, $G$는 자명 부분군이나 자기 자신이 아닌 부분군을 갖지 않으며, 특히 $G$는 단순군이다.

역의 반례

유한군 $G$와 양의 정수 $d$가 주어졌고, $d$가 $|G|$의 약수라고 할 때, 크기가 $d$인 $G$의 부분군이 존재할 필요는 없다. 예를 들어, 4차 교대군 $\operatorname {Alt} (4)$의 크기는 12이며, 6은 12의 약수이지만, $\operatorname {Alt} (4)$는 크기가 6인 부분군을 갖지 않는다.^{:145, §III.15, Example 15.6} 그러나, 쉴로브 정리에 따르면, $d$가 소수의 거듭제곱일 경우 크기가 $d$인 $G$의 부분군은 항상 존재한다.

역사

라그랑주는 이 정리를 1771년 논문인 《방정식의 대수적 해법에 관한 고찰(Réflexions sur la résolution algébrique des équations)》에서 언급하였으나 증명은 하지 않았다. 이 정리가 최초로 완전하게 증명된 것은 이탈리아 수학자 피에트로 아바티 마레스코티(Pietro Abbati Marescotti)의 1803년 출판된 글에서였다. 이 정리는 이후에 코시 정리가 탄생하는 데 영감을 주기도 하였다.

외부 링크

• “Lagrange theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Lagrange's group theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.