가군

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환론에서, 가군(加群, 영어: module 모듈[*])은 어떤 의 작용이 주어진 아벨 군이다. 즉, 아벨 군의 구조와 환의 원소에 대한 곱셈이 주어지며, 이 두 구조가 분배 법칙을 통해 서로 호환되는 대수 구조이다. 가군의 개념은 체 위의 벡터 공간아벨 군의 개념의 공통적인 일반화이다. 가군 이론은 표현론과 밀접한 연관이 있으며, 가환대수학호몰로지 대수학의 주요 대상이며, 대수기하학대수적 위상수학에서 중요하게 사용된다.

정의[편집]

R 위의 좌가군(영어: left module) (M,+,r\cdot_{r\in R})은 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

R 위의 우가군은 그 반대환 R^{\operatorname{op}} 위의 좌가군이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다.

유사환 R 위의 (유사)가군은 환 위의 가군과 유사하게 정의되나, 항등원에 대한 조건이 생략된다.

함수 f_r : M \to Mf_r (x) = rx라고 하면 위의 조건 1에 의하여 M에서 M 자신으로의 군 준동형이 되고, f\colon R \rightarrow End(M)f(r)=f_r라고 하면, 나머지 세 조건에 의해 환 준동형이 된다. 여기에서 \operatorname{End}(M)M자기준동형환이다. 따라서 가군은 아벨 군에 환이 작용하는 것으로 볼 수 있으며, 이런 의미에서 보면 가군론은 군이 벡터 공간에 작용하는 경우를 다루는 군 표현론을 일반화한 것이다.

좌가군인 동시에 우가군이고, 왼쪽과 오른쪽에서 행해지는 연산이 서로 어울릴 경우 이를 양쪽가군(영어: bimodule)이라 한다. R가환환일 때는 좌가군과 우가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 R-가군이라고 한다.

가군의 크기[편집]

가군의 크기를 나타내는 여러 척도가 존재한다.

길이[편집]

가군의 길이는 부분 가군들의 사슬의 최대 길이이다.

크룰 차원[편집]

가환환 R 위의 가군의 크룰 차원은 가군을 \operatorname{Spec}R 위의 벡터 다발의 일종으로 여겨 대수기하학적으로 정의하는 차원의 개념이다.

계수[편집]

정역 R 위에 정의된 가군 M계수(영어: rank)는 다음과 같이 두 가지로 정의할 수 있으며, 두 정의는 서로 동치이다.[1]:84

  • \operatorname{rank}M=\dim_{\operatorname{Frac}R}\left(M\otimes_R\operatorname{Frac}R\right). 여기서 \operatorname{Frac}RR분수체이며, \dim_{\operatorname{Frac}R}R의 분수체 위의 벡터 공간의 차원이다.
  • \operatorname{rank}MMR-선형 독립 집합의 최대 크기이다. 여기서 R-선형 독립 집합이란 임의의 함수 f\colon B\in R에 대하여 만약 \{b\in B\colon f(r)\ne 0\}유한 집합이며 \textstyle\sum_{b\in B}f(r)b=0이라면 \{b\in B\colon f(r)\ne 0\}=\varnothing인 부분 집합 B\subseteq M을 말한다.

아벨 군계수는 정수환 위의 가군으로서의 계수와 같다. 마찬가지로, 위의 벡터 공간의 차원은 체 위의 가군으로서의 계수와 같다.

호몰로지 차원[편집]

호몰로지 대수학을 사용하여, 가군의 차원을 정의할 수 있다. 가군의 사영/단사 차원(영어: projective/injective dimension)은 가군의 사영/단사 분해의 길이들의 하한이다.

성질[편집]

정역 R 위의 가군의 짧은 완전열

0\to N\to M\to M/N\to0

이 주어졌을 때, 계수에 대한 다음과 같은 식이 성립한다.

\operatorname{rank}_RM=\operatorname{rank}_RN+\operatorname{rank}_R(M/N)

이는 정역분수체 \operatorname{Frac}RR평탄 가군이므로 \otimes\operatorname{Frac}R짧은 완전열을 보존하기 때문에, \operatorname{Frac}R 위의 벡터 공간의 완전열

0\to N\otimes\operatorname{Frac}R\to M\otimes\operatorname{Frac}R\to(M/N)\otimes\operatorname{Frac}R\to0

이 존재하기 때문이다.

범주론적 성질[편집]

R에 대하여, 좌가군의 범주를 R\text{-Mod}, 우가군의 범주를 \text{Mod-}R라고 한다. 이 경우, 범주의 동치

R^{\operatorname{op}}\text{-Mod}\simeq\text{Mod-}R

가 존재한다. 만약 R가 가환환일 경우, 좌우 구분 없이 \operatorname{Mod}_R로 쓴다.

R\text{-Mod}\text{Mod-}R 둘 다 아벨 범주를 이룬다. 가군의 범주에 존재하는 주요 연산은 다음과 같다.

영 대상 자명 가군 \{0\}
직접곱 \prod_{i\in I}M_i (유한곱은 직합과 같음)
쌍대곱 직합 \bigoplus_{i\in I}M_i (유한 직합은 직접곱과 같음)
텐서곱 가군의 텐서곱 \bigotimes_{i\in I}M_i

대수기하학적 성질[편집]

가환환 R 위의 가군은 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학에서, 가환환 R는 어떤 "공간" 위의 함수환으로 여겨지며, 이러한 공간은 구체적으로 환의 스펙트럼 \operatorname{Spec}R이라는 스킴이다. 스킴 \operatorname{Spec}R의 점들은 R소 아이디얼 \mathfrak p들이다.

R 위의 가군 M\operatorname{Spec}R 위의 가군층을 이룬다.[2]:110 이 가군층의 점 \mathfrak p 위의 올은 가군의 국소화 M_{\mathfrak p}이다.

만약 M이 유한 생성 사영 가군이라면, 이러한 가군은 세르-스완 정리에 따라서 유한 차원 대수적 벡터 다발로 생각할 수 있다. 만약 M자유 가군 R^{\oplus\kappa}라면, 이러한 가군은 자명한 대수적 벡터 다발을 이룬다.

종류[편집]

가환환 위의 가군들 가운데, 다음과 같은 특별한 종류의 가군들이 존재한다.

자유 가군사영 가군평탄 가군꼬임 없는 가군

만약 가환환이 특정 조건을 만족시킨다면, 이 개념들이 다음과 같이 동일해진다.

단사 가군은 사영 가군의 반대 개념이다. 단사 가군은 위 개념들과 함의 관계를 갖지 않는다.

단순 가군은 자명하지 않는 가군을 부분 가군으로 갖지 않는 가군이다. 이는 단순군이나 단순환과 유사한 개념이다.

유한 생성 가군(영어: finitely generated module)은 유한 생성 집합을 갖는 가군이다. 즉, R 위의 좌가군 M에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 유한 집합 B\subseteq M이 존재한다면, M을 유한 생성 가군이라고 한다.

  • 임의의 m\in M에 대하여, m=\sum_{b\in B}f(b)b인 함수 f\colon B\to R가 존재한다.

[편집]

특별한 환 위의 가군들은 특별한 이름을 갖는다.

가군
체 위의 벡터 공간
정수환 \mathbb Z 아벨 군
정수환몫환 \mathbb Z/(n) 모든 원소의 차수가 n배수아벨 군
자명환 0 자명 가군 0
  • 임의의 환 R은 스스로의 가군이다.
  • 자명군 \{0\}은 임의의 환의 가군을 이룬다. 이를 자명 가군(영어: trivial module)이라고 한다.
  • G에 대하여, 군환 R[G]R 위의 자유 가군을 이룬다.

참고 문헌[편집]

  1. Matsumura, Hideyuki (1989년 6월). 《Commutative ring theory》 (영어). Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8. Miles Reid 역 2판. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139171762. ISBN 978-0-521-36764-6. MR 1011461. 
  2. Hartshorne, Robin (1977). 《Algebraic geometry》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 52. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-0-387-90244-9. ISSN 0072-5285. MR 0463157. Zbl 0367.14001. 
  • Anderson, F.W.; K.R. Fuller (1992). 《Rings and categories of modules》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 13 2판. Springer. ISBN 0-387-97845-3. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]