완비 범주

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범주론에서, 완비 범주(完備範疇, 영어: complete category)는 집합 크기의 모든 극한들을 갖는 범주이다.

정의[편집]

범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 완비 범주라고 한다.

  • (작은 극한의 존재) 임의의 작은 범주 함자 에 대하여, 극한 를 갖는다.
  • 다음 두 조건이 성립한다.
    • (동등자의 존재) 임의의 두 사상 에 대하여, 동등자 가 존재한다.
    • (작은 곱의 존재) 임의의 의 대상들의 집합 에 대하여, 가 존재한다.

범주 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 쌍대 완비 범주라고 한다.

  • (작은 쌍대극한의 존재) 임의의 작은 범주 함자 에 대하여, 쌍대극한 를 갖는다.
  • 다음 두 조건이 성립한다.
    • (쌍대동등자의 존재) 임의의 두 사상 에 대하여, 쌍대동등자 가 존재한다.
    • (작은 쌍대곱의 존재) 임의의 의 대상들의 집합 에 대하여, 쌍대곱 가 존재한다.

범주 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 범주를 유한 완비 범주라고 한다.

  • (작은 극한의 존재) 유한 개의 대상 및 유한 개의 사상을 갖는 범주 함자 에 대하여, 극한 를 갖는다.
  • 다음 두 조건이 성립한다.
    • (동등자의 존재) 임의의 두 사상 에 대하여, 동등자 가 존재한다.
    • (유한 곱의 존재) 임의의 의 대상들의 유한 집합 에 대하여, 가 존재한다.
  • 다음 두 조건이 성립한다.
    • (당김의 존재) 임의의 에 대하여, 당김 가 존재한다.
    • (끝 대상의 존재) 끝 대상 가 존재한다.
  • 다음 세 조건이 성립한다.
    • (동등자의 존재) 임의의 두 사상 에 대하여, 동등자 가 존재한다.
    • (이항 곱의 존재) 임의의 의 두 대상 에 대하여, 가 존재한다.
    • (끝 대상의 존재) 끝 대상 가 존재한다.

성질[편집]

작은 범주에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 완비 범주이다.
  • 쌍대완비 범주이다.
  • 유한 완비 범주이다.
  • 유한 쌍대완비 범주이다.

또한, 작은 완비 범주는 항상 얇은 범주이다. 즉, 임의의 두 대상 사이의 사상의 수는 0개 아니면 1개이다.

모든 아벨 범주는 유한 완비 범주이자 유한 쌍대완비 범주이다.

[편집]

대수 구조 다양체의 범주는 모두 완비 범주이자 쌍대완비 범주이다. 예를 들어, 다음 범주들은 완비 범주이자 쌍대완비 범주이다.

  • 집합함수의 범주
  • 의 범주
  • 아벨 군의 범주
  • 의 범주
  • 가환환의 범주
  • 에 대하여, 위의 왼쪽 가군들의 범주

작은 범주들의 범주 역시 완비 범주이자 쌍대완비 범주이다.

부분 순서 집합 얇은 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

  • 는 완비 범주이다.
  • 완비 격자이다.

를 하나의 대상을 갖는 범주로 간주하였을 때, 다음 두 조건이 동치이다.

  • 는 완비 범주이다.
  • 자명군이다.

완비 범주가 아닌 범주[편집]

의 범주는 유한 완비 범주가 아니며, 유한 쌍대완비 범주도 아니다. 체의 범주에서는 일반적으로 이나 쌍대곱이 존재하지 않는다.

모든 순서수들의 얇은 범주는 쌍대완비 범주이지만, 끝 대상이 없으므로 완비 범주가 아니다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]