범주 (수학)

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범주론에서, 범주(範疇, 영어: category)는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 수학의 여러 분야를 공통적인 언어로 다룰 수 있게 한다.

정의[편집]

범주 \mathcal C는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 대상(對象, 영어: object)들의 모임 \operatorname{ob}(\mathcal C). 이 모임의 원소를 \mathcal C의 대상이라고 한다.
  • 사상(寫像, 영어: morphism)들의 모임 \hom(\mathcal C). 임의의 두 대상 a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여, a정의역으로, b공역으로 하는 사상들의 모임을 \hom(a,b)라 한다. f\in\hom(a,b)에 대하여 f\colon a\to b로 쓰고, "f는 a에서 b로의 사상이다"라고 한다.
  • 임의의 세 대상 a, b, c에 대해, 이항 연산 \hom(a,b)\times\hom(b,c)\to\hom(a,c). 이는 '사상의 합성'이라고 불린다. f: a → b와 g: b → c의 합성은 g\circ f 또는 gf 등으로 나타낸다.
  • 각 대상 a\in\operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여, 특별한 사상 \operatorname{id}_a\in\hom(a,a). 이는 a항등사상(영어: identity morphism)이라고 한다.

이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다.

  • (결합 법칙) 임의의 대상 a,b,c,d\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 및 사상 a\xrightarrow fb\xrightarrow gc\xrightarrow hd에 대하여, h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f
  • (항등원) 임의의 대상 a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C) 및 사상 f\colon a\to b에 대하여, \operatorname{id}_b\circ f=f\circ\operatorname{id}_a=f

작은 범주[편집]

범주 \mathcal C에 대하여, 다음을 정의한다.

  • 만약 \operatorname{ob}(\mathcal C)\hom(\mathcal C)가 둘 다 집합인 경우 (즉, 고유 모임이 아닌 경우), \mathcal C작은 범주(영어: small category)라고 한다.
  • 만약 임의의 X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여 \hom(X,Y)집합인 경우 (즉, 고유 모임이 아닌 경우), \mathcal C국소적으로 작은 범주(영어: locally small category)라고 하며, 사상 모임을 사상 집합(寫像集合, 영어: hom-set)이라고 한다.

작은 범주가 아닌 범주를 큰 범주(영어: large category)라고 한다. 집합함수의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.

만약 그로텐디크 전체를 사용하는 경우, 그로텐디크 전체 \mathcal U에 대하여, 다음과 같이 정의한다.

  • 만약 \operatorname{ob}(\mathcal C)\in\mathcal U이며 \hom(\mathcal C)\in\mathcal U인 경우, \mathcal C\mathcal U-작은 범주(영어: \mathcal U-small category)라고 한다.
  • 만약 임의의 X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)에 대하여 \hom(X,Y)\in\mathcal U인 경우, \mathcal C국소적으로 \mathcal U-작은 범주(영어: locally \mathcal U-small category)라고 한다.

[편집]

각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.

기호 대상 사상 사상 합성 항등 사상
Set 집합 함수 함수의 합성 항등 함수
Ord 원순서 집합 단조함수 함수의 합성 항등 함수
Mag 마그마 마그마 준동형 사상 함수의 합성 항등 준동형 사상
Grp 군 준동형 사상 함수의 합성 항등 준동형 사상
Ab 아벨 군 군 준동형 사상 함수의 합성 항등 준동형 사상
VectK (K) K 위의 벡터 공간 선형 변환 함수의 합성 항등 선형 변환
Top 위상 공간 연속 함수 함수의 합성 항등 함수
Cat 작은 범주 함자 함자의 합성 항등 함자
Rel 집합 관계 a(\sim_2\circ\sim_1)b\iff\exists c\colon a\sim_1 c\sim_2 b 등호 =
부분 순서 집합 (P,\le) P의 원소 x\le y이면 \hom(x,y)=\{(x,y)\}, 아니면 \hom(x,y)=\varnothing (y,z)\circ(x,y)=(x,z) \operatorname{Id}_x=(x,x)
모노이드 (M,\cdot,1_M) \operatorname{ob}(M)=\{\bullet\} (임의의 유일한 대상) M의 원소 모노이드 이항 연산 m\circ n=m\cdot n 모노이드 항등원 1_M
\mathcal C^{\operatorname{op}} (\mathcal C는 임의의 범주) \mathcal C의 대상 \hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X) f\circ_{\mathcal C^{\operatorname{op}}} g=g\circ_{\mathcal C} f \mathcal C의 항등 사상
\mathbb 0 없음 (공집합) 없음 (공집합)
\mathbb 1 \bullet (하나의 대상) \operatorname{id}_\bullet (하나의 사상) ­— \operatorname{id}_\bullet
\mathbb 2 \{0,1\} (두 개의 대상) a\colon 0\to1, \operatorname{id}_0, \operatorname{id}_1 (세 개의 사상) \operatorname{id}_0, \operatorname{id}_1

역사[편집]

사무엘 에일렌베르크손더스 매클레인이 1945년에 도입하였다.[1] 이에 대하여 에일렌베르크와 매클레인은 다음과 같이 적었다.

범주를 정의한 이유는 함자를 정의하기 위해서이고, 함자를 정의한 이유는 자연 변환을 정의하기 위해서이다.
[…] “category” has been defined in order to be able to define “functor” and “functor” has been defined in order to be able to define “natural transformation”.
 
[2]:18

참고 문헌[편집]

  1. Eilenberg, Samuel; Saunders Mac Lane (1945년 9월). “General theory of natural equivalences”. 《Transactions of the American Mathematical Society》 58 (2): 231–294. doi:10.2307/1990284. 
  2. Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

바깥 고리[편집]