범주 (수학)

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범주(範疇, 영어: category)는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 여러 분야를 한데 묶는 개념으로서 작용한다. 범주론은 범주를 연구하는 수학의 분야이다.

정의[편집]

다음의 요소들로 이루어진 구조 C를 생각하자.

  • 대상(object)들의 모임 ob(C). (ob(C)의 원소를 'C의 대상'이라고 한다.)
  • 사상(morphism)들의 모임 hom(C). 각 사상 f에 대해 유일한 '정의역' a와 '공역' b가 존재한다. (여기에서 a와 b는 C의 대상.) 이때 f: a → b로 쓰고, "f는 a에서 b로의 사상이다"라고 한다. a에서 b로의 모든 사상들의 모임을 hom(a, b)로 쓰고, 이를 사상모임(hom-class)이라고 한다. (일부 저자는 Mor(a, b)로 쓰기도 한다.)
  • 임의의 세 대상 a, b, c에 대해, 이항연산 hom(a, b) × hom(b, c) → hom. 이는 '사상의 합성'이라고 불린다. f: a → b와 g: b → c의 합성은 g o f 혹은 gf 등으로 나타낸다. (일부 저자는 fg나 f;g로 나타내기도 한다.)

이때 다음의 조건들이 만족되면 C를 범주라고 한다:

  • (결합법칙) f: a → b, g: b → c, h: c → d이면 h o (g o f) = (h o g) o f.
  • (항등원) 임의의 대상 x에 대해, 유일한 사상 1x: x → x이 존재하여 임의의 사상 f: a → b에 대해 1b o f = f = f o 1a이다. 여기에서 1x를 'x의 항등사상'이라고 한다.

위의 조건들을 이용해, 모든 대상에 대해 항등사상이 유일하게 존재함을 증명할 수 있다. 일부 저자는 각 대상이 그 위의 항등사상과 동일하도록 정의하기도 한다.

작은 범주는 ob(C)와 hom(C)가 둘 다 집합인 경우, 즉 진모임이 아닌 경우를 말한다. 작은 범주가 아닌 범주를 큰 범주라고 한다. 임의의 대상 a와 b에 대해 사상모임 hom(a,b)가 집합인 범주를 국소적으로 작은 범주라고 하며, 이 경우 사상모임을 사상집합(hom-set)이라고 한다.. 집합의 범주를 비롯해 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 (비록 작은 범주는 아닐 수 있으나) 국소적으로 작다.

가환그림의 영향으로, 범주의 사상을 '화살표'(arrow)라고 부르기도 한다.

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각 범주는 대상이 무엇인지, 사상이 무엇인지, 그리고 사상들이 어떻게 합성되는지에 의해 결정된다.

  • Set은 집합들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 집합 사이의 함수이며, 그들 사이의 합성은 일반적인 함수의 합성으로 정의된다. (아래는 Set에 추가적인 구조를 준 뒤, 사상들이 그 구조를 보존하도록 제한하여 만들어지는 범주들이다. 이런 범주를 명확한 범주(concrete category)라고 한다.)
  • Cat은 작은 범주들을 대상으로 갖는 범주로, 사상은 함자이다.
  • Rel은 집합들을 대상으로 하는 범주로, 사상은 관계이다.
  • 임의의 원순서집합 (P, ≤)에 대해, P의 각 원소를 대상으로 놓고 x ≤ y일 때 x에서 y로의 사상이 있는 것으로 하면 이는 작은 범주가 된다.
  • 임의의 범주 C에 대해, 대상은 그대로 놓고 모든 사상의 방향을 반대로 바꾸면 C의 쌍대 범주 Cop가 된다.