전사 사상

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범주론에서, 전사 사상(全射寫像, 영어: epimorphism)은 두 사상의 등식에서 오른쪽에서 합성되어 있을 때, 소거할 수 있는 사상이다. 단사 사상의 반대 개념이다.

정의[편집]

범주 의 사상 가 다음 조건을 만족시키면, 전사 사상이라고 한다.

  • 임의의 대상 및 사상 에 대하여, 만약 라면 이다.

정규 전사 사상[편집]

영 사상을 갖는 범주 에서, 어떤 사상 여핵 으로 나타낼 수 있는 사상을 정규 전사 사상(영어: normal epimorphism)이라고 한다. 정규 전사 사상은 (쌍대극한이므로) 항상 전사 사상이다.

강한 전사 사상[편집]

범주 에서, 강한 전사 사상(強-全射寫像, 영어: strong epimorphism)은 모든 단사 사상에 대하여 왼쪽 유일 올림 성질을 만족시키는 전사 사상이다. 즉, 전사 사상 가 다음 조건을 만족시킨다면 강한 전사 사상이라고 한다.

임의의 가환 사각형
에서 단사 사상이라면, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 대각 사상 가 존재한다.

성질[편집]

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

동형 사상유효 전사 사상정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 전사 사상
동형 사상분할 전사 사상정칙 전사 사상 ⊆ 강한 전사 사상 ⊆ 전사 사상

분할 전사 사상정칙 전사 사상인 이유는 분할 전사 사상 및 그 오른쪽 역사상 이 주어졌을 때 이기 때문이다.

요네다 매장[편집]

요네다 매장을 통하여, 전사 사상의 조건을 준층 범주에서 해석할 수 있다. 즉, 국소적으로 작은 범주 속의 사상 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

  • 는 전사 사상이다.
  • 임의의 대상 에 대하여, 사상 집합 사이의 함수 단사 함수이다.
  • 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 로 가는 요네다 매장 함자 아래서, 의 상 은 쌍대 준층 토포스 에서의 단사 사상 (즉, 쌍대 준층 토포스의 반대 범주 에서의 전사 사상)이다.

반대 범주[편집]

범주 의 전사 사상은 그 반대 범주 단사 사상이다.

[편집]

구체적 범주에서, 함수로서 전사 함수인 사상은 항상 전사 사상이다. 그러나 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 모든 전사 사상이 전사 함수인 구체적 범주로는 다음와 같은 예를 들 수 있다.

전사 함수가 아닌 전사 사상이 존재하는 구체적 범주로는 다음와 같은 예를 들 수 있다.

  • 모노이드의 범주 에서, 자연수의 덧셈 모노이드에서 정수의 덧셈 모노이드로 가는 포함 함수 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다. 보다 일반적으로, 모노이드 의 군화 (망각 함자의 왼쪽 수반 함자) 가 주어졌을 때, 포함 모노이드 준동형 는 항상 전사 사상이자 단사 사상이자 단사 함수이지만, (이 군이 아니라면) 전사 함수가 아니다.
  • 의 범주 에서, 포함 함수 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.
  • 하우스도르프 공간의 범주 에서, 전사 사상은 조밀 집합연속 함수이다. 예를 들어, 포함 함수 는 전사 함수가 아니지만 전사 사상이다.

집합의 범주[편집]

집합함수토포스 에서는 다음이 성립한다.

(이 범주에서는 영 사상이 존재하지 않아, 정규 단사 사상을 정의할 수 없다.)

군의 범주[편집]

군 준동형의 범주 에서는 다음이 성립한다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]