등급환

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환론에서, 등급환(等級環, 영어: graded ring)은 그 원소들이 어떤 등급(等級, 영어: grade)을 가진 이다.

정의[편집]

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.

이 구조가 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

  • A_mA_n\subseteq A_{mn}\qquad(\forall m,n\in N)
  • \phi(K)\subseteq A_0

이 경우, AN등급을 가진 등급 대수(영어: graded algebra)라고 한다. K=\mathbb Z (정수환) 위의 단위 결합 대수이므로, \mathbb Z 위의 등급 대수는 등급환(영어: graded ring)이라고 한다.

등급환 A의 원소 a\in A는 다음과 같이 두 종류로 나뉜다.

  • 만약 a\in A_nn\in N이 존재할 경우 a동급 원소(同級, 영어: homogeneous element)라고 하고, na등급이라고 한다.
  • 만약 a\in A_nn이 존재하지 않을 경우 a비동급 원소(영어: inhomogeneous element)라고 한다. 예를 들어, 서로 다른 등급의 두 동급 원소들의 합은 비동급 원소다.

통상적으로, 등급의 종류가 주어지지 않았을 경우 N=\mathbb N (음이 아닌 정수들의 덧셈에 대한 모노이드)라고 놓는다. 등급이 \mathbb Z/2 (2차 순환군)인 경우, 등급 대수를 초대수(영어: super-algebra)라고 부르기도 한다.

성질[편집]

가환 모노이드 (N,+)가 추가로 가환 반환의 구조 (N,+,\cdot)를 가진다고 하자. 또한, 다음과 같은 모노이드 준동형이 존재한다고 하자.

\sigma\colon(N,+)\to\left(\{k\in K\colon k^2=1\},\cdot\right)

만약 (N,+)-등급 K-대수 A가 다음 조건을 만족시킨다면, K등급 가환 대수(영어: graded-commutative algebra)라고 한다.

ab=\sigma(mn)ba\qquad\forall a\in A_m,\;b\in A_n

물론, 만약 K표수가 2 또는 1이라면 (즉, +1=-1이라면) 등급 가환 등급 대수의 개념은 가환 등급 대수의 개념과 일치한다.

연산[편집]

직합[편집]

가환환 K와 모노이드 N, N'이 주어졌을 때, N-등급 K-대수 AN'-등급 K-대수 A'직합(영어: direct sum) A\oplus A'은 다음과 같은 N\times N'-등급 K-대수이다.

텐서곱[편집]

가환환 K와 가환 모노이드 (N,+)이 주어졌을 때, N-등급 K-대수 A, A'텐서곱(영어: tensor product) A\otimes_KA'은 다음과 같은 N-등급 K-대수이다.

보다 일반적으로, N이 가환 모노이드이며, 그 위에 추가로 가환 반환의 구조가 주어졌다고 하자. 즉, 이 경우 (N,+)-등급 K-대수 A에 대하여

A_mA_n\subseteq A_{m+n}

이 된다. 또한, 모노이드 준동형

\sigma\colon(N,+)\to\left(\{k\in K\colon k^2=1\},\cdot\right)

이 주어졌다고 하자. 그렇다면 두 (N,+)-등급 K-대수 A, A'에 대하여 등급 텐서곱(영어: graded tensor product) A\hat\otimes_KA'은 다음과 같은 N-등급 K-대수이다.

이는 흔히 N=\mathbb Z 또는 N=\mathbb N 또는 N=\mathbb Z/2이며,

\sigma\colon n\mapsto (-1)^n

인 경우 사용된다.

두 등급 가환 \mathbb Z/2-등급 K-대수 A, A'이 주어졌을 때, 등급 텐서곱 A\hat\otimes_KA' 역시 등급 가환 대수를 이룬다. 그러나 텐서곱 A\otimes_KA'는 일반적으로 등급 가환 대수가 아니다.

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