결합 대수

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추상대수학에서, 결합 대수(結合代數, 영어: associative algebra)는 결합 법칙을 만족시키는 대수이다. 즉, 가군유사환의 구조를 동시에 갖춘 대수 구조이다. 가군아벨 군을 일반화하는 것처럼, 단위 결합 대수는 을 일반화한다.

정의[편집]

유사 결합 대수[편집]

가환 유사환 위의 유사 결합 대수(영어: (possibly) non-unital associative algebra) 는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

  • 가군을 이룬다.
  • 유사환을 이룬다.

이는 다음과 같은 추가 공리를 만족시켜야 한다.

  • 모든 에 대하여,

이는 유사환의 준동형 과 같다. 여기서 중심이다.

유사 결합 대수의 준동형를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 유사환의 준동형을 이루는 함수이다. 유사 결합 대수와 유사 대수 준동형의 범주를 이라고 하자.

결합 대수[편집]

가환환 위의 (단위) 결합 대수(單位結合代數, 영어: (unital) associative algebra) 는 다음과 같은 데이터로 구성된 대수 구조이다.

  • 위의 결합 대수를 이룬다.
  • 을 이룬다.

이는 환 준동형 과 같다. 여기서 중심이다.

결합 대수의 준동형를 보존시키는 함수이다. 즉, 가군의 준동형이자 환 준동형을 이루는 함수이다. 이들은 유사 결합 대수의 준동형 가운데, 단위원을 추가로 보존하는 것들이다. 결합 대수와 결합 대수 준동형의 범주를 이라고 하자.

가환 대수[편집]

가환환 위의 결합 대수 가운데, 가환환인 것을 가환 대수(영어: commutative algebra)라고 한다. 위의 단위 가환 대수 은 가환환 준동형 과 같다.

성질[편집]

결합 대수의 모임과 유사 결합 대수의 모임 둘 다 대수 구조 다양체를 이루며, 이에 따라 곱 · 쌍대곱 · 시작 대상 · 끝 대상의 존재를 알 수 있다.

구조 유사 결합 대수 결합 대수
시작 대상 영가군
끝 대상 영가군 영가군
유사환으로서의 곱 (유사)환으로서의 곱
쌍대곱 결합 대수의 자유곱 단위 결합 대수의 자유곱

즉, 유사 결합 대수의 범주는 영 대상을 가지지만, 결합 대수의 경우는 시작 대상끝 대상이 서로 다르다. 두 범주에서 곱은 서로 같으며, 곱집합과 호환되지만, 쌍대곱은 서로 다르다.

또한, (유사) 결합 대수의 범주에는 텐서곱 이 존재하며, 이는 위의 가군텐서곱과 같다. 이에 따라 결합 대수의 범주는 대칭 모노이드 범주를 이룬다.

망각 함자[편집]

유사 결합 대수의 범주에서 유사환의 범주로 가는 망각 함자

및 결합 대수의 범주에서 환의 범주로 가는 망각 함자

가 존재한다. 후자의 왼쪽 수반 함자이다.

또한, 결합 대수의 범주에서 유사 결합 대수의 범주로 가는 망각 함자

가 존재한다. 이 함자의 왼쪽 수반 함자는 단위원이 없는 유사 결합 대수

로 대응시킨다 (아벨 군직합). 이 경우, 위의 연산은 다음과 같다.

분류[편집]

복소수체 위의 5차원 이하의 (유사) 결합 대수는 모두 완전히 분류되었다.[1]

3차원 이하 복소수 결합 대수[편집]

위의 1차원 결합 대수는 자체 밖에 없다. 위의 2차원 단위 결합 대수는 두 개가 있으며, 다음과 같다.

둘 다 가환 대수이므로, 대수기하학적으로 해석할 수 있다. 대수기하학적으로, 전자는 두 개의 닫힌 점 으로 구성되어 있으며, 후자는 (축소환이 아니므로) 원점을 닫힌 점으로 하는 비축소 스킴이다. 이 둘은 각각 1차원 복소수 벡터 공간 위의 비퇴화 이차 형식 · 퇴화 이차 형식에 대한 클리퍼드 대수이다.

위의 3차원 결합 대수는 다섯 개가 있으며, 다음과 같다.

이 가운데 처음 네 개는 가환 대수이며, 마지막 하나는 비가환 대수이다.

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환론[편집]

특별한 가환환 위의 (유사) 결합 대수는 다음과 같은 특별한 이름이 있다.

가환환 위의 유사 결합 대수 위의 결합 대수
정수환 유사환
표수의 약수인 유사환 () 표수의 약수인 환

모든 는 스스로의 중심 에 대한 결합 대수를 이룬다. 또한, 임의의 가환환 에 대하여 환 준동형 가 주어졌다면, 위의 결합 대수를 이룬다. 특히, 가환환의 준동형 가 주어졌다면, 위의 가환 결합 대수를 이룬다.

추가 구조를 갖는 대수[편집]

리 대수보편 포락 대수는 결합 대수이다. 마찬가지로, 클리퍼드 대수외대수는 결합 대수이다.

복소수체 사원수 대수 는 실수 위의 결합 대수이다. 복소수체에서 사원수 대수로 가는 포함 관계 를 잡으면, 사원수 대수는 복소수체 위의 결합 대수를 이룬다.

함수 대수[편집]

위상환이라고 하자. 위상 공간 위의 연속 함수 의 집합은 자연스럽게 위의 결합 대수의 구조가 존재한다.

마찬가지로, 매끄러운 다양체 위의 매끄러운 함수의 집합 은 실수체 위의 결합 대수의 구조를 가진다.

참고 문헌[편집]

  1. Rakhimov, I. S.; Rikhsiboev, I. M.; Basri, W. “Complete lists of low dimensional complex associative algebras” (영어). Bibcode:2009arXiv0910.0932R. arXiv:0910.0932. 

외부 링크[편집]

같이 보기[편집]