사영 가군

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환론에서, 사영 가군(射影加群, 영어: projective module)은 자유 가군직합으로 분해하였을 때의 한 성분으로 나타낼 수 있는 가군이다. 가군의 범주에서의 사영 대상이다.

정의[편집]

위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 사영 왼쪽 가군이라고 한다.

  • 모든 짧은 완전열 분할 완전열이다.
  • 자유 가군왼쪽 가군 가 존재한다.
  • 함자 완전 함자이다. 여기서 아벨 군들의 범주이다.
  • 모든 가군 준동형 전사 가군 준동형 에 대하여, 인 가군 준동형사상 이 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)

마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 사영 오른쪽 가군을 정의할 수 있다.

국소 자유 가군[편집]

가환환 위의 가군 이 다음 조건을 만족시킨다면 점별 자유 가군(영어: pointwise free module)이라고 한다.

  • 모든 소 아이디얼 에 대하여 -자유 가군이다.

가환환 위의 가군 이 다음 조건을 만족시킨다면 국소 자유 가군(영어: locally free module)이라고 한다.

  • 모든 소 아이디얼 에 대하여, -자유 가군이 되는 가 존재한다.

이 개념들은 가군층에 대하여 일반화할 수 있다. 일반적으로, 환 달린 공간 위의 -가군층 가 다음 조건을 만족시킨다면, 점별 자유 가군층(영어: pointwise free sheaf of modules)이라고 한다.

  • 모든 점 에 대하여 줄기 -자유 가군이다.

환 달린 공간 위의 -가군층 가 다음 조건을 만족시킨다면, 국소 자유 가군층(局所自由加群層, 영어: locally free sheaf of modules, 프랑스어: faisceau de modules localement libre)이라고 한다.[1]:48, (5.4.1)

  • 모든 점 에 대하여, 가 되는 열린 근방 기수 가 존재한다.

성질[편집]

일반적 환의 경우[편집]

(비가환일 수 있는, 1을 갖는) 위의 왼쪽 가군 에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

자유 가군 ⊂ 사영 가군 ⊂ 평탄 가군꼬임 없는 가군

가환환의 경우[편집]

국소 가환환이나 주 아이디얼 정역의 경우, 모든 사영 가군은 자유 가군이다.

가환환 위의 가군에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

사영 가군 ⊂ 점별 자유 가군
국소 자유 가군 ⊂ 점별 자유 가군

가환환 위의 유한 생성 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 사영 가군이다.
  • 국소 자유 가군이다.

세르-스완 정리에 따르면, 가환환 위의 유한 생성 사영 가군의 범주는 위의 유한 계수 국소 자유 가군층들의 범주와 동치이다.

가환환 위의 유한 표시 가군에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 국소 자유 가군이다.
  • 점별 자유 가군이다.
  • 사영 가군이다.
  • 평탄 가군이다.

특히, 뇌터 가환환 위의 모든 유한 생성 가군유한 표시 가군이므로, 이 경우 위 조건들이 서로 동치이게 된다.

계수[편집]

점별 자유 가군층 에서의 계수(영어: rank)는 -자유 가군 의 계수이며, 이는 함수

를 정의한다. (여기서 는 모든 기수모임이다.)

(의 충분히 큰 부분 집합)에 이산 위상을 부여하였을 때, 만약 가 국소 자유 가군층이라면 계수 함수 는 (정의에 따라) 연속 함수이다.

[편집]

멱등원이라고 하자 (즉, 를 만족시킨다고 하자). 그렇다면 로부터 생성되는 왼쪽 아이디얼 의 사영 왼쪽 가군이다.

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]