세르-스완 정리

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수학에서, 세르-스완 정리(영어: Serre–Swan theorem)은 콤팩트 공간 위의 유한생성 벡터다발연속함수 대수의 유한생성 사영 가군이 동등하다는 정리다.

정의[편집]

위상수학대수기하학 두 경우 유사한 세르-스완 정리가 존재한다.

위상수학의 세르-스완 정리[편집]

M콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하고, C(M)이 그 위에 존재하는 실연속함수 M\to\mathbb R들의 C* 대수라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.

그렇다면 세르-스완 정리에 따라, \operatorname{Vect}(M)\operatorname{ProjMod}(C(M))은 서로 동치이다. 즉, 모든 벡터다발은 C(M)의 유한생성 사영 가군에 대응하고, 반대로 모든 C(M)의 유한생성 사영 가군은 M 위의 벡터다발에 대응한다.

  • E\to M벡터다발이라고 하자. 그렇다면 그 단면(section)들의 벡터공간 \Gamma(E)C(M)에 대한 가군을 이룬다. 즉, 임의의 f\in C(M)s\in\Gamma(E)에 대하여, fsfs|_x=f(x)s|_x\in E_x로 정의한다. 이는 \operatorname{Vect}(M)\to\operatorname{ProjMod}(C(M))으로 가는 함자다.

대수기하학의 세르-스완 정리[편집]

환 달린 공간 (X,\mathcal O)위의 (대수적) 벡터다발(영어: (algebraic) vector bundle)은 다음 조건들을 만족시키는, 아벨 군 값을 가지는 \mathcal F이다.

다시 말해, 대수적 벡터다발은 유한 차원 국소 자유 \mathcal O-가군이다. 뇌터 스킴 위의 대수적 벡터다발은 연접층을 이룬다.

R이 (단위원을 가진) 가환 뇌터 환이라고 하자. 그 스펙트럼 (X,\mathcal O_X)\cong\operatorname{Spec}R은 뇌터 아핀 스킴을 이룬다.

그렇다면 다음과 같은 두 범주를 생각할 수 있다.

그렇다면 세르-스완 정리에 따라, 이 두 범주들은 서로 동치이다. 그 동치는 구체적으로 다음과 같다.

  • 대수적 벡터다발 \mathcal F\in\operatorname{Vect}(X)가 주어지면, 그 단면들 \Gamma(X,\mathcal F)R\cong\Gamma(X,\mathcal O_X)의 유한생성 사영 가군을 이룬다.

역사[편집]

장피에르 세르가 유명한 1955년 논문 〈대수연접층〉[1]:§50에서 대수기하학의 세르-스완 정리를 증명하였다. 위상수학적 세르-스완 정리는 리처드 스완(영어: Richard G. Swan)이 1962년에 증명하였다.[2]

응용[편집]

세르-스완 정리는 기하학/위상수학적인 구조(벡터다발)을 그 함수 대수에 대한 순수하게 대수적인 구조와 대응시킨다. 예를 들어, 연산자 K이론(operator K-theory)은 위상 K이론에서 다루는 벡터다발의 K군들을 함수 대수의 가군들을 통하여 함수해석학적으로 정의한다. 또한, 이러한 대수적인 구조는 "함수 대수"가 가환환이 아닐 경우에도 쉽게 확장할 수 있다. 이를 통하여, 비가환 공간의 "벡터다발" 및 K이론을 대수적으로 정의할 수 있다.

참고 문헌[편집]

  1. (프랑스어) Serre, Jean-Pierre (1955년). Faisceaux algébriques cohérents. 《Annals of Mathematics》 61 (2): 197–278. doi:10.2307/1969915. MR0068874. ISSN 0003-486X.
  2. (영어) Swan, Richard G. (1962년). Vector bundles and projective modules. 《Transactions of the American Mathematical Society》 105 (2): 264–277. doi:10.2307/1993627. ISSN 0002-9947.