뇌터 환

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환론에서, 뇌터 환(Noether環, 영어: Noetherian ring)은 아이디얼들이 오름 사슬 조건을 만족하는 이다. 대략, 체 위의 유한 개의 변수에 대한 다항식환처럼, "지나치게 크지 않은" 환을 뜻한다.

정의[편집]

뇌터 가군[편집]

R 위의 좌·우 가군 M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 좌·우 가군을 좌·우 뇌터 가군(영어: left/right Noetherian module)이라고 한다.

  • M의 부분 가군들의 격자 \operatorname{Sub}(M)오름 사슬 조건을 만족시킨다.[1]:20
  • M의 모든 부분 가군이 유한 생성 가군이다. 즉, 임의의 부분 가군 N\subseteq M에 대하여, (좌가군일 경우) N=Rm_1+\cdots+Rm_k 또는 (우가군일 경우) N=m_1R+\cdots+m_kRm_1,\dots,m_k\in M이 존재한다.[1]:20, (1.18)

가환환 위의 가군의 경우, 좌·우 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

뇌터 환[편집]

스스로 위의 좌가군으로서 뇌터 가군인 환을 좌 뇌터 환(영어: left Noetherian ring)이라고 한다. 마찬가지로, 스스로 위의 우가군으로서 뇌터 가군인 환을 우 뇌터 환(영어: right Noetherian ring)이라고 한다. 좌 뇌터 환이자 우 뇌터 환인 환을 뇌터 환(영어: Noetherian ring)이라고 한다.

가환환의 경우 좌 아이디얼과 우 아이디얼의 구분이 없으므로, 좌 뇌터 환 · 우 뇌터 환 · 뇌터 환의 개념이 전부 일치한다.

성질[편집]

뇌터 가군[편집]

R 위의 좌가군 M 및 부분 가군 N\subseteq M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:20, (1.20)

  • M이 뇌터 가군이다.
  • NM/N 둘 다 뇌터 가군이다.

(아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

좌 뇌터 환 R 위의 유한 생성 좌가군은 뇌터 가군이다.[1]:21, Proposition 1.21 (아르틴 가군에 대해서도 유사한 조건이 성립한다.)

R 위의 좌가군 M에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:20, (1.19)

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

뇌터 가환환[편집]

가환환 R에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

  • 뇌터 환이다.
  • 모든 소 아이디얼 \mathfrak p\in\operatorname{Spec}R이 유한 생성 아이디얼이다.

만약 R가 뇌터 가환환이라면, 다음 가환환들 역시 뇌터 가환환이다.

모든 데데킨트 정역은 뇌터 환이다. (따라서, 모든 주 아이디얼 정역, 유클리드 정역, , 이산 값매김환은 데데킨트 정역이므로 뇌터 가환환이다.) 모든 정칙 국소환은 뇌터 환이다.

반면, 뇌터 환이 아닌 유일 인수 분해 정역이나 뇌터 환이 아닌 값매김환이 존재한다.

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뇌터 벡터 공간[편집]

K 위의 가군(벡터 공간)의 경우 다음 세 조건이 서로 동치이다.

우 뇌터 환이 아닌 좌 뇌터 환[편집]

무한 차수의 체의 확대

L/K
\dim_KL\ge\aleph_0

가 주어졌다고 하자. (예를 들어, L/K=\mathbb R/\mathbb Q를 잡을 수 있다.) 그렇다면 삼각 행렬

\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}

를 생각하자. 이는 좌 뇌터 환이자 좌 아르틴 환이지만, 우 뇌터 환이나 우 아르틴 환이 아니다.[1]:22, Corollary 1.24

역사[편집]

에미 뇌터는 1921년 논문[2]에서 환의 아이디얼의 오름 사슬 조건을 분석하였다. 훗날 뇌터를 기념하여 이 환들이 "뇌터 환"이라고 불려지게 되었다.

참고 문헌[편집]

  1. Lam, Tsi-Yuen (2001). 《A first course in noncommutative rings》 (영어). Graduate Texts in Mathematics 131 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 978-0-387-95183-6. ISSN 0072-5285. 
  2. Noether, Emmy (1921). “Idealtheorie in Ringbereichen” (독일어). 《Mathematische Annalen》 83 (1–2): 24–66. doi:10.1007/BF01464225. ISSN 0025-5831. 

바깥 고리[편집]

같이 보기[편집]