C* 대수

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함수해석학에서, C* 대수(시스타 대수, 영어: C*-algebra)는 대합이 갖추어진 복소 바나흐 대수이다.

정의[편집]

C* 대수 는 다음 공리를 만족하는 대합 가 갖추어진 복소 바나흐 대수다. 임의의 , 에 대하여,

  • (덧셈과의 호환성)
  • (곱셈과의 호환성)
  • (스칼라곱과의 호환성)
  • (노름과의 호환성)

"노름과의 호환성" 공리를 C* 항등식(영어: C* identity)이라고 한다. 이 공리로부터 다음을 보일 수 있다.

  • .

이를 B* 항등식(영어: B* identity)이라고 한다. 다른 나머지 공리들이 주어졌을 때 C* 항등식과 B* 항등식 조건은 서로 동치이나, 이를 보이는 것은 쉽지 않다.

곱셈에 대한 단위원 이 존재하는 C* 대수를 단위원이 있는 C* 대수(영어: unital C*-algebra)라고 한다.

C* 대수의 원소[편집]

가 C* 대수라고 하고, 라고 하자.

  • 만약 가 존재하여 라면, 음이 아닌 원소(영어: nonnegative element)라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다.
  • 만약 라면, 자기수반 원소(영어: self-adjoint element)라고 한다. 자기수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다.

이제부터 가 단위원을 갖는 C* 대수라고 하자.

  • 인 원소 가 존재한다면, 가역 원소(영어: invertible element)라고 한다. 가역 원소가 아닌 원소를 비가역 원소(영어: noninvertible element)라고 한다.
  • 이라면, 유니터리 원소(영어: unitary element)라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다.
  • 스펙트럼(영어: spectrum) 가 비가역 원소인 들의 집합이다. 일반적으로, 이다.
  • 의 스펙트럼의 절댓값들의 상한 스펙트럼 반지름(영어: spectral radius)이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다.

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]