C* 대수

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함수해석학에서, C* 대수(시스타 대수, 영어: C*-algebra)는 대합이 갖추어진 복소 바나흐 대수이다.

정의[편집]

C* 대수 A는 다음 공리를 만족하는 대합 ^*\colon A\to A가 갖추어진 복소 바나흐 대수다. 임의의 x,y\in A, \lambda\in\mathbb C에 대하여,

  • (덧셈과의 호환성) (x+y)^*=x^*+y^*
  • (곱셈과의 호환성) (xy)^*=y^*x^*
  • (스칼라곱과의 호환성) (\lambda x)^*=\bar\lambda x^*
  • (노름과의 호환성) \Vert x^*x\Vert=\Vert x\Vert\Vert x^*\Vert

"노름과의 호환성" 공리를 C* 항등식(영어: C* identity)이라고 한다. 이 공리로부터 다음을 보일 수 있다.

  • \Vert x\Vert=\Vert x^*\Vert.

이를 B* 항등식(영어: B* identity)이라고 한다. 다른 나머지 공리들이 주어졌을 때 C* 항등식과 B* 항등식 조건은 서로 동치이나, 이를 보이는 것은 쉽지 않다.

곱셈에 대한 단위원 1\in A이 존재하는 C* 대수를 단위원이 있는 C* 대수(영어: unital C*-algebra)라고 한다.

C* 대수의 원소[편집]

A가 C* 대수라고 하고, x\in A라고 하자.

  • 만약 y\in A가 존재하여 y^*y=x라면, x음이 아닌 원소(영어: nonnegative element)라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다.
  • 만약 x=x^*라면, x자기수반 원소(영어: self-adjoint element)라고 한다. 자기수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다.

이제부터 A가 단위원을 갖는 C* 대수라고 하자.

  • xy=yx=1인 원소 y\in A가 존재한다면, x가역 원소(영어: invertible element)라고 한다. 가역 원소가 아닌 원소를 비가역 원소(영어: noninvertible element)라고 한다.
  • xx^*=x^*x=1이라면, x유니터리 원소(영어: unitary element)라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다.
  • x스펙트럼(영어: spectrum) \sigma(x)\subset\mathbb C\lambda\cdot1-x가 비가역 원소인 \lambda\in\mathbb C들의 집합이다. 일반적으로, \sigma(x^*)=\bar\sigma(x)이다.
  • x의 스펙트럼의 절댓값들의 최소상계 \sup|\sigma(x)|=\nu(x)x스펙트럼 반지름(영어: spectral radius)이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다.
\nu(x)=\lim_{n\to\infty}\Vert x^n\Vert^{1/n}

참고 문헌[편집]

같이 보기[편집]