C* 대수

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함수해석학에서, C* 대수(시스타 대수, 영어: C*-algebra)는 대합 대수복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다.

정의[편집]

C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 수 있다.

이 정의들은 모두 서로 동치이다.

추상적 정의[편집]

복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 두 구조가 주어졌다고 하자.

  • 는 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. (즉, 임의의 에 대하여 이다.)
  • 복소수 바나흐 대수이다.

그렇다면, 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 만약 가 이를 만족시킨다면 C* 대수라고 한다.

  • (C* 항등식 영어: C* identity)
  • (B* 항등식 영어: B* identity)

(C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.)

일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다.

대수적 정의[편집]

(복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 가 다음 조건을 만족시킨다면, C* 대수라고 한다.

  • 위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
    • 임의의 에 대하여, 스펙트럼 유계 집합이다.
    • 임의의 에 대하여, 가역원이 아니게 만드는 복소수 가 존재한다.
    • (삼각 부등식) 임의의 에 대하여, 이다.
  • 완비 노름을 이룬다.

이 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 임을 보일 수 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서 이므로 이는 B* 항등식을 함의한다.

구체적 정의[편집]

복소수 대합 대수 *-표현(영어: *-representation)은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

만약 복소수 대합 대수가 그 이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 C* 대수라고 한다. (마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 작용소 위상 또는 약한 작용소 위상에 대한 닫힌집합인 것으로 강화시키면, 대신 폰 노이만 대수의 개념을 얻는다.)

겔판트-나이마르크 정리(Гельфанд-Наймарк定理, 영어: Gelfand–Naimark theorem)에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 의 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간 위의 작용

가 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산 에 대한 준동형이며, 그 은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다.

C* 대수의 원소[편집]

가 C* 대수라고 하고, 라고 하자.

  • 만약 가 존재하여 라면, 음이 아닌 원소(陰-元素, 영어: nonnegative element)라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다.
  • 만약 라면, 자기 수반 원소라고 한다. 자기 수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다.
  • 이라면, 유니터리 원소라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다.
  • 스펙트럼 가역원이 아니게 되는 들의 집합이다. 일반적으로, 이다.
  • 의 스펙트럼의 절댓값들의 상한 스펙트럼 반지름이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다.

연산[편집]

직합[편집]

유한 또는 무한 개의 C* 대수 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간

위에 균등 노름

및 성분별 곱셈

을 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 이 경우 항등원은 이다.

물론, 만약 가 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 과 같다.

몫대수[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • C* 대수
  • 양쪽 아이디얼 . 또한, 닫힌집합이라고 하자.

그렇다면, 그 몫환 역시 C* 대수를 이룬다.

행렬 대수[편집]

C* 대수 자연수 에 대하여, 행렬 대수 성분의 정사각 행렬들로 구성되며, 이 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 에 대하여 라면, 으로 여길 수 있다.

만약 일 경우, 이는 자명환이다.

성질[편집]

C* 대수 사이의 사상[편집]

다음이 주어졌다고 하자.

  • (항등원을 갖는) 두 C* 대수 ,
  • (항등원을 보존하는) 복소수 대합 대수 준동형 . 즉, 복소수 선형 변환이자 환 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 ().

그렇다면, 작용소 노름이 1 이하인 유계 작용소이다.

증명:

임의의 에 대하여, C* 항등식에 따라

이다. 는 음이 아닌 원소이므로, 그 노름은 스펙트럼 반지름과 같다.

가역원가역원이므로 다음이 성립한다.

여기서 스펙트럼이다. 특히

이다. 이에 따라

이며, 즉 이다.

또한, 만약 가 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉, 이다.

이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 를 이룬다.

스펙트럼[편집]

C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 의 원소 에 대하여

이다.

C* 대수의 자기 수반 원소스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은 의 부분 집합이다.

분류[편집]

모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, 이 C* 대수를 포함하는 최소의 폰 노이만 대수를 정의할 수 있으며, 원래 C* 대수는 이 폰 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 폰 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다.

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자명한 C* 대수[편집]

한원소 집합 위의 유일한 환 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다.

유한 차원 C* 대수[편집]

임의의 유한 차원 C* 대수 는 다음과 같은 꼴이다.

여기서 작용소 노름이 부여된, 복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다.

가환 C* 대수[편집]

(항등원을 갖는) 가환 C* 대수 스펙트럼(영어: spectrum)은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은 C* 대수의 원소의 스펙트럼의 개념과 관계가 없다.)

즉, *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 1 이하이므로,

이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간 닫힌 단위 공이다.) 우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 그 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 이 연산은 함자

를 정의한다. 여기서

반대로, 다음과 같은 함자

를 정의할 수 있다.

  • 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 에 대하여, 는 복소수 값 연속 함수들의 공간이다. 이 위에 ∞-르베그 노름 및 점별 덧셈 · 곱셈 · 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다.
  • 임의의 두 콤팩트 하우스도르프 공간 , 사이의 연속 함수 에 대한 은 다음과 같다.

겔판트 표현 정리(Гельфанд表現定理, 영어: Gelfand representation theorem)에 따르면, 함자는 사실 두 범주 사이의 범주의 동치를 정의한다.

특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 에 대하여

이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 는 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다.

유계 작용소 대수[편집]

임의의 복소수 힐베르트 공간 위의 모든 유계 작용소들의 집합 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 때 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약 가 유한 차원이라면, 이는 복소수 행렬들로 구성된다.

콤팩트 작용소 대수[편집]

임의의 복소수 힐베르트 공간 위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환

은 C* 대수를 이룬다. 이를 콜킨 대수(영어: Calkin algebra)라고 한다.

응용[편집]

C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다.

겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 수 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 수 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다.

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]