벡터다발

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위상수학미분기하학에서, 벡터다발(영어: vector bundle)은 공간(위상공간이나 다양체대수다양체 등등)의 각 점마다 벡터공간이 하나씩 달려 있는 것이다. 이때 이 벡터공간들의 집합이 밑 공간과 같은 종류의 공간(위상공간, 다양체, 대수다양체 등등)을 이루어야 한다.

정의 및 기초적 성질[편집]

정의 1[편집]

벡터다발올다발로서 그 올 V가 벡터공간이고, 구조군은 V 상의 가역 선형변환들의 리 군인 것이다.

정의 2[편집]

다음의 요소들로 이루어진 구조를 생각해 보자.

  1. 위상공간 X와 E. 이들을 각각 '밑 공간'과 '전체 공간'이라고 부른다.
  2. 연속함수 π : E → X. 이를 '다발 사영'이라 한다.
  3. X의 임의의 점 x에 대해, π-1({x})에 실벡터공간 구조가 주어진다.

이때 이들이 아래의 호환성 조건을 만족하면 이를 실벡터다발이라 한다.

X의 임의의 점에 대해 적당한 열린 근방 U, 자연수 k, 위상동형사상 \varphi:  U \times \mathbf{R}^{k} \rightarrow \pi^{-1}(U) 가 존재해서, 임의의 U에 속하는 점 x에 대해
  • v가 Rk의 임의의 벡터일 때 πφ(x,v) = x이고,
  • 함수 v \mapsto φ(x,v)가 벡터공간 Rk에서 π−1({x})로의 동형사상이다.

참고 문헌[편집]

함께 보기[편집]