벡터 다발

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위상수학미분기하학에서, 벡터 다발(영어: vector bundle)은 올에 위상 벡터 공간의 구조가 주어진 올다발이다.[1][2][3]

정의[편집]

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

  • 위상 공간
  • 위상환
  • 위의 위상 왼쪽 가군
  • 올다발
  • 에 대하여, 올 위의 -위상 왼쪽 가군 구조

만약 가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 위상 동형 사상들의 족

를 가질 수 있다면, 올다발 를 올 왼쪽 가군 다발(-加群-, 영어: left module bundle)이라 한다.

임의의 에 대하여 와 올 사이의 -위상 왼쪽 가군 동형을 정의한다.

위와 같은 구조 국소 자명화(局所自明化, 영어: local trivialization)라고 한다. 그러나 국소 자명화의 구조는 벡터 다발을 정의하는 데이터에 포함되지 않는다.

마찬가지로 오른쪽 가군 다발(-加群-, 영어: right module bundle)을 정의할 수 있다. 만약 가환 위상환이라면 왼쪽·오른쪽을 구별하지 않아도 된다.

만약 위상환 위상체일 경우, 이에 대한 가군 다발은 벡터 다발이라 한다.

만약 위상체이며 일 경우, 올이 인 벡터 다발을 선다발(線다발, 영어: line bundle)이라고 한다.

만약 바나흐 공간일 경우 올이 인 벡터 다발을 바나흐 다발(영어: Banach bundle)이라고 한다. 이와 마찬가지로 힐베르트 공간 올을 갖는 힐베르트 다발(영어: Hilbert bundle)이나 국소 볼록 공간 올을 갖는 국소 볼록 벡터 다발(영어: locally convex vector bundle)을 정의할 수 있다.

매끄러운 벡터 다발[편집]

미분기하학을 전개하기 위해서는 연속 함수 대신 매끄러운 함수를 사용해야 한다. 즉, 다음 데이터가 주어졌다고 하자.

만약 가 다음과 같은 호환 조건을 만족시키는 열린 덮개 미분 동형 사상들의 족

를 가질 수 있다면, 올다발 차원 매끄러운 벡터 다발(-vector-, 영어: smooth vector bundle)이라 한다.

임의의 에 대하여 와 올 사이의 실수 벡터 공간 동형을 정의한다.

이 경우, 벡터 다발의 전체 공간 역시 매끄러운 다양체를 이루어야 하므로, 그 스칼라체는 실수체를 사용하고, 차원이 유한해야만 한다.

벡터 다발 사상[편집]

위상 공간 위상환 가 주어졌다고 하자. 위의 두 -왼쪽 가군 다발 사이의 가군 다발 사상(加群-寫像, 영어: module bundle morphism) 은 다음 조건을 만족시키는 다발 사상이다.

  • 임의의 에 대하여, 로 정의되는 함수 -위상 왼쪽 가군의 사상이다 (즉, 연속 함수이자 -가군 준동형이다).

마찬가지로, 매끄러운 다양체 위의 두 매끄러운 벡터 다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 사상(-vector-寫像, 영어: smooth vector bundle morphism)은 매끄러운 함수인 벡터 다발 사상이다.

연산[편집]

위상 가군 또는 위상 벡터 공간에 가할 수 있는 연산(직합, 텐서곱, 연속 쌍대 공간 등)을 가군 다발 또는 벡터 다발에 올마다 가하여 정의할 수 있다.

직합[편집]

위상 공간 위의, 같은 위상환 에 대한 왼쪽 가군 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 왼쪽 가군 다발의 직합 을 정의할 수 있다. 각 에서 의 올은 다음과 같다.

만약 매끄러운 다양체이며, 이 매끄러운 벡터 다발이라면 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

텐서곱[편집]

위상 공간 위의, 같은 가환 위상환 에 대한 가군 다발 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 두 가군 다발의 텐서곱 을 정의할 수 있다. 각 에서 의 올은 다음과 같다.

만약 매끄러운 다양체이며, 이 매끄러운 벡터 다발이라면 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

쌍대 벡터 다발[편집]

위상 공간 위의, 위상체 에 대한 벡터 다발 쌍대 벡터 다발(雙對vector다발, 영어: dual vector bundle) 는 각 올이 연속 쌍대 공간인 벡터 다발이다.

만약 매끄러운 다양체이며, 가 매끄러운 벡터 다발이라면 역시 매끄러운 벡터 다발이다.

성질[편집]

위상 공간 위의, 위상체 에 대한 벡터 다발들의 범주는 가법 범주를 이루지만, 일반적으로 여핵을 갖지 못해 아벨 범주를 이루지 못한다. (이 문제를 해결하기 위해, 대수기하학에서는 보통 연접층을 대신 사용한다.)

코쥘 접속[편집]

벡터 다발 위에는 벡터 다발 구조와 호환되는 에레스만 접속코쥘 접속이라는 구조를 정의할 수 있다.

분류[편집]

위상 공간 위의 유한 차원 실수 또는 복소수 벡터 다발들은 위상 K이론이라는 으로 분류된다.

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자명한 벡터 다발[편집]

임의의 위상 공간 위상 벡터 공간 에 대하여, 는 자명한 벡터 다발을 이룬다. 만약 매끄러운 다양체이며 유클리드 공간이라면 이는 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

접다발[편집]

임의의 매끄러운 다양체 위에는 접다발이라는 매끄러운 벡터 다발이 존재하며, 그 차원은 다양체 자체의 차원과 같다.

연관 벡터 다발[편집]

위상 공간 위의 주다발과, 주다발의 구조 위상군의 연속 표현이 주어졌을 때, 위에 연관 벡터 다발이라는 벡터 다발을 구성할 수 있다.

이산 공간[편집]

한원소 공간 위의 -벡터 다발의 개념은 -위상 벡터 공간의 개념과 동치이며, 한원소 공간 위의 매끄러운 벡터 다발의 개념은 유한 차원 실수 벡터 공간의 개념과 동치이다.

참고 문헌[편집]

  1. 양재현 (1989년 1월 1일). 《벡터 속 이론》. 민음사. ISBN 89-374-3560-8. 
  2. Luke, Glenys; Mishchenko, Alexander S. (1998). 《Vector bundles and their applications》. Mathematics and its Applications (영어) 447. Kluwer. doi:10.1007/978-1-4757-6923-4. ISBN 978-1-4419-4802-1. MR 1640104. 
  3. Мищенко, А. С. (1984). 《Векторные расслоения и их применения》 (러시아어). 모스크바: Наука. 

같이 보기[편집]

바깥 고리[편집]