바나흐 공간

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함수해석학에서, 바나흐 공간(Banach空間, 영어: Banach space)은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

정의[편집]

실수체 또는 복소수체 라고 하자. 에 대한 바나흐 공간노름을 갖추고, 이 노름으로 정의한 거리완비된, 에 대한 벡터 공간이다.

를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

성질[편집]

  • 노름 공간 가 바나흐 공간을 이룰 필요충분조건은 모든 절대수렴(absolutely convergent) 수열이 수렴하는지 여부다.
  • 가 바나흐 공간이고, 노름 공간이고, 선형 변환이라고 하자. 그렇다면 는 바나흐 공간이다.
  • 한-바나흐 정리
  • 닫힌 그래프 정리
  • 열린 사상 정리: , 가 바나흐 공간이고, 유계 작용소라면, 전사 함수일 필요충분조건은 의 모든 열린집합 가 열린집합인지 여부다.
  • 가 바나흐 공간이고, 가 닫힌 부분 공간이라고 하자. 몫공간 위에 으로 노름을 주자. 그렇다면 은 바나흐 공간을 이룬다.
  • 모든 분해 가능 바나흐 공간은 2몫공간이다. 즉, ℓ2에 닫힌 부분공간 이 존재하여, 이다.
  • 이 유한 개의 노름 공간들의 집합이라면, 에 노름을 로 주자. 이 경우, 가 바나흐 공간일 필요충분조건은 모든 가 각각 바나흐 공간인지 여부다.

역사[편집]

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다.[1]

참고 문헌[편집]

  • 조총만 (2010). 《바나하공간론》. 대우학술총서 (영어). 아카넷. ISBN 89-8910318-5. 
  • Beauzamy, Bernard (1985). 《Introduction to Banach spaces and their geometry》 2판. North-Holland.  .
  • Fabian, Marián; Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler (2011). 《Banach space theory: the basis for linear and nonlinear analysis》. CMS Books in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7515-7. ISBN 978-1-4419-7514-0. ISSN 1613-5237. 

바깥 고리[편집]