함수해석학에서, 바나흐 공간(Banach空間, 영어: Banach space)은 완비 노름 공간이다.[1][2][3][4] 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.
가 실수체 또는 복소수체라고 하자.
-노름 공간
에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는
-노름 공간을
-바나흐 공간이라고 한다.
- (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다.
- 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬
에 대하여, 만약
라면, 급수
역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.[5]:8, §1.2, Exercise 1.2.1
체
를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)
부분 공간[편집]
-바나흐 공간
의 부분 벡터 공간
가 주어졌다고 하자. 만약
가 닫힌집합이라면
는 역시 바나흐 공간을 이룬다.
만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환
가 존재한다면,
를 여공간을 가지는 부분 공간(영어: complemented subspace)라고 한다.
는 전사 함수이다.
는 (
로의) 사영이다. 즉,
이다.
는 유계 작용소이다.
여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
- 여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간
여분 부분 공간
가 주어졌을 때, 바나흐 공간
를 다음과 같이 분해할 수 있다.

그러나 이러한
는 유일하지 않을 수 있다.
완비화[편집]
-노름 공간
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는
-바나흐 공간
및 등거리 선형 변환
가 존재한다.
- 상
는
의 조밀 집합이다.
또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.
- 임의의
-바나흐 공간
및 등거리 선형 변환
에 대하여, 만약
가 조밀 집합이라면,
인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상)
가 존재한다.
는 거리 공간으로서
의 거리 공간 완비화와 같다. 만약
가 이미 바나흐 공간이라면
는 바나흐 공간 동형 사상이다.
부분 공간과 몫공간[편집]
-바나흐 공간
의
-부분 벡터 공간
에 제한 노름
를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
는
-바나흐 공간을 이룬다.
는 닫힌집합이다.
또한, 닫힌 부분 벡터 공간
에 대한 몫공간
위에

으로 노름을 주자. 그렇다면
역시
-바나흐 공간을 이룬다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
-바나흐 공간 
-노름 공간 
- 연속 열린
-선형 변환 
그렇다면,
는
-바나흐 공간이다.
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
-노름 공간의 집합 
- 확장된 실수

그렇다면, 직합

위에 다음과 같은 노름을 정의하자.
![{\displaystyle \left\|\bigoplus _{i\in I}v_{i}\right\|={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}&p<\infty \\\max _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}&p=\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcffd5412900c03b61e278c443c1a4de4273e8ee)
그렇다면,
는
-내적 공간을 이룬다.
만약
가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 모든
에 대하여
가 바나흐 공간이다.
는 바나흐 공간이다.
이 경우,
의 (
-노름으로 정의되는) 위상은
에 의존하지 않는다.
그러나 만약
가 무한 집합이라면,
가 모두 바나흐 공간이라도
가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우
의 완비화
를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로
에 따라 다르다.
텐서곱[편집]
힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다.[6][7] 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱(영어: projective topological tensor product)과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱(영어: injective topological tensor product)이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.
바나흐 공간 사이의 선형 변환[편집]
바나흐-샤우데르 정리(-定理, 영어: Banach-Schauder theorem) 또는 열린 사상 정리(-寫像定理, 영어: open mapping theorem)에 따르면, 임의의 두
-바나흐 공간
,
사이의 전사 유계 작용소
는 열린 함수이다.[8]:48, Theorem 2.11 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.)
이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.
증명:
속의 단위 열린 공의 상

이
의 근방임을 증명하면 족하다.
우선,
는 다음과 같은 열린 공들의 합집합이다.

가 전사 함수이므로

이다.
베르 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간
는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,

인 양의 정수
및
및 양의 실수
가 존재한다. (
는 열린 공을 뜻한다.) 즉,

이다.
이제,

를 증명하자. 우선,

이므로, 임의의
에 대하여,

이며,
는 볼록 집합이므로

이다.
이제

를 증명하면 족하다. 즉, 임의의
에 대하여,
인
를 찾으면 족하다.
다음 두 조건을 만족시키는 벡터열
을 재귀적으로 고를 수 있다.


(이는
의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로,

를 정의할 수 있다.
가 연속 함수이므로

이다.
특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다.[8]:51, Theorem 2.15 또한, 바나흐 공간의 닫힌 그래프 정리(영어: closed graph theorem)에 따르면, 두
-바나흐 공간
,
사이의
-선형 변환
에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 연속 함수이다.
- 유계 작용소이다.
는 (곱위상을 부여한)
속의 닫힌집합이다.
즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.
이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리가 성립한다.
함의 관계[편집]
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
-힐베르트 공간 |
⇒ |
-반사 바나흐 공간 |
⇒ |
-바나흐 공간
|
⇓
|
|
⇓
|
-내적 공간
|
⟹
|
-노름 공간
|
샤우데르 기저[편집]
벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.
바나흐 공간 위의 미적분학[편집]
바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.
분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.
L1의 몫공간으로의 표현[편집]
모든 분해 가능
-바나흐 공간은 르베그 공간
의 몫공간이다. 즉,
에 닫힌
-부분 벡터 공간
이 존재하여,
이다.[9]
의 부분 공간으로의 표현[편집]
바나흐-마주르 정리(Banach-Mazur定理, 독일어: Banach–Mazur theorem)에 따르면, 임의의
-바나흐 공간
에 대하여 다음이 성립한다.
- 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간
및 등거리
-선형 변환
가 존재한다.
- 만약
가 분해 가능 공간이라면, 등거리
-선형 변환
가 존재한다.
여기서
는
값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은

이다.
이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간
가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간
의 단위 닫힌 공
을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의
에 대하여 연속 함수


는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수


를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다.
만약
가 추가로 분해 가능 공간이라면,
는
의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.
바나흐-마주르 거리[편집]
바나흐-마주르 콤팩트 공간(영어: Banach–Mazur compactum)이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간이 존재한다.
자연수
및
및 두
차원 실수 바나흐 공간
,
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사
-선형 변환들의 공간
을 생각할 수 있다. 이 경우,
와
사이의 바나흐-마주르 거리(영어: Banach–Mazur distance)는 다음과 같다.

여기서
는 작용소 노름이다.
이는 삼각 부등식을 만족시킨다.
차원
-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간이라고 한다.
유클리드 공간[편집]
자연수
에 대하여, 유한 차원
-벡터 공간
위에 노름

를 부여하면, 이는
-바나흐 공간을 이룬다.
르베그 공간[편집]
임의의 측도 공간
및 확장된 실수
에 대하여, 르베그 공간
는
-바나흐 공간을 이룬다.
수렴 수열 공간[편집]
수렴 수열 공간
과 영 수렴 수열 공간
은 둘 다
-바나흐 공간을 이룬다.
힐베르트 공간[편집]
임의의
-힐베르트 공간
에 대하여,

로 노름을 정의하면 이는
-바나흐 공간을 이룬다.
연속 함수 공간[편집]
콤팩트 하우스도르프 공간
가 주어졌다고 하자. 그렇다면,
위의,
값의 연속 함수들의
-벡터 공간

에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

이는
-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로
-바나흐 대수를 이룬다.
스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다.[10] 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.
바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고,[11]:238 이듬해 율리우시 샤우데르[12]가 개량하였다.[13]:261, §5.4[14]:466, §14.4
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외부 링크[편집]
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- “Open-mapping theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
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- “Predual of a direct sum of Banach spaces” (영어). Math Overflow.
- “Is there a simple direct proof of the Open Mapping Theorem from the Uniform Boundedness Theorem?” (영어). Math Overflow.