바나흐 공간

함수해석학에서, 바나흐 공간(Banach空間, 영어: Banach space)은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

정의

$k$$k$가 실수체 $\mathbb {R}$$\mathbb {R}$ 또는 복소수체 $\mathbb {C}$$\mathbb {C}$라고 하자. $k$$k$에 대한 바나흐 공간은 노름을 갖추고, 이 노름으로 정의한 거리가 완비된, $k$$k$에 대한 벡터 공간이다.

체 $k$$k$를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

성질

• 노름 공간 $X$$X$가 바나흐 공간을 이룰 필요충분조건은 모든 절대수렴(absolutely convergent) 수열이 수렴하는지 여부다.
• $X$$X$가 바나흐 공간이고, $Y$$Y$가 노름 공간이고, $T\colon X\to Y$$T\colon X\to Y$가 선형 변환이라고 하자. 그렇다면 $T(X)$$T(X)$는 바나흐 공간이다.
• 한-바나흐 정리
• 닫힌 그래프 정리
• 열린 사상 정리: $X$$X$, $Y$$Y$가 바나흐 공간이고, $T\colon X\to Y$$T\colon X\to Y$가 유계 작용소라면, $T$$T$가 전사 함수일 필요충분조건은 $X$$X$의 모든 열린집합 $U\subset X$$U\subset X$의 상 $T(U)\subset Y$$T(U)\subset Y$가 열린집합인지 여부다.
  • 이에 따라, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 바나흐 공간의 동형사상이다.
• $X$$X$가 바나흐 공간이고, $M\subset X$$M\subset X$가 닫힌 부분 공간이라고 하자. 몫공간 $X/M$$X/M$ 위에 $\lVert x+M\rVert =\inf _{m\in M}\lVert x+m\rVert$$\lVert x+M\rVert =\inf _{{m\in M}}\lVert x+m\rVert$으로 노름을 주자. 그렇다면 $X/M$$X/M$은 바나흐 공간을 이룬다.
• 모든 분해 가능 바나흐 공간은 ℓ²의 몫공간이다. 즉, ℓ²에 닫힌 부분공간 $M$$M$이 존재하여, $X\cong \ell ^{2}/M$$X\cong \ell ^{2}/M$이다.
• $\{X_{i}\}_{i=1,\dots ,n}$$\{X_{i}\}_{{i=1,\dots ,n}}$이 유한 개의 노름 공간들의 집합이라면, $X=\bigoplus _{i=1}^{n}X_{i}$$X=\bigoplus _{{i=1}}^{n}X_{i}$에 노름을 $\lVert (x_{1},\dots ,x_{n})\rVert =\sum _{i}\lVert x_{i}\rVert$$\lVert (x_{1},\dots ,x_{n})\rVert =\sum _{i}\lVert x_{i}\rVert$로 주자. 이 경우, $X$$X$가 바나흐 공간일 필요충분조건은 모든 $X_{i}$$X_{i}$가 각각 바나흐 공간인지 여부다.

역사

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다.

참고 문헌

• 조총만 (2010). 《바나하공간론》. 대우학술총서 (영어). 아카넷. ISBN 89-8910318-5. 
• Beauzamy, Bernard (1985). 《Introduction to Banach spaces and their geometry》 2판. North-Holland.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크).
• Fabian, Marián; Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos, Václav Zizler (2011). 《Banach space theory: the basis for linear and nonlinear analysis》. CMS Books in Mathematics (영어). Springer. doi:10.1007/978-1-4419-7515-7. ISBN 978-1-4419-7514-0. ISSN 1613-5237. 

바깥 고리

• Kadets, M.I. (2001). “Banach space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Mohammad Sal Moslehian, Todd Rowland, Eric W. Weisstein. “Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
• Mohammad Sal Moslehian. “Minimal Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Mohammad Sal Moslehian. “Reflexive Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Mohammad Sal Moslehian. “Prime Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Mohammad Sal Moslehian. “Banach completion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Yuan, Qiaochu (2012년 6월 23일). “Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)”. 《Annoying Precision》 (영어).