바나흐 공간

함수해석학에서, 바나흐 공간(Banach空間, 영어: Banach space)은 완비 노름 공간이다. 함수해석학의 주요 연구 대상 가운데 하나다. 스테판 바나흐의 이름을 땄다.

정의

$\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자.

$\mathbb {K}$-노름 공간 $(X,\|\cdot \|)$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 $\mathbb {K}$-노름 공간을 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이라고 한다.

• (노름으로 정의한 거리 함수를 부여하면) 완비 거리 공간이다. 즉, 모든 코시 열이 수렴한다.
• 모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬 $(v_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq X$에 대하여, 만약 $\textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\|v_{i}\|<\infty$라면, 급수 $\textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }v_{i}$ 역시 (노름으로 정의한 거리 위상에 대하여) 수렴한다.

체 $\mathbb {K}$를 실수체 또는 복소수체로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체는 완비되지 못한다.)

부분 공간

$\mathbb {K}$-바나흐 공간 $V$의 부분 벡터 공간 $\iota \colon W\hookrightarrow V$가 주어졌다고 하자. 만약 $W$가 닫힌집합이라면 $W$는 역시 바나흐 공간을 이룬다.

만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환 $P\colon V\to W$가 존재한다면, $W$를 여공간을 가지는 부분 공간(영어: complemented subspace)라고 한다.

• $P$는 전사 함수이다.
• $\iota \circ P\colon V\to V$는 ($W$로의) 사영이다. 즉, $\iota \circ P\circ \iota \circ P=\iota \circ P$이다.
• $P$는 유계 작용소이다.

여분 부분 공간은 (연속 함수의 상이므로) 항상 닫힌집합이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.

여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간

여분 부분 공간 $W\subseteq V$가 주어졌을 때, 바나흐 공간 $V$를 다음과 같이 분해할 수 있다.

$V=W\oplus \ker P$

그러나 이러한 $P$는 유일하지 않을 수 있다.

연산

완비화

$\mathbb {K}$-노름 공간 $V$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음 조건을 만족시키는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 ${\bar {V}}$ 및 등거리 선형 변환 $\iota \colon V\to {\bar {V}}$가 존재한다.

• 상 $\iota (V)\subseteq {\bar {V}}$는 ${\bar {V}}$의 조밀 집합이다.

또한, 이는 다음과 같은 보편 성질을 만족시킨다.

• 임의의 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $W$ 및 등거리 선형 변환 $j\colon V\to W$에 대하여, 만약 $j(V)$가 조밀 집합이라면, $j=i\circ \iota$인 바나흐 공간 동형 사상(=등거리 선형 위상 동형 사상) $i\colon {\bar {V}}\to W$가 존재한다.

${\bar {V}}$는 거리 공간으로서 $V$의 거리 공간 완비화와 같다. 만약 $V$가 이미 바나흐 공간이라면 $\iota$는 바나흐 공간 동형 사상이다.

부분 공간과 몫공간

$\mathbb {K}$-바나흐 공간 $X$의 $\mathbb {K}$-부분 벡터 공간 $Y\subseteq X$에 제한 노름 $\|\|_{X}\upharpoonright Y$를 부여하면, 이는 노름 공간을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $Y$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.
• $Y$는 닫힌집합이다.

또한, 닫힌 부분 벡터 공간 $Y\subseteq X$에 대한 몫공간 $X/Y$ 위에

$\lVert x+Y\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x+y\rVert$

으로 노름을 주자. 그렇다면 $X/Y$ 역시 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

상

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $X$
• $\mathbb {K}$-노름 공간 $Y$
• 연속 열린 $\mathbb {K}$-선형 변환 $T\colon X\to Y$

그렇다면, $T(X)$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간이다.

직합

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• $\mathbb {K}$-노름 공간의 집합 $(V_{i})_{i\in I}$
• 확장된 실수 $1\leq p\leq \infty$

그렇다면, 직합

${\tilde {V}}=\bigoplus _{i\in I}V_{i}$

위에 다음과 같은 노름을 정의하자.

$\left\|\bigoplus _{i\in I}v_{i}\right\|={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}&p<\infty \\\max _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}&p=\infty \end{cases}}$

그렇다면, ${\tilde {V}}$는 $\mathbb {K}$-내적 공간을 이룬다.

만약 $I$가 유한 집합이라면, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 모든 $i$에 대하여 $V_{i}$가 바나흐 공간이다.
• ${\tilde {V}}$는 바나흐 공간이다.

이 경우, ${\tilde {V}}$의 ($p$-노름으로 정의되는) 위상은 $p$에 의존하지 않는다.

그러나 만약 $I$가 무한 집합이라면, $V_{i}$가 모두 바나흐 공간이라도 ${\tilde {V}}$가 바나흐 공간이 아닐 수 있다. 이 경우 ${\tilde {V}}$의 완비화 $V$를 취해야 하며, 그 결과는 일반적으로 $p\in [1,\infty ]$에 따라 다르다.

텐서곱

힐베르트 공간의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다. 특히, 대략 "최대" 텐서곱인 사영 위상 텐서곱(영어: projective topological tensor product)과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱(영어: injective topological tensor product)이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.

성질

바나흐 공간 사이의 선형 변환

바나흐-샤우데르 정리(Banach-Schauder theorem, -定理) 또는 열린 사상 정리(-寫像定理, 영어: open mapping theorem)에 따르면, 임의의 두 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $V$, $W$ 사이의 전사 유계 작용소 $T\colon V\to W$는 열린 함수이다.^{:48, Theorem 2.11} 특히, 두 바나흐 공간 사이의 전단사 선형 변환은 항상 위상 벡터 공간의 동형 사상이다. (그러나 이는 등거리 변환이 아닐 수 있다.)

이 정의는 베르 범주 정리를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.

증명:

$V$ 속의 단위 열린 공의 상

$T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)$

이 $0_{W}$의 근방임을 증명하면 족하다.

우선, $V$는 다음과 같은 열린 공들의 합집합이다.

$V=\bigcup _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\operatorname {ball} _{V}(0,n)$

$T$가 전사 함수이므로

$W=T(V)=\bigcup _{n=1}^{\infty }T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,n)\right)$

이다.

베르 범주 정리에 따라서, 바나흐 공간 $W$는 가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,

$\operatorname {ball} _{W}(nc,nr)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,n)\right)\right)$

인 양의 정수 $n\in \mathbb {Z} ^{+}$ 및 $c\in W$ 및 양의 실수 $r>0$가 존재한다. ($\operatorname {ball} (-,-)$는 열린 공을 뜻한다.) 즉,

$\operatorname {ball} _{W}(c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)$

이다.

이제,

$\operatorname {ball} _{W}(0,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)$

를 증명하자. 우선,

$\operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)=-\operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)$

이므로, 임의의 $w\in \operatorname {ball} _{W}(0,r)$에 대하여,

$w\pm c\in \operatorname {ball} (\pm c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)$

이며, $\operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)$는 볼록 집합이므로

$w={\frac {(w+c)+(w-c))}{2}}\in \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)$

이다.

이제

$\operatorname {ball} _{W}(0,r/2)\subseteq T\left({\frac {2}{r}}\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)$

를 증명하면 족하다. 즉, 임의의 $w\in \operatorname {ball} _{W}(0,r/2)$에 대하여, $Tv=w$인 $v\in V$를 찾으면 족하다.

다음 두 조건을 만족시키는 벡터열 $(v_{1},v_{2},\ldots )$을 재귀적으로 고를 수 있다.

$\|v_{i}\|<2^{-i}\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}$

$\|w-Tv_{1}-\cdots -Tv_{i}\|<2^{-i-1}r\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}$

(이는 $r$의 정의에 따라 가능하다.) 그렇다면, 바나흐 공간에서 절대 수렴 급수는 수렴하므로,

$v=\sum _{i=1}^{\infty }v_{i}\in \operatorname {ball} _{V}(0,1)$

를 정의할 수 있다. $T$가 연속 함수이므로

$Tv=w$

이다.

특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소는 위상 벡터 공간의 동형이다.^{:51, Theorem 2.15} 또한, 바나흐 공간의 닫힌 그래프 정리(영어: closed graph theorem)에 따르면, 두 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $V$, $W$ 사이의 $\mathbb {K}$-선형 변환 $T\colon V\to W$에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.

• 연속 함수이다.
• 유계 작용소이다.
• $\operatorname {graph} T=\{(v,Tv)\colon v\in V\}\subseteq V\oplus W$는 (곱위상을 부여한) $V\oplus W$ 속의 닫힌집합이다.

증명:

연속 함수 ⇔ 유계 작용소는 임의의 노름 공간에서 성립한다. 연속 함수 ⇒ 닫힌 그래프는 위상수학에서의 닫힌 그래프 정리로부터 함의된다. 따라서, 닫힌 그래프 ⇒ 연속 함수만을 보이면 된다.

$\operatorname {graph} T\subseteq V\oplus W$가 닫힌집합이라 가정하자. 이에 따라 $\operatorname {graph} T$는 (임의의 $p\in [1,\infty ]$에 대한 노름을 주면) 바나흐 공간을 이룬다. 두 사영 함수

$\pi _{V}\colon \operatorname {graph} T\twoheadrightarrow V$

$\pi _{W}\colon \operatorname {graph} T\twoheadrightarrow W$

는 정의에 따라 연속 함수이다. $\pi _{V}$는 전단사 함수이므로, 바나흐-샤우데르 정리에 의하여 $\pi _{V}$는 위상 동형 사상이다. 따라서

$T=\pi _{W}\circ \pi _{V}^{-1}\colon V\to W$

역시 연속 함수이다.

즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.

닫힌 그래프 선형 변환
⇕
연속 선형 변환
⇕
유계 작용소	⇐	전사 유계 작용소	⇒	열린 유계 작용소
⇑		⇑
단사 유계 작용소	⇐	전단사 유계 작용소	⇒	닫힌 유계 작용소
		⇕
		위상 동형 유계 작용소

이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소의 열에 대하여 균등 유계성 원리가 성립한다.

함의 관계

다음과 같은 함의 관계가 성립한다.

$\mathbb {K}$-힐베르트 공간	⇒	$\mathbb {K}$-반사 바나흐 공간	⇒	$\mathbb {K}$-바나흐 공간
⇓				⇓
$\mathbb {K}$-내적 공간	⟹			$\mathbb {K}$-노름 공간

샤우데르 기저

이 부분의 본문은 샤우데르 기저입니다.

벡터 공간의 (하멜) 기저나 힐베르트 공간의 정규 직교 기저와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저라는 개념을 정의할 수 있지만, 샤우데르 기저를 갖지 않는 바나흐 공간이 존재하며, 또한 샤우데르 기저의 원소들의 순서가 중요하다.

바나흐 공간 위의 미적분학

이 부분의 본문은 프레셰 도함수입니다.

바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수라는 일종의 도함수를 정의할 수 있다. 이를 통해, 바나흐 공간 위의 (비선형) 미적분학을 전개할 수 있다.

분류

분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.

ℓ¹의 몫공간으로의 표현

모든 분해 가능 $\mathbb {K}$-바나흐 공간은 르베그 공간 $\ell ^{1}(\mathbb {K} )$의 몫공간이다. 즉, $\ell ^{1}(\mathbb {K} )$에 닫힌 $\mathbb {K}$-부분 벡터 공간 $M$이 존재하여, $X\cong \ell ^{1}(\mathbb {K} )/M$이다.

${\mathcal {C}}^{0}$의 부분 공간으로의 표현

바나흐-마주르 정리(Banach-Mazur定理, 독일어: Banach–Mazur theorem)에 따르면, 임의의 $\mathbb {K}$-바나흐 공간 $V$에 대하여 다음이 성립한다.

• 어떤 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$ 및 등거리 $\mathbb {K}$-선형 변환 $\iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {K} )$가 존재한다.
• 만약 $V$가 분해 가능 공간이라면, 등거리 $\mathbb {K}$-선형 변환 $\iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {K} )$가 존재한다.

여기서 ${\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$값의 연속 함수들의 바나흐 대수이며, 그 위의 노름은

$\|f\|=\sup _{x\in K}|f(x)|$

이다.

이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간 $V$가 주어졌을 때, 그 연속 쌍대 공간 $V'$의 단위 닫힌 공 $K=\operatorname {ball} _{V'}(0,1)$을 생각하고, 그 위에 약한-* 위상을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 약한-* 위상의 정의에 따라, 임의의 $v\in V$에 대하여 연속 함수

$K\to \mathbb {K}$

$f\mapsto f(v)$

는 연속 함수이다. 즉, 이는 연속 함수

$V\to {\mathcal {C}}^{0}(K)$

$v\mapsto (f\mapsto f(x))$

를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환임을 쉽게 보일 수 있다.

만약 $V$가 추가로 분해 가능 공간이라면, ${\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {R} )$는 ${\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {R} )$의 부분 공간으로 등거리 매장할 수 있음을 보일 수 있다.

바나흐-마주르 거리

바나흐-마주르 콤팩트 공간(영어: Banach–Mazur compactum)이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈러스 공간이 존재한다.

자연수 $n$ 및 $\mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ 및 두 $n$차원 실수 바나흐 공간 $V$, $W$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 사이의 전단사 $\mathbb {K}$-선형 변환들의 공간 $\operatorname {GL} (V,W)$을 생각할 수 있다. 이 경우, $V$와 $W$ 사이의 바나흐-마주르 거리(영어: Banach–Mazur distance)는 다음과 같다.

$d(V,W)=\ln _{T\in \operatorname {GL} (V,W)}\|T\|\|T^{-1}\|$

여기서 $\|T\|$는 작용소 노름이다.

이는 삼각 부등식을 만족시킨다. $n$차원 $\mathbb {K}$-바나흐 공간들의 (등거리) 동형류들의 공간은 이 거리 함수를 통해 콤팩트 거리 공간을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간이라고 한다.

예

유클리드 공간

자연수 $n\in \mathbb {N}$에 대하여, 유한 차원 $\mathbb {K}$-벡터 공간 $\mathbb {K} ^{n}$ 위에 노름

$\|(x_{1},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}$

를 부여하면, 이는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

르베그 공간

이 부분의 본문은 르베그 공간입니다.

임의의 측도 공간 $(X,\Sigma ,\mu )$ 및 확장된 실수 $1\leq p\leq \infty$에 대하여, 르베그 공간 $\operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )$는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

수렴 수열 공간

이 부분의 본문은 수렴 수열 공간입니다.

수렴 수열 공간 $\operatorname {c} (\mathbb {K} )$과 영 수렴 수열 공간 $\operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )$은 둘 다 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

힐베르트 공간

이 부분의 본문은 힐베르트 공간입니다.

임의의 $\mathbb {K}$-힐베르트 공간 ${\mathcal {H}}$에 대하여,

$\|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}\qquad (v\in {\mathcal {H}})$

로 노름을 정의하면 이는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다.

연속 함수 공간

콤팩트 하우스도르프 공간 $X$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$ 위의, $\mathbb {K}$값의 연속 함수들의 $\mathbb {K}$-벡터 공간

${\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )$

에 다음과 같은 노름을 줄 수 있다.

$\|f\|=\max _{x\in X}|f(x)|$

이는 $\mathbb {K}$-바나흐 공간을 이룬다. 사실, 점별 곱셈을 통해 이는 추가로 $\mathbb {K}$-바나흐 대수를 이룬다.

역사

스테판 바나흐가 1922년부터 연구하였다. 이 밖에도, 한스 한과 에두아르트 헬리가 바나흐 공간 이론의 초기 연구에 기여하였다.

바나흐-마주르 정리는 스테판 바나흐와 스타니스와프 마주르가 증명하였다. 바나흐-샤우데르 정리와 그 따름정리인 닫힌 그래프 정리는 스테판 바나흐가 1929년에 발표하였고,^:238 이듬해 율리우시 샤우데르가 개량하였다.^{:261, §5.4:466, §14.4}

바깥 고리

• Kadets, M.I. (2001). “Banach space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Topological tensor product”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Open-mapping theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Banach-Mazur compactum”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Mohammad Sal Moslehian, Todd Rowland, Eric W. Weisstein. “Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.  CS1 관리 - 여러 이름 (링크)
• Mohammad Sal Moslehian. “Minimal Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Mohammad Sal Moslehian. “Prime Banach space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Mohammad Sal Moslehian. “Banach completion”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Open mapping theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Banach space”. 《nLab》 (영어). 
• “Direct sum of Banach spaces”. 《nLab》 (영어). 
• “Tensor product of Banach spaces”. 《nLab》 (영어). 
• Yuan, Qiaochu (2012년 6월 23일). “Banach spaces (and Lawvere metrics, and closed categories)”. 《Annoying Precision》 (영어). 
• Tao, Terrence (2009년 1월 26일). “245B, Notes 6: Duality and the Hahn-Banach theorem”. 《What’s New》 (영어). 
• Tao, Terrence (2009년 2월 1일). “245B, Notes 9: The Baire category theorem and its Banach space consequences”. 《What’s New》 (영어). 
• “Predual of a direct sum of Banach spaces” (영어). Math Overflow. 
• “Is there a simple direct proof of the Open Mapping Theorem from the Uniform Boundedness Theorem?” (영어). Math Overflow.