풍성한 범주

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범주론에서, 풍성한 범주(豐盛-範疇, 영어: enriched category)는 "사상 집합"이 집합 대신 다른 모노이드 범주의 대상이 될 수 있는, 범주의 개념의 일반화이다.

정의[편집]

모노이드 범주

가 주어졌다고 하자. 위의 풍성한 범주(영어: category enriched over ) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 모임 . 이 모임의 원소를 대상(영어: object)이라고 한다.
  • 임의의 에 대하여, .
  • 임의의 에 대하여, -사상 . 이는 항등 사상을 나타낸다.
  • 임의의 에 대하여, -사상 . 이는 사상의 합성을 나타낸다.

이 데이터는 다음 세 그림을 가환하게 만들어야만 한다.

  • (사상 합성의 결합 법칙)
  • (사상 합성의 왼쪽 항등원)
  • (사상 합성의 오른쪽 항등원)

풍성한 함자[편집]

모노이드 범주 위의 두 풍성한 범주 , 사이의 -풍성한 함자(영어: -enriched functor) 는 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  • 각 대상 에 대하여, 대상
  • 두 대상 에 대하여, 속의 사상

이 데이터는 다음 조건들을 만족시켜야 한다.

  • (항등원의 보존) 임의의 대상 에 대하여 다음 그림이 가환한다.
  • (사상 합성의 보존) 임의의 대상 에 대하여 다음 그림이 가환한다.

[편집]

국소적으로 작은 범주집합의 범주 위의 풍성한 범주와 같다.

n-범주[편집]

작은 범주의 범주 위의 풍성한 범주를 2-범주(영어: 2-category)라고 한다. 보다 일반적으로, -범주의 범주 위의 풍성한 범주를 -범주(영어: -category)라고 한다.

선형 범주[편집]

가환환 위의 가군들의 범주 텐서곱에 대하여 모노이드 범주를 이룬다. 이 위의 풍성한 범주는 -선형 범주(-線型範疇, 영어: -linear category)라고 한다.

준가법 범주[편집]

특히, (정수환)인 경우, 아벨 군의 범주 와 같다. -풍성한 범주는 준가법 범주(準加法範疇, 영어: preadditive category)라고 하고, -풍성한 함자는 가법 함자(加法範疇, 영어: additive functor)라고 한다.

준가법 범주는 항상 영 대상을 가지며, 유한 과 유한 쌍대곱이 일치한다.

가법 범주(영어: additive category)는 유한 완비 준가법 범주이다. (준가법 범주에서 유한 과 유한 쌍대곱이 일치하므로, 유한 완비 범주인 것은 유한 쌍대 완비 범주인 것과 동치이다.)

참고 문헌[편집]

외부 링크[편집]