곱 (범주론)

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범주론에서, (영어: product)은 곱집합이나 곱공간의 개념을 일반화한 개념이다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 그림극한이다.

정의[편집]

범주 의 대상의 집합 를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 대상
  • 에 대하여, 사상 . 이들을 사영 사상(projection morphism)이라고 한다.

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 와 사상 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 가 존재한다.

.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 가 존재한다.

CategoricalProduct-01.png

대각 사상[편집]

대상 기수 가 주어졌다고 하자. 만약 개의 들의 곱 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 로부터 유도되는 사상

이 존재한다. 이를 대각 사상(對角寫像, 영어: diagonal morphism)이라고 한다.

[편집]

각종 범주에서의 곱은 다음과 같다.

범주
집합의 범주 곱집합
위상 공간의 범주 곱공간
의 범주 직접곱
아벨 군의 범주 직접곱 (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
에 대한 벡터 공간의 범주 직접곱 (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
에 대한 왼쪽 가군의 범주 직접곱 (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
집합이항관계의 범주 분리합집합

같이 보기[편집]