곱 (범주론)

범주론에서 곱(영어: product)은 곱집합이나 곱공간의 개념을 일반화한 개념이다. 항등사상 이외의 사상을 포함하지 않는 그림의 극한이다.

정의[편집]

범주 ${\mathcal {C}}$ 의 대상의 집합 $\{X_{i}\}_{i\in I}$ 를 생각하자. 그렇다면 이 집합의 곱은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

대상 $X\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$
각 $X_{i}$ 에 대하여, 사상 $\pi _{i}\colon X\to X_{i}$ . 이들을 사영 사상(projection morphism)이라고 한다.

이들은 다음과 같은 조건을 만족하여야 한다. 임의의 대상 $Y\in \operatorname {ob} ({\mathcal {C}})$ 와 사상 $f_{i}\colon Y\to X_{i}$ 에 대하여, 다음을 만족시키는 유일한 사상 $f\colon Y\to X$ 가 존재한다.

\pi _{i}f=f_{i}

.

즉, 다음 그림을 가환시키는 유일한 $f$ 가 존재한다.

이 때, $X\$ 를 곱이라 부르고 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 로 표현한다.

대각 사상[편집]

대상 $X$ 와 기수 $\kappa$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $\kappa$ 개의 $X$ 들의 곱 $X^{\times \kappa }$ 이 존재한다고 하자. 그렇다면, 곱의 보편 성질에 의하여 항등 사상 $\operatorname {id} _{X}$ 로부터 유도되는 사상

\operatorname {diag} _{X}\colon X\to X^{\times \kappa }

이 존재한다. 이를 대각 사상(對角寫像, 영어: diagonal morphism)이라고 한다.

예[편집]

각종 범주에서의 곱은 다음과 같다.

범주	곱
집합의 범주 $\operatorname {Set}$	곱집합 $A\times B$
위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$	곱공간 $A\times B$
군의 범주 $\operatorname {Grp}$	직접곱 $A\times B$
아벨 군의 범주 $\operatorname {Ab}$	직접곱 $A\times B$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
체 $K$ 에 대한 벡터 공간의 범주 $K-\operatorname {Vect}$	직접곱 $A\times _{k}B$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
환 $R$ 에 대한 왼쪽 가군의 범주 $R-\operatorname {Mod}$	직접곱 $A\times _{R}B$ (유한 직접곱은 직합(=쌍대곱)과 일치)
집합과 이항관계의 범주 $\operatorname {Rel}$	분리합집합 $A\sqcup B$

참고 문헌[편집]

Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). 《Abstract and Concrete Categories》 (PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. 2015년 4월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 4월 20일에 확인함.
Barr, Michael; Charles Wells (1999). 《Category Theory for Computing Science》 (PDF). Les Publications CRM Montreal (publication PM023). 2016년 3월 4일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 4월 20일에 확인함. Chapter 5.
Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the Working Mathematician》. Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
Definition 2.1.1 in Borceux, Francis (1994). 《Handbook of categorical algebra》. Encyclopedia of mathematics and its applications 50-51, 53 [i.e. 52]. Volume 1. Cambridge University Press. 39쪽. ISBN 0-521-44178-1.

같이 보기[편집]