이항 관계

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수학에서 이항 관계(二項關係, 영어: binary relation)는 “…는 …보다 크다” 또는 “…와 …는 같다”와 같이, 두 대상에 대하여 정의되는 성질을 집합론적으로 실현한 개념이다. 이항 관계는 순서쌍들로 구성된 집합이다. 어떤 순서쌍이 이항 관계의 원소라면, 순서쌍의 두 성분 사이에 관계가 성립한다고 해석한다.

예를 들어, “…는 …의 약수”라는 조건은 두 정수 사이의 이항 관계 를 정의한다. 이 이항 관계는 구체적으로 의 약수인 경우의 모든 순서쌍 들의 집합이다. 은 이 이항 관계의 원소이며, 은 이항 관계의 원소가 아니다 (5는 20의 약수이며, 6은 13의 약수가 아니다). 보통 대신

와 같이 적는다.

이항 관계의 개념은 모임 위로 확장할 수 있다. 모임 위의 이항 관계는 모임이며, 고유 모임일 수 있다. 고유 모임은 모임의 원소가 될 수 없으므로, 주어진 두 모임 사이의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 없다. 반면, 주어진 집합 위의 이항 관계들의 모임을 정의할 수 있으며, 이는 항상 집합이다.

이항 관계는 관계의 항수가 2인 경우이다. 이항 관계의 이론은 다른 항수의 관계보다 풍부하다. 일부 문헌에서는 이항 관계를 단순히 관계라고 부른다. 혹자는 이항 관계를 대응(對應, correspondence)이라고 일컫는다.

정의[편집]

이항 관계는 다음 조건을 만족시키는 집합 이다.

  • 모든 원소는 순서쌍이다. 즉, 임의의 에 대하여, 인 집합 , 가 존재한다.

만약 라면, 사이에 관계 가 성립한다고 해석한다. 를 뜻한다. 를 뜻한다. 이며 임을 뜻한다.

집합 위의 이항 관계는 이항 관계 를 뜻한다. 집합 위의 이항 관계는 위의 이항 관계 를 뜻한다. 모든 이항 관계 는 어떤 집합 (예를 들어, ) 위의 이항 관계이다.

연산[편집]

합성[편집]

이항 관계 합성 는 다음과 같다.

이항 관계의 합성은 결합 법칙을 만족시킨다.

이에 따라, 집합과 이항 관계의 범주 를 다음과 같이 정의할 수 있다.

  • 대상은 집합이다.
  • 두 집합 사이의 사상 은 이항 관계 이다.
  • 사상의 합성은 이항 관계의 합성이다.
  • 집합 의 항등 사상은 대각선 이다.

범주 은 모든 작은 쌍대곱을 가지며, 둘 모두 분리합집합으로 주어진다. 또한, 동등자를 가지지 않지만, 모든 작은 약한 동등자(영어: weak equalizer)를 갖는다.

역관계[편집]

이항 관계 역관계 속 순서쌍의 두 성분을 뒤바꾼 이항 관계이다.

역관계는 자명하게 멱등 연산이다.

역관계와 합성은 다음과 같이 호환된다.

정의역과 치역[편집]

이항 관계 가 주어졌을 때,

  • 집합 또는 모임 의 원소와 관계를 이루는 원소들의 집합이다.
  • 집합 또는 모임 원상은 역관계에 대한 상이다.
  • 정의역 는 모든 집합의 고유 모임의 원상이다. (이는 범주 에서의 정의역과 다른 개념이다.)
  • 치역 는 모든 집합의 고유 모임의 상이다.

만약 라면, 이므로, 이다. 따라서, 이항 관계의 상·원상·정의역·치역은 항상 집합이다.[1]:27, Definition I.6.6, Justification

임의의 이항 관계 에 대하여, 다음이 성립한다.

종류[편집]

  • 함수는 이항관계의 중요한 유형이다. 이항관계 가 함수 일 필요충분조건은 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
  • 이항관계는 일반적으로 함수가 아니다. 예를 들어 약수 관계에서, 5로 나누어지는 정수는 유일하지 않다.
  • 반사관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.
  • 대칭관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.
  • 반대칭관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.
  • 추이관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.
  • 완전관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.

각주[편집]

  1. Kunen, Kenneth (2011). 《Set theory》. Studies in Logic (London) (영어) 34. London: College Publications. ISBN 978-1-84890-050-9. MR 2905394. Zbl 1262.03001. 

외부 링크[편집]