이항관계

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수학에서, 이항관계(二項關係, 영어: binary relation)는 순서쌍들로 이루어지는 집합이다. 두 집합곱집합부분집합으로 정의되기도 한다. 두 대상 사이에 어떤 이항관계가 성립한다는 것은 그 두 대상에 관한 성질로 볼 수 있고, 이는 그 두 대상의 순서쌍이 그 이항관계 집합의 원소인 것과 동치이다.

약수 관계, 즉 "...는 ...의 약수이다"는 두 정수 사이의 이항관계의 예이다. 이 경우 (5, 20)은 약수 관계가 성립하나, (20, 5)와 (6, 13)은 성립하지 않는다.

이항관계는 수학의 여러 분야에서 "...는 ...보다 크다", "...는 ...와 같다", "...는 ...와 합동이다" 등의 개념을 설명하기 위해 사용된다. 근현대 수학의 중요한 개념인 함수도 이항관계의 특별한 경우이다. 이항관계는 컴퓨터 과학에서도 중요하게 사용된다.

이항관계는 n항관계n = 2인 특별한 경우이다.

일부 공리적 집합론에서, 관계는 모임으로 확장된다.

정의[편집]

집합 의 원소가 모두 순서쌍이라면, 이항관계라고 한다. 이 경우, 로 표기한다.

이항관계 정의역 · 치역 · 은 각각 순서쌍의 첫번째 · 두번째 · 임의 항들의 집합이다. 즉,

이항관계 은 때로 어떤 곱집합 의 부분집합으로 간주된다. 이때 이며 이다. 특별히 인 경우, 을 " 위의 이항관계"라고 한다.

연산[편집]

이항관계 역관계 는, 임의의 에 대하여

를 만족시키는 이항관계다. 즉,

이항관계 합성관계 는, 임의의 에 대하여

를 만족시키는 이항관계다.

이항관계 과 그 정의역 · 치역의 부분집합 이 주어졌을 때,

  • 하의 은 다음과 같은 집합이다.
  • 하의 원상(또는 역상) 은, 의 역관계 하의 상이다. 즉, 다음과 같은 집합이다.

성질[편집]

이항관계 의 정의역, 치역, 역에 대하여 다음이 성립한다.

  • (순서쌍의 쿠라토프스키 정의를 취할 경우)

유형[편집]

  • 함수는 이항관계의 중요한 유형이다. 이항관계 가 함수 일 필요충분조건은 다음 두 조건을 만족시키는 것이다.
  • 이항관계는 일반적으로 함수가 아니다. 예를 들어 약수 관계에서, 5로 나누어지는 정수는 유일하지 않다.
  • 반사관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.
  • 대칭관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.
  • 반대칭관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.
  • 추이관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.
  • 완전관계는 다음 조건을 만족시키는 이항관계 이다.

같이 보기[편집]