귀납적 극한

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범주론추상대수학에서, 귀납적 극한(歸納的極限, 영어: inductive limit 또는 direct limit 또는 영어: injective limit)은 범주의 대상에 대한 일종의 극한이다. 기호는 또는 .

정의[편집]

범주 에 대하여, 대상의 집합 사상의 집합 가 다음을 만족한다고 하자.

  1. 모든 에 대하여, 이면 이다.
  2. 라면 이다.
  3. (반사성) 모든 에 대하여, 이다.
  4. (추이성) 이고 가 존재한다면 이다.
  5. (유한 집합의 상한의 존재) 이라면, , , 가 존재한다.

이러한 조건을 만족하는 유향체계(有向體系, directed system)이라고 한다.

가 유향체계라고 하자. 편의상 , 로 쓰자. 이 경우 가 존재한다면 이다. 이 유향체계의 귀납적 극한 은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 대상
  • 에 대하여, 사상

이들은 다음과 같은 보편 성질(universal property)을 만족하여야 한다. 이어야 하고, 또한 임의의 또다른 대상 와 사상들 에 대하여, 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 사상 가 존재하여야 한다.

DirectLimit-01.png

이를 보통 로 쓴다.

일반적인 범주에서 귀납적 극한은 존재하지 않을 수도 있다.다만, 흔히 쓰이는 대수적 구조의 범주(이나 의 범주, 주어진 환에 대한 가군의 범주 따위)의 경우에는 항상 존재한다. 또한 집합이나 위상 공간의 범주에서도 항상 존재한다.

참고 문헌[편집]

  • Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer.