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귀납적 극한

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범주론추상대수학에서 귀납적 극한(歸納的極限, 영어: inductive limit, direct limit, injective limit)은 범주의 대상에 대한 일종의 극한이다. 기호는 또는 .

정의

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범주 에 대하여, 대상의 집합 사상의 집합 가 다음을 만족한다고 하자.

  1. 모든 에 대하여, 이면 이다.
  2. 라면 이다.
  3. (반사성) 모든 에 대하여, 이다.
  4. (추이성) 이고 가 존재한다면 이다.
  5. (유한 집합의 상한의 존재) 이라면, , , 가 존재한다.

이러한 조건을 만족하는 유향체계(有向體系, 영어: directed system)이라고 한다.

가 유향체계라고 하자. 편의상 , 로 쓰자. 이 경우 가 존재한다면 이다. 이 유향체계의 귀납적 극한 은 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

  • 대상
  • 에 대하여, 사상

이들은 다음과 같은 보편 성질을 만족하여야 한다. 이어야 하고, 또한 임의의 또다른 대상 와 사상들 에 대하여, 만약 라면 다음 그림을 가환하게 하는 유일한 사상 가 존재하여야 한다.

이를 보통 로 쓴다.

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일반적인 범주에서 귀납적 극한은 존재하지 않을 수도 있다. 다만, 대수 구조의 범주(집합의 범주, 이나 의 범주, 주어진 환에 대한 가군의 범주 따위)의 경우에는 항상 존재한다. 또한 위상 공간이나 균등 공간의 범주에서도 항상 존재한다.

대수 구조 다양체

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연산 집합 을 갖는 대수 구조 다양체 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 특히 모든 귀납적 극한이 존재한다. 구체적으로, 속 대수 구조들의 유향 체계 의 귀납적 극한은 집합으로서 분리 합집합몫집합

이며, 이 위의 항 연산 는 다음과 같이 정의된다.[1]:385, Lemma 9.1.10

위상 공간의 범주

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위상 공간연속 함수범주 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 특히 모든 귀납적 극한을 갖는다. 위상 공간들의 유향 체계의 귀납적 극한은 집합으로서 집합대수 구조 다양체에서의 귀납적 극한이다. 이 위에는 분리 합집합 위에 유도되는 자연스러운 위상의 몫위상을 취한다.

균등 공간의 범주

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균등 공간균등 연속 함수범주 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이며, 특히 모든 귀납적 극한을 갖는다. 균등 공간들의 유향 체계의 귀납적 극한은 균등 공간 구조를 정의하는 유사 거리 함수족을 통해 구체적으로 기술할 수 있다.[2]:97, Theorem 4.6

각주

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  1. Bergman, George M. (2015). 《An invitation to general algebra and universal constructions》. Universitext (영어) 2판. Cham: Springer. doi:10.1007/978-3-319-11478-1. ISBN 978-3-319-11477-4. LCCN 2014954583. MR 3309721. Zbl 1317.08001. 
  2. Elliott, Robert J. (1967). “Inductive limits of uniform spaces”. 《Journal of the London Mathematical Society》 (영어) 42: 93–100. doi:10.1112/jlms/s1-42.1.93. ISSN 0024-6107. MR 0205220. Zbl 0147.22901. 
  • Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics 5 2판. Springer. 

외부 링크

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