곱위상

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일반위상수학에서, 곱위상(-位相, 영어: product topology)은 위상 공간들의 곱집합에 표준적으로 부여되는 위상이다.

정의[편집]

위상 공간들의 집합

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 곱집합 위에 다음과 같은 위상들을 부여할 수 있다.

  • 곱위상. 이는 위상 공간의 범주 에서의 범주론적 곱이다.
  • 상자 위상. 이는 곱위상보다 더 섬세한 위상이다. 유한 집합이라면 이는 곱위상과 일치한다.
  • 만약 거리 함수가 주어졌다면, 균등 위상을 정의할 수 있다.
  • 충만한 부분 범주에서의 범주론적 곱. 이는 곱위상보다 더 섬세하며, 유한 집합일 경우에도 곱위상과 다를 수 있다.

곱위상[편집]

곱위상(-位相, 영어: product topology) 또는 티호노프 위상(Тихонов位相, 영어: Tychonoff topology)은 사영 함수

의 집합에 대한 시작 위상이다. 즉, 이 함수들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다.

곱위상의 한 기저는 다음과 같다.

여기서 열린집합들의 집합이다. 즉, 의 원소는 각 열린집합들의 곱집합 가운데, 오직 유한 개만이 전체와 다른 것이다.

상자 위상[편집]

위 기저에서 (가산 무한 기수) 대신 임의의 무한 기수 를 사용하여 위상의 기저

를 정의할 수 있으며, (들이 비이산 공간이 아니라면) 각 [무한 기수]] 에 대하여 이는 서로 다른 위상을 정의한다. 만약 이 기수가 충분히 클 때 (즉, 일 때), 추가 조건은 자명해진다.

이 기저로 생성되는 위상을 상자 위상(箱子位相, 영어: box topology)이라고 한다.[1]:114

따라서, (들이 모두 비이산 공간이 아니라면) 각 무한 기수 에 대하여, 가 클 수록 더 섬세한 위상들을 얻는다.

상자 위상을 포함한 -위상은 만약 유한 집합이라면 곱위상과 일치한다.

균등 위상[편집]

거리 공간들의 집합 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 곱집합 위에 다음과 같이 균등 거리 함수(영어: uniform metric) 를 줄 수 있다.

그렇다면 거리 공간을 이루며, 이에 의하여 유도되는 위상을 균등 위상(영어: uniform topology)이라고 한다.

균등 위상은 일반적으로 곱위상보다 더 섬세하다.[1]:Theorem 20.4

콤팩트 생성 곱위상[편집]

위상 공간범주 완비 쌍대 반사 부분 범주 가 주어졌고, 한원소 공간을 포함한다고 하자.

쌍대 반사 부분 범주라는 것은 포함 함자 충실충만한 함자이며 오른쪽 수반 함자 를 갖는다는 것이다. 수반 함자의 일반적 성질에 의하여 는 모든 쌍대극한을 보존하며, 반대로 는 모든 극한을 보존하게 된다. 또한, 한원소 공간 구체적 범주의 망각 함자 표현하므로, 망각 함자 역시 극한을 보존하게 된다.

위상 공간의 집합 가 주어졌다고 하고, 이들이 모두 의 원소들로 구성되었다고 하자. 그렇다면, 이들의 속에서 취할 수 있다. 이를

로 표기하자. 망각 함자 가 극한을 보존하므로, 이는 집합으로서 단순히 곱집합이다. 그러나 가 극한을 보존하지 않는다면, 이는 곱위상(즉, 에서의 )과 다를 수 있다.

보다 일반적으로, (에 속하지 않을 수 있는) 임의의 위상 공간들의 집합 -곱공간

로 정의할 수 있다.

이 가운데 대표적인 것은 콤팩트 생성 공간의 범주 이다. 모든 위상 공간의 범주와 달리 이는 데카르트 닫힌 범주를 이루어, 대수적 위상수학을 간편하게 전개할 수 있다. 이는 쌍대 반사 부분 범주를 이루며, 그 쌍대 반사 함자를 콤팩트 생성화 라고 한다. 이 함자는 유한 극한도 보존하지 않으며, 특히 콤팩트 생성 곱위상 는 일반적으로 곱위상 보다 더 섬세하다.

대수적 위상수학에서는 곱위상 보다 콤팩트 생성 곱공간 이 더 많이 쓰인다. 예를 들어, CW 복합체의 곱은 () 곱공간이 아니라 콤팩트 생성 곱공간이다.

성질[편집]

곱위상과 상자 위상은 다음과 같은 성질들에 대하여 닫혀 있다. (즉, 콤팩트 공간들의 집합의 곱공간은 콤팩트 공간이지만, 콤팩트 공간의 집합들의 곱공간은 콤팩트 공간이 아닐 수 있다.)

성질 곱위상 상자 위상
콤팩트 공간 예 (티호노프 정리) 아니오 (반례: )
연결 공간 아니오 (반례: )
경로 연결 공간 아니오 (반례: )
콜모고로프 공간 예 (콜모고로프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
T1 공간 예 (T1 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
하우스도르프 공간 [2]:171, Proposition 1.2(iii) (하우스도르프 조건은 더 섬세한 위상에 대하여 성립)
정칙 공간 [2]:171, Proposition 1.2(iii)
완비 정칙 공간 [2]:171, Proposition 1.2(iii)
정규 공간 아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱) 아니오 (반례: 조르겐프라이 직선의 제곱)
이산 공간 아니오
비이산 공간

일반적으로, 분해 가능 제1 가산 공간의 가산 개 곱공간분해 가능 제1 가산 공간이다. 그러나 이는 상자 위상에 대하여 성립하지 않는다.

[편집]

가산 무한 개의 실수선 들의 곱집합 에서 상자 위상을 부여하자.[3]:Counterexample 109 이 위상 공간은 다음 성질들을 만족시킨다.

역사[편집]

상자 위상은 하인리히 프란츠 프리드리히 티체(독일어: Heinrich Franz Friedrich Tietze, 1880~1964)가 1923년에 도입하였다.[4][5]:300, Historical Notes §8

곱위상은 안드레이 니콜라예비치 티호노프가 1930년에 도입하였다.[6][5]:300, Historical Notes §8

콤팩트 생성 곱은 에드윈 헨리 스패니어(영어: Edwin Henry Spanier)가 1959년에 "약한 위상"(영어: weak topology)이라는 이름으로 도입하였다.[7] 스패니어는 라는 기호를 사용하였다.

참고 문헌[편집]

  1. Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-013181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001. 
  2. Williams, Scott W. (1984). 〈Chapter 4. Box products〉. Kunen, Kenneth; Vaughan, Jerry E. 《Handbook of set-theoretic topology》 (영어). North-Holland. ISBN 978-0-444-86580-9. doi:10.1016/B978-0-444-86580-9.50007-0. 
  3. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. 
  4. Tietze, Heinrich (1923). 《Über Analysis situs》. Hamburger mathematische Einzelschriften (독일어) 2. Im verlag des Mathematischen Seminars der Hamburgischen Universität. 27–70쪽. JFM 49.0398.01. 
  5. Willard, Stephen (1970). 《General Topology》 (영어). Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-08707-9. MR 0264581. 
  6. Tychonoff, A. (1930). “Über die topologische Erweiterung von Räumen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 102 (1): 544–561. ISSN 0025-5831. doi:10.1007/BF01782364. 
  7. Spanier, E. (1959년 1월). “Infinite symmetric products, function spaces, and duality” (영어) 69 (1): 142–198. JSTOR 1970099. doi:10.2307/1970099. 

바깥 고리[편집]