구체적 범주

범주론에서 구체적 범주(具體的範疇, 영어: concrete category)는 추가 구조를 갖는 집합들의 범주로 생각할 수 있는 범주이다.

정의

구체적 범주 $({\mathcal {C}},F)$는 다음과 같은 데이터로 구성된 순서쌍이다.

• ${\mathcal {C}}$는 범주이다.
• $F\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$는 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$로 가는 충실한 함자이다. 이 함자를 망각 함자(영어: forgetful functor)라고 한다.

예

흔히 등장하는 대부분의 범주들은 구체적 범주이다.

• 집합의 범주 $\operatorname {Set}$는 항등 함자를 통해 구체적 범주이다.
• 대수적 구조들의 범주는 모두 구체적 범주이다.
  • 군의 범주 $\operatorname {Grp}$
  • 아벨 군의 아벨 범주 $\operatorname {Ab}$
  • 가환환의 범주 $\operatorname {CRing}$
  • 가환 유사환의 범주 $\operatorname {CRng}$
  • 환의 범주 $\operatorname {Ring}$
  • 유사환의 범주 $\operatorname {Rng}$
  • 체의 범주 $\operatorname {Field}$
• 대부분의 기하학적 공간들 또한, 그 점들의 집합을 생각하여 구체적 범주로 만들 수 있다.
  • 위상 공간의 범주 $\operatorname {Top}$
  • 체 $K$에 대한 벡터 공간의 범주 $K{\text{-Vect}}$
• 임의의 군 $G$는 하나의 대상을 갖고, 모든 사상들이 가역원을 갖는 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 임의의 충실한 $G$-작용 $G\to \operatorname {Sym} (S)$이 주어질 경우, 이를 통해 $G$를 구체적 범주로 만들 수 있다. 예를 들어, $G$의, 스스로에 대한 작용은 항상 충실하므로 이 작용을 사용할 수 있다.
• 임의의 부분 순서 집합 $(S,\leq )$은 순서 관계를 사상으로 삼아 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 각 대상 $s\in S$를 집합 $S_{\leq s}=\{t\in S|t\leq s\}$로 대응시키고, 모든 사상 $s\leq t$를 포함 관계 $S_{\leq s}\hookrightarrow S_{\leq t}$로 대응시키는 함자를 통해 구체적 범주로 만들 수 있다.

위상 공간과 그 사이의 연속 함수들의 호모토피류들의 범주 $\operatorname {hTop}$는 구체적 범주로 만들 수 없다.