구체적 범주

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

범주론에서, 구체적 범주(具體的範疇, 영어: concrete category)는 추가 구조를 갖는 집합들의 범주로 생각할 수 있는 범주이다.

정의[편집]

구체적 범주 는 다음과 같은 데이터로 구성된 순서쌍이다.

  • 범주이다.
  • 집합함수의 범주 로 가는 충실한 함자이다. 이 함자를 망각 함자(영어: forgetful functor)라고 한다.

[편집]

흔히 등장하는 대부분의 범주들은 구체적 범주이다.

  • 집합의 범주 는 항등 함자를 통해 구체적 범주이다.
  • 대수적 구조들의 범주는 모두 구체적 범주이다.
    • 의 범주
    • 아벨 군아벨 범주
    • 가환환의 범주
    • 가환 유사환의 범주
    • 환의 범주
    • 유사환의 범주
    • 의 범주
  • 대부분의 기하학적 공간들 또한, 그 점들의 집합을 생각하여 구체적 범주로 만들 수 있다.
    • 위상 공간의 범주
    • 에 대한 벡터 공간의 범주
  • 임의의 는 하나의 대상을 갖고, 모든 사상들이 가역원을 갖는 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 임의의 충실한 -작용 이 주어질 경우, 이를 통해 를 구체적 범주로 만들 수 있다. 예를 들어, 의, 스스로에 대한 작용은 항상 충실하므로 이 작용을 사용할 수 있다.
  • 임의의 부분 순서 집합 은 순서 관계를 사상으로 삼아 범주로 여길 수 있다. 이 경우, 각 대상 를 집합 로 대응시키고, 모든 사상 를 포함 관계 로 대응시키는 함자를 통해 구체적 범주로 만들 수 있다.

위상 공간과 그 사이의 연속 함수들의 호모토피류들의 범주 는 구체적 범주로 만들 수 없다.[1]

참고 문헌[편집]

  1. Freyd, Peter (1970). 〈Homotopy is not concrete〉. 《The Steenrod Algebra and its Applications》. Springer Lecture Notes in Mathematics (영어) 168.