유사환

환론에서 유사환(類似環, 영어: pseudoring 또는 영어: rng [rʌŋ])은 환과 유사하나, 곱셈에 대한 항등원을 갖지 않을 수 있는 구조다.

정의

유사환 $(R,+,\cdot )$은 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조다.

1. $(R,+)$는 아벨 군이다.
2. $(R,\cdot )$는 반군(항등원을 가지지 않을 수 있고 결합 법칙을 따르는 이항연산)이다.
3. 분배법칙이 성립한다. 즉, 임의의 $r,s,t\in R$에 대하여 $(r+s)t=rt+st$이고, $r(s+t)=rs+rt$이다.

만약 두 번째 조건에서 반군을 모노이드(항등원을 갖춘 반군)로 강화시키면, (항등원을 갖춘) 환을 얻는다.

유사환의 준동형은 두 유사환 사이에서 덧셈과 곱셈, 0(덧셈의 항등원)을 보존하는 사상이다. (반면, 환 준동형은 곱셈에 대한 항등원 1 또한 보존해야 한다.) 유사환과 유사환 준동형의 범주를 Rng이라고 한다.

유사환의 아이디얼과 몫유사환을 환의 아이디얼과 몫환과 유사하게 정의할 수 있다. 예를 들어, 유사환 $R$의 좌 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, $R{\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {a}}$인 부분공간이다.

성질

유사환들은 대수 구조 다양체를 이룬다. 따라서, 유사환의 범주는 곱과 쌍대곱, 시작 대상 및 끝 대상을 갖는다. 유사환의 범주에서 시작 대상과 끝 대상은 같으며, 자명환 $0$이다.

두 유사환 $R$, $S$의 곱은 집합으로서 $R\times S$이며, 환 연산은 다음과 같다.

$(r,s)+(r',s')=(r+r',s+s')$

$(r,s)(r',s')=(rr',ss')$

유사환의 범주에서의 쌍대곱은 자유곱이다.

단위화

임의의 유사환이 주어지면, 여기에 곱셈에 대한 항등원을 첨가하여 환으로 만드는 표준적인(canonical) 방법이 존재한다. 범주론적으로 쓰면 다음과 같다. 환의 범주를 Ring, 유사환의 범주를 Rng이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 포함 함자 $\operatorname {Ring} \hookrightarrow \operatorname {Rng}$이 존재한다. 이 함자에 대한 왼쪽 수반 함자

${\hat {}}\colon \operatorname {Rng} \to \operatorname {Ring}$

이 존재한다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. 유사환 $R$에 대하여, ${\hat {R}}$는 아벨 군으로서 $\mathbb {Z} \oplus R$이다. 즉, ${\hat {R}}$의 원소는

$n+r$ ($n\in \mathbb {Z}$, $r\in R$)

의 꼴의 합이다. 여기에 다음과 같은 곱셈을 준다.

$(m+r)(n+s)=mn+nr+ms+rs$ ($m,n\in \mathbb {Z}$, $r,s\in R$)

그렇다면 이는 곱셈의 결합 법칙과 분배 법칙을 만족시킴을 쉽게 알 수 있다. 또한, 곱셈에 대한 항등원은 $1+0_{R}\in {\hat {R}}$이다. 따라서 ${\hat {R}}$은 (항등원을 갖춘) 환을 이룬다.

영유사환

임의의 아벨 군 $A$에 대하여, 곱

$a\cdot b=0\qquad \forall a,b\in A$

을 주면 유사환을 이룬다. 이를 영유사환(영어: zero pseudoring)이라고 한다. 이는 아벨 군의 범주에서 유사환의 범주로 가는 충실충만한 함자를 이룬다.

자유 유사환

대수 구조 다양체의 일반적인 성질에 따라서, 망각 함자

$\operatorname {Rng} \to \operatorname {Set}$

의 왼쪽 수반 함자가 존재하며, 이는 어떤 집합을 이로부터 생성되는 자유 유사환에 대응시킨다. 유한 집합 $\{x_{1},\dots ,x_{k}\}$의 경우, 이는 정수 계수 다항식환 $\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]$ 속의 다음과 같은 아이디얼이다.

$(x_{1},x_{2},\dots ,x_{k})\subset \mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]$

즉, 자유 유사환은 상수 성분이 0인 정수 계수 다항식들의 유사환이다.

예

모든 환은 유사환을 이룬다.

$(G,+)$가 아벨 군이라고 하자. 그렇다면 모든 $a,b\in G$에 대하여 $a\cdot b=0$으로 정의하면 $(G,+,\cdot )$은 유사환을 이룬다. 이러한 유사환을 영환(零環, 영어: zero ring)이라고 한다.

환의 왼쪽 아이디얼, 오른쪽 아이디얼, 양쪽 아이디얼은 모두 유사환을 이룬다. 보다 일반적으로, 모든 유사환의 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼은 유사환이다.

짝수인 정수들의 집합 $E$에 일반적인 덧셈과 곱셈 연산이 주어지면 집합 $E$는 가환인 유사환이지만 환은 아니다.

역사

니콜라 부르바키는 유사환을 프랑스어: pseudo-anneau 프쇠도아노^[*]라고 부르는데, 이는 환(프랑스어: anneau 아노^[*])과 유사한(프랑스어: pseudo- 프쇠도^[*]) 구조를 뜻한다. 유사환의 영어명 영어: rng 렁^[*]은 환을 뜻하는 영어: ring 링^[*]에서부터 유래하였다. 유사환은 환과 유사하나, 곱셈에 대한 항등원 "i"를 갖지 않는다는 것에서 온 말장난이다.

일부 저자들은 모든 유사환들을 (곱셈 항등원이 있든 없든) 환이라고 부른다. 예를 들어, Dummit and Foote이나 Herstein 등이 이러한 저자들에 속한다. 이런 경우, 항등원을 갖춘 환을 명시하려면 "영어: ring with unit" 따위의 표현을 쓴다. 여기서는 모든 환은 곱셈 항등원을 갖춘 것으로 정의한다.

외부 링크

• “Nonunital ring”. 《nLab》 (영어).