유사환

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환론에서, 유사환(類似環, 영어: pseudoring 또는 영어: rng [rʌŋ])은 과 유사하나, 곱셈에 대한 항등원을 갖지 않을 수 있는 구조다.

정의[편집]

유사환 은 다음 공리들을 만족시키는 대수 구조다.

  1. 아벨 군이다.
  2. 반군(항등원을 가지지 않을 수 있고 결합 법칙을 따르는 이항연산)이다.
  3. 분배법칙이 성립한다. 즉, 임의의 에 대하여 이고, 이다.

만약 두 번째 조건에서 반군모노이드(항등원을 갖춘 반군)로 강화시키면, (항등원을 갖춘) 을 얻는다.

유사환의 준동형은 두 유사환 사이에서 덧셈과 곱셈, 0(덧셈의 항등원)을 보존하는 사상이다. (반면, 환 준동형은 곱셈에 대한 항등원 1 또한 보존해야 한다.) 유사환과 유사환 준동형의 범주를 Rng이라고 한다.

유사환의 아이디얼몫유사환을 환의 아이디얼몫환과 유사하게 정의할 수 있다. 예를 들어, 유사환 의 좌 아이디얼 는 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 인 부분공간이다.

성질[편집]

유사환들은 대수 구조 다양체를 이룬다. 따라서, 유사환의 범주는 곱과 쌍대곱, 시작 대상끝 대상을 갖는다. 유사환의 범주에서 시작 대상과 끝 대상은 같으며, 자명환 이다.

두 유사환 , 의 곱은 집합으로서 이며, 환 연산은 다음과 같다.

유사환의 범주에서의 쌍대곱은 자유곱이다.

단위화[편집]

임의의 유사환이 주어지면, 여기에 곱셈에 대한 항등원을 첨가하여 으로 만드는 표준적인(canonical) 방법이 존재한다. 범주론적으로 쓰면 다음과 같다. 환의 범주를 Ring, 유사환의 범주를 Rng이라고 하자. 그렇다면 다음과 같은 포함 함자 이 존재한다. 이 함자에 대한 왼쪽 수반 함자

이 존재한다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. 유사환 에 대하여, 아벨 군으로서 이다. 즉, 의 원소는

(, )

의 꼴의 합이다. 여기에 다음과 같은 곱셈을 준다.

(, )

그렇다면 이는 곱셈의 결합 법칙분배 법칙을 만족시킴을 쉽게 알 수 있다. 또한, 곱셈에 대한 항등원은 이다. 따라서 은 (항등원을 갖춘) 을 이룬다.

영유사환[편집]

임의의 아벨 군 에 대하여, 곱

을 주면 유사환을 이룬다. 이를 영유사환(영어: zero pseudoring)이라고 한다. 이는 아벨 군의 범주에서 유사환의 범주로 가는 충실충만한 함자를 이룬다.

자유 유사환[편집]

대수 구조 다양체의 일반적인 성질에 따라서, 망각 함자

왼쪽 수반 함자가 존재하며, 이는 어떤 집합을 이로부터 생성되는 자유 유사환에 대응시킨다. 유한 집합 의 경우, 이는 정수 계수 다항식환 속의 다음과 같은 아이디얼이다.

즉, 자유 유사환은 상수 성분이 0인 정수 계수 다항식들의 유사환이다.

[편집]

모든 은 유사환을 이룬다.

아벨 군이라고 하자. 그렇다면 모든 에 대하여 으로 정의하면 은 유사환을 이룬다. 이러한 유사환을 영환(零環, 영어: zero ring)이라고 한다.

환의 왼쪽 아이디얼, 오른쪽 아이디얼, 양쪽 아이디얼은 모두 유사환을 이룬다. 보다 일반적으로, 모든 유사환의 왼쪽·오른쪽·양쪽 아이디얼은 유사환이다.

역사[편집]

니콜라 부르바키는 유사환을 프랑스어: pseudo-anneau 프쇠도아노[*]라고 부르는데, 이는 환(프랑스어: anneau 아노[*])과 유사한(프랑스어: pseudo- 프쇠도[*]) 구조를 뜻한다. 유사환의 영어명 영어: rng [*]을 뜻하는 영어: ring [*]에서부터 유래하였다. 유사환은 환과 유사하나, 곱셈에 대한 항등원 "i"를 갖지 않는다는 것에서 온 말장난이다.

일부 저자들은 모든 유사환들을 (곱셈 항등원이 있든 없든) 이라고 부른다. 예를 들어, Dummit and Foote이나 Herstein 등이 이러한 저자들에 속한다. 이런 경우, 항등원을 갖춘 환을 명시하려면 "영어: ring with unit" 따위의 표현을 쓴다. 여기서는 모든 환은 곱셈 항등원을 갖춘 것으로 정의한다.

외부 링크[편집]